Машина Этвуда - Atwood machine

Иллюстрация машины Этвуда, 1905 год.

В Машина Этвуда (или же Машина Этвуда) был изобретен в 1784 г. математик Джордж Этвуд как лабораторный эксперимент для проверки механические законы движения с постоянным ускорение. Машина Этвуда - это обычная демонстрация в классе, используемая для иллюстрации принципов классическая механика.

Идеальная машина Этвуда состоит из двух объектов массы. м₁ и м₂, связанных нерастяжимый безмассовая струна над идеальным безмассовым шкив.^[1]

Обе массы испытывают равномерное ускорение. Когда м₁ = м₂, машина находится в нейтральное равновесие независимо от положения гирь.

Уравнение для постоянного ускорения

В диаграммы свободного тела двух висящих масс машины Этвуда. Наш подписать соглашение, изображенный ускорение векторов в том, что м₁ ускоряется вниз, и это м₂ ускоряется вверх, как было бы, если бы м₁ > м₂

Уравнение для ускорения может быть получено путем анализа сил. Если принять во внимание безмассовую нерастяжимую струну и идеальный безмассовый шкив, единственными силами, которые следует учитывать, являются: сила натяжения (Т), а вес двух масс (W₁ и W₂). Чтобы найти ускорение, рассмотрите силы, действующие на каждую отдельную массу. С помощью Второй закон Ньютона (с подписать соглашение из ${\displaystyle m_{1}>m_{2}}$) получить система уравнений для разгона (а).

В качестве соглашения о знаках предположим, что а положительно, когда вниз для ${\displaystyle m_{1}}$ и выше для ${\displaystyle m_{2}}$. Вес ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$ просто ${\displaystyle W_{1}=m_{1}g}$ и ${\displaystyle W_{2}=m_{2}g}$ соответственно.

Силы, действующие на м₁:

${\displaystyle \;m_{1}g-T=m_{1}a}$

Силы, действующие на м₂:

${\displaystyle \;T-m_{2}g=m_{2}a}$

и добавление двух предыдущих уравнений дает

${\displaystyle \;m_{1}g-m_{2}g=m_{1}a+m_{2}a}$,

и заключительная формула для ускорения

${\displaystyle a=g{m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$

Машина Атвуда иногда используется для иллюстрации Лагранжев метод вывода уравнений движения.^[2]

Уравнение для натяжения

Полезно знать уравнение для напряжение в строке. Чтобы оценить натяжение, подставьте уравнение ускорения в любое из двух уравнений силы.

${\displaystyle a=g{m_{1}-m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$

Например, подставив в ${\displaystyle m_{1}a=m_{1}g-T}$, приводит к

${\displaystyle T={2gm_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}={2g \over 1/m_{1}+1/m_{2}}}$

Уравнения для шкива с инерцией и трением

Для очень малых разностей масс между м₁ и м₂, то инерция вращения я шкива радиуса r нельзя пренебрегать. Угловое ускорение шкива определяется условием прилипания:

${\displaystyle \alpha ={a \over r},}$

куда ${\displaystyle \alpha }$ - угловое ускорение. Сеть крутящий момент затем:

${\displaystyle \tau _{\mathrm {net} }=\left(T_{1}-T_{2}\right)r-\tau _{\mathrm {friction} }=I\alpha }$

В сочетании со вторым законом Ньютона для висящих масс и решая для Т₁, Т₂, и а, мы получили:

Ускорение:

${\displaystyle a={{g(m_{1}-m_{2})-{\tau _{\mathrm {friction} } \over r}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Напряжение в ближайшем сегменте струны м₁:

${\displaystyle T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau _{\mathrm {friction} }} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Напряжение в ближайшем сегменте струны м₂:

${\displaystyle T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}}+{{\tau _{\mathrm {friction} }} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Если трение подшипника незначительно (но не инерция шкива и не сила тяги струны на ободе шкива), эти уравнения упрощаются до следующих результатов:

Ускорение:

${\displaystyle a={{g(m_{1}-m_{2})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Напряжение в ближайшем сегменте струны м₁:

${\displaystyle T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Напряжение в ближайшем сегменте струны м₂:

${\displaystyle T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$

Практические реализации

Оригинальные иллюстрации Этвуда показывают, что ось главного шкива опирается на обода еще четырех колес, чтобы минимизировать силы трения со стороны подшипники. Многие исторические реализации машины следуют этой конструкции.

Лифт с противовесом приближается к идеальной машине Атвуда и, таким образом, освобождает приводной двигатель от нагрузки на кабину лифта - он должен преодолевать только разницу в весе и инерцию двух масс. Тот же принцип используется для фуникулер железные дороги с двумя соединенными железнодорожными вагонами на наклонных путях и для лифтов на Эйфелевой башне, которые уравновешивают друг друга. Подъемники - другой пример, где гондолы перемещаются по замкнутой (непрерывной) системе шкивов вверх и вниз по горе. Лыжный подъемник похож на лифт с противовесом, но с ограничивающей силой, создаваемой тросом в вертикальном измерении, что позволяет работать как в горизонтальном, так и в вертикальном измерениях. Лодочные подъемники - это еще один тип лифтовой системы с противовесом, напоминающий машину Атвуда.

Смотрите также

• Самолет без трения
• Маятник Катера
• Сферическая корова
• Качающаяся машина Этвуда

Примечания

1. Типлер, Пол А. (1991). Физика для ученых и инженеров (3-е, расширенное изд.). Нью-Йорк: Worth Publishers. п.160. ISBN  0-87901-432-6. Глава 6, пример 6-13
2. Гольдштейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Нью-Дели: Издание для индийских студентов Эддисон-Уэсли / Нароса. С. 26–27. ISBN  81-85015-53-8. Раздел 1-6, пример 2

внешняя ссылка

• Отчет профессора Гринслейда о машине Этвуда
• Машина Этвуда Энрике Зелени, Демонстрационный проект Wolfram.