Теорема периодичности Ботта - Bott periodicity theorem

В математика, то Теорема периодичности Ботта описывает периодичность в гомотопические группы из классические группы, обнаруженный Рауль Ботт  (1957, 1959 ), что оказалось фундаментальным для многих дальнейших исследований, в частности K-теория стабильного комплекса векторные пакеты, так же хорошо как стабильные гомотопические группы сфер. Периодичность Ботта может быть сформулирована множеством способов, при этом рассматриваемая периодичность всегда проявляется как явление периода-2 по отношению к размерности для теории, связанной с унитарная группа. См. Например топологическая K-теория.

Существуют соответствующие явления периода 8 для совпадающих теорий, (настоящий ) КО-теория и (кватернионный ) KSp-теория, связанные с реальным ортогональная группа и кватернионный симплектическая группа, соответственно. В J-гомоморфизм является гомоморфизмом гомотопических групп ортогональных групп в стабильные гомотопические группы сфер, в результате чего периодичность Ботта с периодом 8 проявляется в стабильных гомотопических группах сфер.

Заявление о результате

Ботт показал, что если ${\displaystyle O(\infty )}$ определяется как индуктивный предел из ортогональные группы, то его гомотопические группы периодические:^[1]

${\displaystyle \pi _{n}(O(\infty ))\simeq \pi _{n+8}(O(\infty ))}$

и первые 8 гомотопических групп следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{0}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{1}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} _{2}\\\pi _{2}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{3}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \\\pi _{4}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{5}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{6}(O(\infty ))&\simeq 0\\\pi _{7}(O(\infty ))&\simeq \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

Контекст и значение

Контекст периодичности Ботта заключается в том, что гомотопические группы из сферы, которые, как ожидается, будут играть основную роль в алгебраическая топология по аналогии с теория гомологии, оказались неуловимыми (а теория сложна). Предмет теория стабильной гомотопии был задуман как упрощение путем введения приостановка (разбить продукт с круг ) и видя, что (грубо говоря) осталось от теории гомотопии, когда можно было приостановить обе части уравнения столько раз, сколько он пожелал. Стабильная теория все еще была трудна для вычислений на практике.

Периодичность Ботта предложила понимание некоторых весьма нетривиальных пространств, имеющих центральный статус в топологии из-за связи их когомология с характеристические классы, для которого все (неустойчивый) гомотопические группы могут быть вычислены. Эти пространства являются (бесконечными, или стабильный) унитарные, ортогональные и симплектические группы U, О и Sp. В контексте, стабильный относится к вступлению в союз U (также известный как прямой предел ) последовательности включений

${\displaystyle U(1)\subset U(2)\subset \cdots \subset U=\bigcup _{k=1}^{\infty }U(k)}$

и аналогично для О и Sp. Обратите внимание, что Ботт использует слово стабильный в названии его основополагающей статьи говорится об этих стабильных классические группы а не стабильная гомотопия группы.

Важная связь периодичности Ботта с стабильные гомотопические группы сфер ${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$ поступает через так называемый стабильный J-гомоморфизм от (неустойчивых) гомотопических групп (стабильных) классических групп к этим стабильным гомотопическим группам ${\displaystyle \pi _{n}^{S}}$. Первоначально описано Джордж Уайтхед, он стал предметом знаменитых Гипотеза Адамса (1963), который окончательно разрешил утвердительно Дэниел Квиллен (1971).

Первоначальные результаты Ботта можно кратко изложить в:

Следствие: (Неустойчивые) гомотопические группы (бесконечных) классические группы периодические:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{k}(U)&=\pi _{k+2}(U)\\\pi _{k}(O)&=\pi _{k+4}(\operatorname {Sp} )\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+4}(O)&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

Примечание: Второй и третий из этих изоморфизмов переплетаются, чтобы получить результаты с 8-кратной периодичностью:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{k}(O)&=\pi _{k+8}(O)\\\pi _{k}(\operatorname {Sp} )&=\pi _{k+8}(\operatorname {Sp} ),&&k=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

Пространства петель и классифицирующие пространства

Для теории, связанной с бесконечным унитарная группа, U, космос BU это классификация пространства для стабильного комплекса векторные пакеты (а Грассманиан в бесконечных измерениях). Одна формулировка периодичности Ботта описывает двумерное пространство петель Ω²BU из BU. Здесь Ω - пространство петли функтор, правый смежный к приостановка и левый смежный к классификация пространства строительство. Периодичность Ботта утверждает, что это пространство двойной петли по существу BU опять таки; точнее,

${\displaystyle \Omega ^{2}BU\simeq \mathbb {Z} \times BU}$

по существу (то есть гомотопический эквивалент в) объединение счетного числа копий BU. Эквивалентная формулировка:

${\displaystyle \Omega ^{2}U\simeq U.}$

Любой из них сразу же показывает, почему (сложные) топологические K-теория - это 2-х периодическая теория.

В соответствующей теории для бесконечного ортогональная группа, О, космос BO это классификация пространства для стабильного реального векторные пакеты. В этом случае периодичность Ботта утверждает, что для 8-кратного пространства петель

${\displaystyle \Omega ^{8}BO\simeq \mathbb {Z} \times BO;}$

или эквивалентно,

${\displaystyle \Omega ^{8}O\simeq O,}$

откуда следует, что КО-теория - это 8-кратная периодическая теория. Кроме того, для бесконечного симплектическая группа, Sp пространство BSp - это классификация пространства для стабильной кватернионной векторные пакеты, а периодичность Ботта утверждает, что

${\displaystyle \Omega ^{8}\operatorname {BSp} \simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} ;}$

или эквивалентно

${\displaystyle \Omega ^{8}\operatorname {Sp} \simeq \operatorname {Sp} .}$

Таким образом, оба топологических реальных K-теория (также известная как КО-теория) и топологической кватернионной K-теории (также известные как KSp-теория) являются 8-кратными периодическими теориями.

Геометрическая модель петлевых пространств

Одна изящная формулировка периодичности Ботта использует наблюдение, что существуют естественные вложения (как замкнутые подгруппы) между классическими группами. Тогда пространства петель в периодичности Ботта гомотопически эквивалентны симметричные пространства последовательных частных с дополнительными дискретными множителями Z.

По комплексным числам:

${\displaystyle U\times U\subset U\subset U\times U.}$

По действительным числам и кватернионам:

${\displaystyle O\times O\subset O\subset U\subset \operatorname {Sp} \subset \operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} \subset \operatorname {Sp} \subset U\subset O\subset O\times O.}$

Эти последовательности соответствуют последовательностям в Алгебры Клиффорда - видеть классификация алгебр Клиффорда; над комплексными числами:

${\displaystyle \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {C} \oplus \mathbb {C} .}$

По действительным числам и кватернионам:

${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} ,}$

где алгебры с делением обозначают «матрицы над этой алгеброй».

Поскольку они 2-периодичны / 8-периодичны, их можно расположить по кругу, где они называются Часы периодичности Ботта и Алгебраические часы Клиффорда.

Затем результаты периодичности Ботта уточняются до последовательности гомотопические эквивалентности:

Для сложных K-теория:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega U&\simeq \mathbb {Z} \times BU=\mathbb {Z} \times U/(U\times U)\\\Omega (Z\times BU)&\simeq U=(U\times U)/U\end{aligned}}}$

Для реальных и кватернионных КО- и KSp-теории:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega (\mathbb {Z} \times BO)&\simeq O=(O\times O)/O&\Omega (\mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} )&\simeq \operatorname {Sp} =(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )/\operatorname {Sp} \\\Omega O&\simeq O/U&\Omega \operatorname {Sp} &\simeq \operatorname {Sp} /U\\\Omega (O/U)&\simeq U/\operatorname {Sp} &\Omega (\operatorname {Sp} /U)&\simeq U/O\\\Omega (U/\operatorname {Sp} )&\simeq \mathbb {Z} \times \operatorname {BSp} =\mathbb {Z} \times \operatorname {Sp} /(\operatorname {Sp} \times \operatorname {Sp} )&\Omega (U/O)&\simeq \mathbb {Z} \times BO=\mathbb {Z} \times O/(O\times O)\end{aligned}}}$

Полученные пространства гомотопически эквивалентны классическим редуктивным симметричные пространства, и являются последовательными частными членов часов периодичности Ботта. Эти эквивалентности немедленно дают теоремы периодичности Ботта.

Конкретные пространства:^{[примечание 1]} (для групп главное однородное пространство также указан):

Пространство петли	Частное	Этикетка Картана	Описание
${\displaystyle \Omega ^{0}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} \times O/(O\times O)}$	BDI	Настоящий Грассманиан
${\displaystyle \Omega ^{1}}$	${\displaystyle O=(O\times O)/O}$		Ортогональная группа (настоящий Коллектор Штифеля )
${\displaystyle \Omega ^{2}}$	${\displaystyle O/U}$	DIII	пространство сложных структур, совместимых с данной ортогональной структурой
${\displaystyle \Omega ^{3}}$	${\displaystyle U/\mathrm {Sp} }$	AII	пространство кватернионных структур, совместимых с данной сложной структурой
${\displaystyle \Omega ^{4}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathrm {Sp} /(\mathrm {Sp} \times \mathrm {Sp} )}$	CII	Кватернионный Грассманиан
${\displaystyle \Omega ^{5}}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} =(\mathrm {Sp} \times \mathrm {Sp} )/\mathrm {Sp} }$		Симплектическая группа (кватернионный Коллектор Штифеля )
${\displaystyle \Omega ^{6}}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} /U}$	CI	сложный Лагранжев грассманиан
${\displaystyle \Omega ^{7}}$	${\displaystyle U/O}$	AI	Лагранжев грассманиан

Доказательства

Оригинальное доказательство Ботта (Ботт 1959 ) использовал Теория Морса, который Ботт (1956) ранее использовался для изучения гомологии групп Ли. Было дано много разных доказательств.

Примечания

1. Интерпретация и маркировка немного неверны и относятся к несводимый симметричные пространства, в то время как это более общие редуктивный пробелы. Например, SU/ Sp неприводима, а U/ Sp редуктивен. Как видно из них, разницу можно интерпретировать как то, включает ли один из них ориентация.

Рекомендации

1. http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node1.html

• Ботт, Рауль (1956), "Приложение теории Морса к топологии групп Ли", Bulletin de la Société Mathématique de France, 84: 251–281, Дои:10.24033 / bsmf.1472, ISSN  0037-9484, МИСТЕР  0087035
• Ботт, Рауль (1957), «Стабильная гомотопия классических групп», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 43 (10): 933–5, Дои:10.1073 / пнас.43.10.933, JSTOR  89403, МИСТЕР  0102802, ЧВК  528555, PMID  16590113
• Ботт, Рауль (1959), «Стабильная гомотопия классических групп», Анналы математики, Вторая серия, 70 (2): 313–337, Дои:10.2307/1970106, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970106, МИСТЕР  0110104, ЧВК  528555
• Ботт, Р. (1970), «Теорема периодичности для классических групп и некоторые ее приложения», Успехи в математике, 4 (3): 353–411, Дои:10.1016/0001-8708(70)90030-7. Изложение теоремы и математики, окружающей ее.
• Гиффен, К. (1996), «Периодичность Ботта и Q-конструкция» в Банашаке, Гжегоже; Гайда, Войцех; Красонь, Петр (ред.), Алгебраическая K-теория, Современная математика, 199, Американское математическое общество, стр. 107–124, ISBN  978-0-8218-0511-4, МИСТЕР  1409620
• Милнор, Дж. (1969). Теория Морса. Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08008-9.
• Баэз, Джон (21 июня 1997 г.). «Неделя 105». Результаты этой недели по математической физике.