Отражающая функция Мироненко - Mironenko reflecting function - Wikipedia

В прикладной математике отражающая функция ${\displaystyle \,F(t,x)}$ из дифференциальная система ${\displaystyle {\dot {x}}=X(t,x)}$ связывает прошлое состояние ${\displaystyle \,x(-t)}$ системы с будущим состоянием ${\displaystyle \,x(t)}$ системы по формуле ${\displaystyle \,x(-t)=F(t,x(t)).}$ Понятие отражающей функции было введено Владимир Иванович Мироненко.

Определение

Для дифференциальная система ${\displaystyle {\dot {x}}=X(t,x)}$ с общее решение ${\displaystyle \varphi (t;t_{0},x)}$ в Коши форме отражающая функция системы определяется формулой ${\displaystyle F(t,x)=\varphi (-t;t,x).}$

заявка

Если вектор-функция ${\displaystyle X(t,x)}$ является ${\displaystyle \,2\omega }$-периодический по ${\displaystyle \,t}$, тогда ${\displaystyle \,F(-\omega ,x)}$ в период ${\displaystyle \,[-\omega ;\omega ]}$ преобразование (Карта Пуанкаре ) дифференциальной системы ${\displaystyle {\dot {x}}=X(t,x).}$ Поэтому знание Отражающей функции дает нам возможность узнать начальные даты ${\displaystyle \,(\omega ,x_{0})}$ из периодические решения дифференциальной системы ${\displaystyle {\dot {x}}=X(t,x)}$ и исследовать стабильность этих решений.

Для отражающей функции ${\displaystyle \,F(t,x)}$ системы ${\displaystyle {\dot {x}}=X(t,x)}$ основное отношение

${\displaystyle \,F_{t}+F_{x}X+X(-t,F)=0,\qquad F(0,x)=x.}$

держит.

Поэтому иногда у нас есть возможность найти отображение Пуанкаре неинтегрируемого в квадратура системы даже в элементарные функции.

Литература

• Мироненко В. И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. - Минск, Университетское, 1986. - 76 с.
• Мироненко В. И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем. - Гомель: Мин. образов. РБ, ГГУ им. Ф. Скорины, 2004. - 196 с.

внешние ссылки

• Сайт отражающей функции
• Как построить эквивалентные дифференциальные системы