Ден твист - Dehn twist

Положительное скручивание Дена, примененное к цилиндру по красной кривой c изменяет зеленую кривую, как показано.

В геометрическая топология, филиал математика, а Ден твист это определенный тип самогомеоморфизм из поверхность (двумерный многообразие ).

Определение

Поворот генерала Дена на компактной поверхности, представленной п-гон.

Предположим, что c это простая замкнутая кривая в закрытом, ориентируемый поверхность S. Позволять А быть трубчатый район из c. потом А является кольцо, гомеоморфный к Декартово произведение круга и единичный интервал я:

${\displaystyle c\subset A\cong S^{1}\times I.}$

Дайте А координаты (s, т) куда s является комплексным числом вида ${\displaystyle e^{i\theta }}$ с ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$ и т ∈ [0, 1].

Позволять ж быть картой из S самому себе, что является идентичностью вне А и внутри А у нас есть

${\displaystyle f(s,t)=\left(se^{i2\pi t},t\right).}$

потом ж это Ден твист о кривой c.

Скручивания Дена также можно определить на неориентируемой поверхности S, если начать с 2-сторонний простая замкнутая кривая c на S.

Пример

Пример закрутки Дена на торе по замкнутой кривой а, синим цветом, где а является ребром фундаментального многоугольника, представляющего тор.

Автоморфизм на фундаментальной группе тора, индуцированный самогеоморфизмом скручивания Дена вдоль одного из образующих тора.

Рассмотрим тор представлен фундаментальный многоугольник с краями а и б

${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.}$

Пусть замкнутой кривой будет линия по краю а называется ${\displaystyle \gamma _{a}}$.

Учитывая выбор склейки гомеоморфизма на рисунке, трубчатая окрестность кривой ${\displaystyle \gamma _{a}}$ будет выглядеть как полоса, обвязанная вокруг пончика. Эта окрестность гомеоморфна кольцо, сказать

${\displaystyle a(0;0,1)=\{z\in \mathbb {C} :0<|z|<1\}}$

в комплексной плоскости.

Продолжая на тор скручивающее отображение ${\displaystyle \left(e^{i\theta },t\right)\mapsto \left(e^{i\left(\theta +2\pi t\right)},t\right)}$ кольца через гомеоморфизмы кольца в открытый цилиндр в окрестность ${\displaystyle \gamma _{a}}$, дает твист Дена тора на а.

${\displaystyle T_{a}:\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T} ^{2}}$

Этот автогеоморфизм действует на замкнутой кривой вдоль б. В трубчатой ​​окрестности он принимает кривую б однажды по кривойа.

Гомеоморфизм между топологическими пространствами индуцирует естественный изоморфизм между их фундаментальные группы. Следовательно, имеется автоморфизм

${\displaystyle {T_{a}}_{\ast }:\pi _{1}\left(\mathbb {T} ^{2}\right)\to \pi _{1}\left(\mathbb {T} ^{2}\right):[x]\mapsto \left[T_{a}(x)\right]}$

куда [Икс] являются гомотопические классы замкнутой кривой Икс в торе. Уведомление ${\displaystyle {T_{a}}_{\ast }([a])=[a]}$ и ${\displaystyle {T_{a}}_{\ast }([b])=[b*a]}$, куда ${\displaystyle b*a}$ это путь, пройденный вокруг б тогда а.

Группа классов сопоставления

3грамм - 1 кривые из теоремы о скручивании, показанные здесь для грамм = 3.

Это теорема о Макс Ден что карты этой формы генерируют группа классов отображения из изотопия классы сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов любых замкнутых ориентированных род -${\displaystyle g}$ поверхность. В. Б. Р. Ликориш позже переоткрыл этот результат с помощью более простого доказательства и, кроме того, показал, что Ден скручивает ${\displaystyle 3g-1}$ явные кривые генерируют группу классов отображения (это называется так называемым «теоремой о скручивании Ликориша»); это число было позже улучшено Стивен П. Хамфрис к ${\displaystyle 2g+1}$, за ${\displaystyle g>1}$, которое он показал, было минимальным числом.

Ликориш также получил аналогичный результат для неориентируемых поверхностей, требующих не только скручиваний Дена, но и "Y-гомеоморфизмы."

Смотрите также

• Фонарь отношения

Рекомендации

• Эндрю Дж. Кассон, Стивен Блейлер, Автоморфизмы поверхностей по Нильсену и Терстону, Издательство Кембриджского университета, 1988. ISBN  0-521-34985-0.
• Стивен П. Хамфрис, «Генераторы для группы классов отображения», в: Топология многообразий малой размерности (Proc. Вторая Сассексская конференция., Chelwood Gate, 1977), стр. 44–47, Lecture Notes in Math., 722, Springer, Берлин, 1979. МИСТЕР0547453
• В. Б. Р. Ликориш, «Представление ориентируемых комбинаторных трехмерных многообразий». Анна. математики. (2) 76 1962 531—540. МИСТЕР0151948
• В. Б. Р. Ликориш, "Конечный набор образующих для гомотопической группы двумерного многообразия", Proc. Cambridge Philos. Soc. 60 (1964), 769–778. МИСТЕР0171269