Сильная топология (полярная топология) - Strong topology (polar topology)

Смотрите также: Сильное двойное пространство

В функциональный анализ и смежные области математика то сильная топология на непрерывное двойное пространство из топологическое векторное пространство (TVS) Икс это лучший полярная топология, то топология с большинством открытые наборы, на двойная пара. В самый грубый полярная топология называется слабая топология. Когда непрерывное двойное пространство ТВС Икс наделен этой топологией, то она называется сильное двойное пространство из Икс.

Определение

Позволять ${\displaystyle (X,Y,\langle ,\rangle )}$ быть двойная пара векторных пространств над полем ${\displaystyle {\mathbb {F} }}$ настоящих (${\displaystyle {\mathbb {R} }}$) или сложный (${\displaystyle {\mathbb {C} }}$) числа. Обозначим через ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ система всех подмножеств ${\displaystyle B\subseteq X}$ ограничен элементами Y в следующем смысле:

${\displaystyle \forall y\in Y\qquad \sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty .}$

Тогда сильная топология ${\displaystyle \beta (Y,X)}$ на ${\displaystyle Y}$ определяется как локально выпуклая топология на Y порожденные полунормами вида

${\displaystyle ||y||_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |,\qquad y\in Y,\qquad B\in {\mathcal {B}}.}$

В частном случае, когда Икс это локально выпуклое пространство, то сильная топология на (непрерывном) двойное пространство ${\displaystyle X'}$ (т.е. на пространстве всех непрерывных линейных функционалов ${\displaystyle f:X\to {\mathbb {F} }}$) определяется как сильная топология ${\displaystyle \beta (X',X)}$, и совпадает с топологией равномерной сходимости на ограниченные множества в Икс, т.е. с топологией на ${\displaystyle X'}$ порожденные полунормами вида

${\displaystyle ||f||_{B}=\sup _{x\in B}|f(x)|,\qquad f\in X',}$

куда B проходит через семью всех ограниченные множества в Икс. Космос ${\displaystyle X'}$ с этой топологией называется сильное двойное пространство пространства Икс и обозначается ${\displaystyle X'_{\beta }}$.

Примеры

• Если Икс это нормированное векторное пространство, то его (непрерывная) двойное пространство ${\displaystyle X'}$ с сильной топологией совпадает с Двойное банахово пространство ${\displaystyle X'}$, т.е. с пробелом ${\displaystyle X'}$ с топологией, индуцированной норма оператора. Наоборот ${\displaystyle \beta (X,X')}$-топология на Икс идентична топологии, индуцированной норма на Икс.

Характеристики

• Если Икс это ствольное пространство, то его топология совпадает с сильной топологией ${\displaystyle \beta (X,X')}$ на ${\displaystyle X}$ и с Топология Макки на Икс генерируется спариванием ${\displaystyle (X,X')}$.

Смотрите также

• Двойная топология
• Двойная система
• Рефлексивное пространство
• Полярная топология - Топология двойственного пространства с равномерной сходимостью на некотором поднаборе ограниченных подмножеств
• Полурефлексивное пространство
• Сильное двойное пространство - Непрерывное сопряженное пространство с топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах.
• Топологии на пространствах линейных отображений

Рекомендации

• Шефер, Хельмут Х. (1966). Топологические векторные пространства. Нью-Йорк: Компания MacMillan. ISBN  0-387-98726-6.