Сильная операторная топология - Strong operator topology

В функциональный анализ, филиал математика, то сильная операторная топология, часто сокращенно SOT, это локально выпуклый топология на съемках ограниченные операторы на Гильбертово пространство ЧАС индуцированные полунормами вида ${\displaystyle T\mapsto \|Tx\|}$, так как Икс варьируется в ЧАС.

Эквивалентно, это грубейшая топология такой, что для каждого фиксированного Икс в ЧАС, оценочная карта ${\displaystyle (T,x)\mapsto Tx}$ (принимая значения в ЧАС) непрерывно в T. Эквивалентность этих двух определений можно увидеть, заметив, что a подоснование для обеих топологий задается множествами ${\displaystyle U(T_{0},x,\epsilon )=\{T:\|Tx-T_{0}x\|<\epsilon \}}$ (куда Т₀ любой ограниченный оператор на ЧАС, Икс - любой вектор, а ε - любое положительное действительное число).

Конкретно это означает, что ${\displaystyle T_{i}\to T}$ в сильной операторной топологии тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \|T_{i}x-Tx\|\to 0}$ для каждого Икс в ЧАС.

СОТ - это сильнее чем слабая операторная топология и слабее, чем топология нормы.

SOT не хватает некоторых из лучших свойств, которые слабая операторная топология имеет, но, будучи сильнее, в этой топологии иногда легче доказать. Это тоже можно рассматривать как более естественное, поскольку это просто топология поточечной сходимости.

Топология SOT также обеспечивает основу для измеримое функциональное исчисление, точно так же, как топология нормы для непрерывное функциональное исчисление.

В линейные функционалы на множестве ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, непрерывных в SOT, в точности являются операторами, непрерывными в WOT. Из-за этого закрытие выпуклый набор операторов в WOT - это то же самое, что и закрытие набора в SOT.

Этот язык переводится в свойства сходимости операторов гильбертова пространства. Для комплексного гильбертова пространства с помощью поляризационного тождества легко проверить, что сходимость сильного оператора влечет сходимость слабого оператора.

Смотрите также

• Сильно непрерывная полугруппа
• Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве

Рекомендации

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Педерсен, Герт (1989). Анализ сейчас. Springer. ISBN  0-387-96788-5.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.