Теорема Койперса - Kuipers theorem - Wikipedia

В математика, Теорема Койпера (после Николаас Койпер ) является результатом о топологии операторов на бесконечномерном комплексном Гильбертово пространство ЧАС. В нем говорится, что Космос GL (ЧАС) из обратимый ограниченный эндоморфизмы из ЧАС такова, что все карты из любых конечный комплекс Y в GL (ЧАС) находятся гомотопный к константе, для топология нормы по операторам.

Важное следствие, также называемое Теорема Койпера, состоит в том, что эта группа слабо сжимаемый, т.е. все это гомотопические группы тривиальны. Этот результат имеет важное применение в топологическая K-теория.

Общая топология полной линейной группы

Для конечномерных ЧАС, эта группа будет сложной общая линейная группа и совсем не сжимаемым. Фактически он гомотопически эквивалентен своему максимальная компактная подгруппа, то унитарная группа U из ЧАС. Доказательство того, что комплексная полная линейная группа и унитарная группа имеют одно и то же гомотопический тип находится на Процесс Грама-Шмидта, или через матричное полярное разложение, и переносится на бесконечномерный случай сепарабельное гильбертово пространство, в основном потому, что пространство верхнетреугольные матрицы является стягиваемым, как это можно ясно увидеть. Основной феномен заключается в том, что переход к бесконечному множеству измерений приводит к исчезновению большей части топологической сложности унитарных групп; но см. раздел об унитарной группе Ботта, где переход к бесконечности более ограничен, и в результирующей группе есть нетривиальные гомотопические группы.

Исторический контекст и топология сфер

Удивительно, что единичная сфера, иногда обозначается S^∞, в бесконечномерных Гильбертово пространство ЧАС это сжимаемое пространство, в то время как никакие конечномерные сферы не стягиваются. Этот результат, безусловно известный за десятилетия до Койпера, может иметь статус математический фольклор, но его цитируют довольно часто.^[1]^[2] На самом деле правда больше: S^∞ является диффеоморфный к ЧАС, которая, безусловно, стягивается своей выпуклостью.^[3] Одно из следствий состоит в том, что существуют гладкие контрпримеры к расширению Теорема Брауэра о неподвижной точке к единичному шару в ЧАС.^[4] Существование таких контрпримеров гомеоморфизмы был показан в 1943 г. Шизуо Какутани, который, возможно, первым написал доказательство сжимаемости единичной сферы.^[5] Но результат все равно был по существу известен (в 1935 г. Тихонов Андрей Николаевич показал, что единичная сфера была ретрактом единичного шара).^[6]

Результат о группе ограниченных операторов доказал голландский математик Николаас Койпер, для случая сепарабельного гильбертова пространства; позже ограничение на разделимость было снято.^[7] Тот же результат, но для сильная операторная топология вместо топологии нормы, была опубликована в 1963 г. Жак Диксмье и Адриан Дуади.^[8] Геометрическая связь сферы и группы операторов состоит в том, что единичная сфера является однородное пространство для унитарной группы U. Стабилизатор одиночного вектора v единичной сферы является унитарной группой ортогонального дополнения к v; Следовательно гомотопическая длинная точная последовательность предсказывает, что все гомотопические группы единичной сферы будут тривиальными. Это показывает тесную топологическую взаимосвязь, но самого по себе этого недостаточно, поскольку включение точки будет слабая гомотопическая эквивалентность только, и это подразумевает непосредственно сокращаемость только для CW комплекс. В статье, опубликованной через два года после Койпера,^[9] Ричард Пале предоставил технические результаты по бесконечномерным многообразиям, достаточные для решения этой проблемы.^[10]

Унитарная группа Ботта

Есть еще одна бесконечномерная унитарная группа, имеющая большое значение в теория гомотопии, то к чему Теорема периодичности Ботта применяется. Это, конечно, не сжимаемо. Отличие от группы Койпера можно объяснить: группа Ботта - это подгруппа, в которой данный оператор действует нетривиально только на подпространстве, натянутом на первое N фиксированного ортонормированного базиса {е_я}, для некоторых N, являясь тождеством остальных базисных векторов.

Приложения

Немедленное следствие, учитывая общую теорию пучки волокон, это каждый Расслоение Гильберта это тривиальная связка.^[11]

Результат по сократимости S^∞ дает геометрическую конструкцию классификация пространств для определенных групп, которые действуют свободно, например, циклическая группа с двумя элементами и круговая группа. Унитарная группа U в смысле Ботта имеет классифицирующее пространство BU для сложных векторные пакеты (видеть Классифицирующее пространство для U (n) ). Более глубокое применение теоремы Койпера - это доказательство Теорема Атьи-Яниха (после Клаус Йених и Майкл Атья ), утверждая, что пространство Фредгольмовы операторы на ЧАС, с топологией нормы, представляет функтор K(.) топологической (комплексной) K-теории в смысле теории гомотопий. Это дано Атьей.^[12]

Случай банаховых пространств

Тот же вопрос можно задать об обратимых операторах на любых Банахово пространство бесконечного измерения. Здесь есть лишь частичные результаты. Некоторые классические пространства последовательностей обладают тем же свойством, а именно, что группа обратимых операторов стягиваема. С другой стороны, известны примеры, когда он не может быть связанное пространство.^[13] Если известно, что все гомотопические группы тривиальны, стягиваемость в некоторых случаях может оставаться неизвестной.