Сильное двойное пространство - Strong dual space

Смотрите также: Сильная топология (полярная топология)

В функциональный анализ, то сильный дуал из топологическое векторное пространство (TVS) Икс это непрерывное двойное пространство из Икс оснащен сильная топология или топология равномерной сходимости на ограниченных подмножествах Икс, где эта топология обозначается ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$ или же ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}$. Сильное двойственное пространство играет такую ​​важную роль в современном функциональном анализе, что обычно предполагается, что непрерывное двойственное пространство имеет сильную двойственную топологию, если не указано иное. Чтобы подчеркнуть, что непрерывное двойственное пространство, ${\displaystyle X^{\prime }}$, имеет сильную дуальную топологию, ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ или же ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$ может быть написано.

Сильная двойная топология

Определение из дуальной системы

Основная статья: двойная система

Позволять ${\displaystyle (X,Y,\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle )}$ быть двойная система векторных пространств над полем ${\displaystyle {\mathbb {F} }}$ настоящих (${\displaystyle {\mathbb {R} }}$) или сложный (${\displaystyle {\mathbb {C} }}$) числа. Обратите внимание, что ни Икс ни Y имеет топологию, поэтому мы определяем подмножество B из Икс быть ограниченным тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \sup _{x\in B}\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|<\infty }$ для всех ${\displaystyle y\in Y}$. Это эквивалентно обычному понятию ограниченные подмножества когда Икс задана слабая топология, индуцированная Y, которая является хаусдорфовой локально выпуклый топология. Теперь определение сильной дуальной топологии происходит так же, как и в случае TVS.

Обратите внимание, что если Икс представляет собой ТВС, непрерывное двойственное пространство которой отделяет точку на Икс, тогда Икс является частью канонической дуальной системы ${\displaystyle \left(X,X^{\prime },\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right)}$ куда ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$.

Определение на ТВ

Предположим, что Икс это топологическое векторное пространство (TVS) над полем ${\displaystyle {\mathbb {F} }}$ настоящих (${\displaystyle {\mathbb {R} }}$) или сложный (${\displaystyle {\mathbb {C} }}$) числа. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ быть любой фундаментальной системой ограниченные множества из Икс (т.е. набор ограниченных подмножеств Икс такой, что любое ограниченное подмножество Икс является подмножеством некоторых ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$); множество всех ограниченных подмножеств Икс тривиально образует фундаментальную систему ограниченных множеств Икс. Базис замкнутых окрестностей начала координат в ${\displaystyle X^{\prime }}$ дается поляры:

${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }\left(x\right)\right|\leq 1\right\}}$

в качестве B колеблется над ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$). Это локально выпуклая топология, заданная множеством полунормы на ${\displaystyle X^{\prime }}$:${\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{B}:=\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }\left(x\right)\right|}$в качестве B колеблется над ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Если Икс является нормируемый тогда так ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ и ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ на самом деле будет Банахово пространство. Если Икс нормированное пространство с нормой ${\displaystyle \|\cdot \|}$ тогда ${\displaystyle X^{\prime }}$ имеет каноническую норму ( норма оператора ) предоставлено ${\displaystyle \left\|x^{\prime }\right\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|}$; топология, которую эта норма индуцирует на ${\displaystyle X^{\prime }}$ идентична сильной дуальной топологии.

Характеристики

Позволять Икс - локально выпуклая ТВП.

• Выпуклый, сбалансированный, слабо компактное подмножество Икс' ограничен в ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$.^[1]
• Каждое слабо ограниченное подмножество Икс' сильно ограничено.^[2]
• Если Икс это ствольное пространство тогда Икстопология идентична сильной двойной топологии б(Икс, Икс') и к Топология Макки на Икс.
• Если Икс является метризуемым локально выпуклым пространством, то сильное двойственное к Икс является борнологический если и только если это непонятный, тогда и только тогда, когда это ствол.^[3]
• Если Икс хаусдорфова локально выпуклая ТВП, то (Икс, б(Икс, Икс')) является метризуемый тогда и только тогда, когда существует счетное множество ℬ ограниченных подмножеств Икс такой, что любое ограниченное подмножество Икс содержится в каком-то элементе ℬ.^[4]

Смотрите также

• Двойная топология
• Двойная система
• Список топологий
• Полярная топология - Топология двойного пространства с равномерной сходимостью на некотором поднаборе ограниченных подмножеств
• Сильная топология
• Сильная топология (полярная топология) - Топология двойственного пространства равномерной сходимости на ограниченных подмножествах
• Топологии на пространствах линейных отображений

Рекомендации

1. Шефер и Вольф, 1999 г., п. 141.
2. Шефер и Вольф, 1999 г., п. 142.
3. Шефер и Вольф, 1999 г., п. 153.
4. Наричи и Бекенштейн 2011, pp. 225-273.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09513-6. OCLC  5126158.