Двойная топология - Dual topology

В функциональный анализ и смежные области математика а двойная топология это локально выпуклая топология на двойная пара, два векторные пространства с билинейная форма определены на них, так что одно векторное пространство становится непрерывный дуальный другого пространства.

Различные двойственные топологии для данной двойственной пары характеризуются теоремой Макки – Аренса. Все локально выпуклые топологии с их непрерывной двойственной топологией тривиально являются двойственной парой, а локально выпуклая топология - двойственной топологией.

Некоторые топологические свойства зависят только от двойная пара а не на выбранной дуальной топологии, и поэтому часто можно заменить сложную дуальную топологию более простой.

Определение

Учитывая двойная пара ${\displaystyle (X,Y,\langle ,\rangle )}$, а двойная топология на ${\displaystyle X}$ это локально выпуклая топология ${\displaystyle \tau }$ так что

${\displaystyle (X,\tau )'\simeq Y.}$

Здесь ${\displaystyle (X,\tau )'}$ обозначает непрерывный дуальный из ${\displaystyle (X,\tau )}$ и ${\displaystyle (X,\tau )'\simeq Y}$ означает, что есть линейный изоморфизм

${\displaystyle \Psi :Y\to (X,\tau )',\quad y\mapsto (x\mapsto \langle x,y\rangle ).}$

(Если локально выпуклая топология ${\displaystyle \tau }$ на ${\displaystyle X}$ не является дуальной топологией, то либо ${\displaystyle \Psi }$ не сюръективен или некорректно определен, поскольку линейный функционал ${\displaystyle x\mapsto \langle x,y\rangle }$ не продолжается ${\displaystyle X}$ для некоторых ${\displaystyle y}$.)

Характеристики

• Теорема (к Макки ): Учитывая двойственную пару, ограниченные множества при любой дуальной топологии идентичны.
• При любой дуальной топологии одни и те же множества ствол.

Характеризация двойственных топологий

В Теорема Макки – Аренса, названный в честь Джордж Макки и Ричард Аренс, характеризует все возможные дуальные топологии на локально выпуклое пространство.

Теорема показывает, что самый грубый двойная топология - это слабая топология, топология равномерной сходимости на всех конечных подмножествах ${\displaystyle X'}$, а лучшая топология это Топология Макки, топология равномерной сходимости на всех абсолютно выпуклый слабо компактные подмножества ${\displaystyle X'}$.

Теорема Макки – Аренса

Учитывая двойная пара ${\displaystyle (X,X')}$ с ${\displaystyle X}$ локально выпуклое пространство и ${\displaystyle X'}$ это непрерывный дуальный, тогда ${\displaystyle \tau }$ дуальная топология на ${\displaystyle X}$ если и только если это топология равномерной сходимости на семью абсолютно выпуклый и слабо компактный подмножества ${\displaystyle X'}$

Смотрите также

• Полярная топология