Универсальность (динамические системы) - Universality (dynamical systems)

В статистическая механика, универсальность это наблюдение, что для большого класса систем существуют свойства, не зависящие от динамичный детали системы. Универсальность систем проявляется в пределе масштабирования, когда объединяется большое количество взаимодействующих частей. Современное значение термина было введено Лев Каданов в 1960-е годы^{[нужна цитата ]} но более простая версия концепции уже подразумевалась в уравнение Ван-дер-Ваальса и в более раннем Теория Ландау фазовых переходов, которые не учитывали масштабирование правильно.^{[нужна цитата ]}

Этот термин постепенно получает все более широкое распространение в нескольких областях математики, в том числе комбинаторика и теория вероятности всякий раз, когда количественные характеристики структуры (например, асимптотическое поведение) могут быть выведены из нескольких глобальных параметров, фигурирующих в определении, без необходимости знания деталей системы.

В ренормгруппа дает интуитивно привлекательное, хотя и математически не строгое объяснение универсальности. Он классифицирует операторы в статистической теории поля на релевантные и нерелевантные. Соответствующие операторы ответственны за возмущение свободной энергии, мнимое время лагранжиан, что повлияет на континуальный предел, и видно на больших расстояниях. Нерелевантные операторы - это те, которые изменяют только детали на коротком расстоянии. Набор масштабно-инвариантных статистических теорий определяет классы универсальности, а конечномерный список коэффициентов соответствующих операторов параметризует околокритическое поведение.

Универсальность в статистической механике

Понятие универсальности возникло при изучении фазовые переходы в статистической механике.^{[нужна цитата ]} Фазовый переход происходит, когда материал резко меняет свои свойства: вода при нагревании закипает и превращается в пар; или магнит при нагревании теряет свой магнетизм. Фазовые переходы характеризуются параметр порядка, например, плотность или намагниченность, которая изменяется в зависимости от параметра системы, например температуры. Специальным значением параметра, при котором система меняет свою фазу, является критическая точка. Для систем, демонстрирующих универсальность, чем ближе параметр к его критическое значение, тем менее чувствительно параметр порядка зависит от деталей системы.

Если параметр β является критическим при значении β_c, то параметр порядка а будет хорошо приближен^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle a=a_{0}\left\vert \beta -\beta _{c}\right\vert ^{\alpha }.}$

Показатель α является критический показатель системы. Замечательное открытие, сделанное во второй половине двадцатого века, заключалось в том, что очень разные системы имеют одинаковые критические показатели.^{[нужна цитата ]}

В 1975 г. Митчелл Фейгенбаум обнаружил универсальность в повторяющихся картах.^[1][2][3]

Примеры

Универсальность получила свое название, потому что проявляется в большом разнообразии физических систем. Примеры универсальности включают:

• Лавины в кучах песка. Вероятность схода лавины пропорциональна размеру лавины, и лавины наблюдаются во всех масштабах. Это называется "самоорганизованная критичность " .^{[нужна цитата ]}
• Образование и распространение трещин и разрывов в материалах от стали до камня и бумаги. Вариации направления разрыва или шероховатость изломанной поверхности пропорциональны шкале размеров по степенному закону.^{[нужна цитата ]}
• В электрический пробой из диэлектрики, напоминающие трещины и разрывы.
• В просачивание жидкостей через неупорядоченные среды, такие как нефть через трещиноватые пласты горных пород или воду через фильтровальную бумагу, например, в хроматография. Масштабирование по степенному закону связывает скорость потока с распределением трещин.^{[нужна цитата ]}
• В распространение из молекулы в решение, и феномен ограниченная диффузией агрегация.
• Распределение пород разных размеров в смеси заполнителей, которая встряхивается (под действием силы тяжести на породы).^{[нужна цитата ]}
• Появление критическая опалесценция в жидкостях рядом с фаза перехода .^{[нужна цитата ]}

Теоретический обзор

Одно из важных событий в материаловедение в 1970-х и 1980-х годах было осознание того, что статистическая теория поля, подобно квантовой теории поля, может быть использована для создания микроскопической теории универсальности.^{[нужна цитата ]} Основное наблюдение заключалось в том, что для всех различных систем поведение в фаза перехода описывается континуальным полем, и что одна и та же статистическая теория поля будет описывать разные системы. Показатели масштабирования во всех этих системах могут быть получены только на основе теории поля и известны как критические показатели.

Ключевое наблюдение заключается в том, что вблизи фазового перехода или критическая точка, возмущения возникают во всех масштабах, и поэтому следует искать явно масштабно-инвариантная теория описать явления, как кажется, в формальные теоретические рамки сначала Покровский и Паташинского в 1965 г. ^[4].^{[нужна цитата ]} Универсальность - это побочный продукт того факта, что существует относительно мало масштабно-инвариантных теорий. Для любой конкретной физической системы подробное описание может иметь множество параметров и аспектов, зависящих от масштаба. Однако по мере приближения к фазовому переходу масштабно-зависимые параметры играют все менее и менее важную роль, а масштабно-инвариантные части физического описания доминируют. Таким образом, упрощенный и часто точно решаемый, модель может быть использована для аппроксимации поведения этих систем вблизи критической точки.

Перколяцию можно моделировать случайным электрический резистор сеть, при которой электричество течет от одной стороны сети к другой. Общее сопротивление сети, как видно, описывается средней связностью резисторов в сети.^{[нужна цитата ]}

Образование разрывов и трещин можно моделировать случайной сетью электрические предохранители. По мере увеличения электрического тока, протекающего через сеть, некоторые предохранители могут взорваться, но в целом ток шунтируется вокруг проблемных участков и равномерно распределяется. Однако в определенный момент (при фазовом переходе) a каскадный отказ Может произойти, когда избыточный ток от одного сработавшего предохранителя по очереди перегрузит следующий предохранитель, пока две стороны цепи не будут полностью отключены и ток перестанет течь.^{[нужна цитата ]}

Чтобы выполнить анализ таких систем случайных сетей, нужно рассматривать стохастическое пространство всех возможных сетей (то есть канонический ансамбль ) и выполняет суммирование (интегрирование) по всем возможным конфигурациям сети. Как и в предыдущем обсуждении, каждая заданная случайная конфигурация понимается как полученная из пула всех конфигураций с некоторым заданным распределением вероятностей; роль температуры в распределении обычно заменяется средней связностью сети.^{[нужна цитата ]}

Ожидаемые значения операторов, такие как скорость потока, теплоемкость и т. д. получаются интегрированием по всем возможным конфигурациям. Этот акт интеграции всех возможных конфигураций является точкой общности между системами в статистическая механика и квантовая теория поля. В частности, язык ренормгруппа может быть применен к обсуждению моделей случайных сетей. В 1990-х и 2000-х годах более сильная связь между статистическими моделями и конформная теория поля были раскрыты. Изучение универсальности остается важной областью исследований.

Приложения к другим областям

Как и другие концепции от статистическая механика (Такие как энтропия и основные уравнения ) универсальность оказалась полезной конструкцией для характеристики распределенных систем на более высоком уровне, например мультиагентные системы. Срок был применен^[5] к многоагентному моделированию, где поведение на системном уровне, демонстрируемое системой, не зависит от степени сложности отдельных агентов и почти полностью определяется природой ограничений, управляющих их взаимодействиями. В сетевой динамике универсальность означает тот факт, что, несмотря на разнообразие нелинейных динамических моделей, которые различаются во многих деталях, наблюдаемое поведение множества различных систем подчиняется набору универсальных законов. Эти законы не зависят от конкретных деталей каждой системы.^[6]

Рекомендации

1. Фейгенбаум, М. Дж. (1976) "Универсальность в сложной дискретной динамике", Годовой отчет Лос-Аламосского теоретического отдела за 1975-1976 гг.
2. Фейгенбаум, М. Дж. (1983). «Универсальное поведение в нелинейных системах». Physica D: нелинейные явления. 7 (1–3): 16–39. Bibcode:1983 ФИД .... 7 ... 16F. Дои:10.1016/0167-2789(83)90112-4.
3. Фейгенбаум, М. Дж. (1980), "Универсальное поведение в нелинейных системах", https://fas.org/sgp/othergov/doe/lanl/pubs/00818090.pdf
4. Паташинский, А. З. (1979). Флуктуационная теория фазовых переходов. Pergamon Press. ISBN  978-0080216645.
5. Parunak, H.V.D .; Brueckner, W .; Савит, Р. (2004), Универсальность в многоагентных системах (PDF), стр. 930–937
6. Барзель, Барух; Барабаши, А.-Л. (2013). «Универсальность в сетевой динамике». Природа Физика. 9 (10): 673–681. Bibcode:2013НатФ ... 9..673Б. Дои:10.1038 / nphys2741. ЧВК  3852675. PMID  24319492.