Двойная норма - Dual norm

В функциональный анализ, то двойная норма это мера "размера" каждого непрерывный линейный функционал определено на нормированное векторное пространство.

Определение

Позволять ${displaystyle X}$ быть нормированное векторное пространство с нормой ${displaystyle |cdot |}$ и разреши ${displaystyle X^{*}}$ быть двойное пространство. В двойная норма непрерывного линейный функционал ${displaystyle f}$ принадлежащий ${displaystyle X^{*}}$ определено неотрицательное действительное число^[1] по любой из следующих эквивалентных формул:

${displaystyle {egin{alignedat}{5}|f|&=sup &&{|f(x)|&&~:~|x|leq 1~&&~{ ext{ and }}~&&xin X}&=sup &&{|f(x)|&&~:~|x|<1~&&~{ ext{ and }}~&&xin X}&=inf &&{cin mathbb {R} &&~:~|f(x)|leq c|x|~&&~{ ext{ for all }}~&&xin X}&=sup &&{|f(x)|&&~:~|x|=1{ ext{ or }}0~&&~{ ext{ and }}~&&xin X}&=sup &&{|f(x)|&&~:~|x|=1~&&~{ ext{ and }}~&&xin X};;;{ ext{ this equality holds if and only if }}Xeq {0}&=sup &&{igg {}{frac {|f(x)|}{|x|}}~&&~:~xeq 0&&~{ ext{ and }}~&&xin X{igg }};;;{ ext{ this equality holds if and only if }}Xeq {0}end{alignedat}}}$

куда ${displaystyle sup }$ и ${displaystyle inf }$ обозначить супремум и инфимум, соответственно. Постоянная 0 карта всегда имеет норму, равную 0 и это начало векторного пространства ${displaystyle X^{*}.}$ Если ${displaystyle X={0}}$ то единственный линейный функционал на ${displaystyle X}$ постоянная 0 map и более того, оба набора в последних двух строках будут пустыми, и, следовательно, их супремумы будет равно ∞ вместо правильного значения 0.

Карта ${displaystyle fmapsto |f|}$ определяет норма на ${displaystyle X^{*}.}$ (См. Теоремы 1 и 2 ниже.)

Двойственная норма - это частный случай норма оператора определен для каждого (ограниченного) линейного отображения между нормированными векторными пространствами.

Топология на ${displaystyle X^{*}}$ индуцированный ${displaystyle |cdot |}$ оказывается таким же сильным, как слабая * топология на ${displaystyle X^{*}.}$

Если наземное поле из ${displaystyle X}$ является полный тогда ${displaystyle X^{*}}$ это Банахово пространство.

Двойной двойственный к линейному нормированному пространству

В двойной двойной (или второй дуал) ${displaystyle X^{**}}$ из ${displaystyle X}$ является двойником нормированного векторного пространства ${displaystyle X^{*}}$. Есть естественная карта ${displaystyle varphi :X o X^{**}}$. Ведь для каждого ${displaystyle w^{*}}$ в ${displaystyle X^{*}}$ определять

${displaystyle varphi (v)(w^{*}):=w^{*}(v).}$

Карта ${displaystyle varphi }$ является линейный, инъективный, и сохранение расстояния.^[2] В частности, если ${displaystyle X}$ полно (т. е. банахово пространство), то ${displaystyle varphi }$ является изометрией на замкнутое подпространство в ${displaystyle X^{**}}$.^[3]

В общем, карта ${displaystyle varphi }$ не сюръективно. Например, если ${displaystyle X}$ это банахово пространство ${displaystyle L^{infty }}$ состоящий из ограниченных функций на вещественной прямой с супремум-нормой, то отображение ${displaystyle varphi }$ не сюръективно. (Видеть ${displaystyle L^{p}}$ Космос ). Если ${displaystyle varphi }$ сюръективно, то ${displaystyle X}$ считается рефлексивное банахово пространство. Если ${displaystyle 1<p<infty ,}$

затем Космос ${displaystyle L^{p}}$ - рефлексивное банахово пространство.

Математическая оптимизация

Позволять ${displaystyle |cdot |}$ быть нормой ${displaystyle mathbb {R} ^{n}.}$ Связанный двойная норма, обозначенный ${displaystyle |cdot |_{*},}$ определяется как

${displaystyle |z|_{*}=sup{z^{intercal }x;|;|x|leq 1}.}$

(Можно показать, что это норма.) Двойственную норму можно интерпретировать как норма оператора из ${displaystyle z^{intercal }}$, интерпретируется как ${displaystyle 1 imes n}$ матрица, с нормой ${displaystyle |cdot |}$ на ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, а абсолютное значение на ${displaystyle mathbb {R} }$:

${displaystyle |z|_{*}=sup{|z^{intercal }x|;|;|x|leq 1}.}$

Из определения двойственной нормы следует неравенство

${displaystyle z^{intercal }x=|x|left(z^{intercal }{frac {x}{|x|}}ight)leq |x||z|_{*}}$

что справедливо для всех Икс и z.^[4] Двойственная к двойственной норме является исходной нормой: мы имеем ${displaystyle |x|_{**}=|x|}$ для всех Икс. (Это не обязательно в бесконечномерных векторных пространствах.)

Двойной Евклидова норма - евклидова норма, так как

${displaystyle sup{z^{intercal }x;|;|x|_{2}leq 1}=|z|_{2}.}$

(Это следует из Неравенство Коши – Шварца; для ненулевого z, значение Икс что максимизирует ${displaystyle z^{intercal }x}$ над ${displaystyle |x|_{2}leq 1}$ является ${displaystyle { frac {z}{|z|_{2}}}}$.)

Двойной ${displaystyle ell _{infty }}$-норма - это ${displaystyle ell _{1}}$-норма:

${displaystyle sup{z^{intercal }x;|;|x|_{infty }leq 1}=sum _{i=1}^{n}|z_{i}|=|z|_{1},}$

и двойник ${displaystyle ell _{1}}$-норма - это ${displaystyle ell _{infty }}$-норма.

В более общем смысле, Неравенство Гёльдера показывает, что двойственное ${displaystyle ell _{p}}$-норма это ${displaystyle ell _{q}}$-норма, где, q удовлетворяет ${displaystyle { frac {1}{p}}+{ frac {1}{q}}=1}$, т.е. ${displaystyle q={ frac {p}{p-1}}.}$

В качестве другого примера рассмотрим ${displaystyle ell _{2}}$- или спектральная норма на ${displaystyle mathbb {R} ^{m imes n}}$. Соответствующая двойственная норма

${displaystyle |Z|_{2*}=sup{mathrm {f {tr}} (Z^{intercal }X)||X|_{2}leq 1},}$

которая оказывается суммой сингулярных значений,

${displaystyle |Z|_{2*}=sigma _{1}(Z)+cdots +sigma _{r}(Z)=mathrm {f {tr}} ({sqrt {Z^{intercal }Z}}),}$

куда ${displaystyle r=mathrm {f {rank}} Z.}$ Эту норму иногда называют ядерный норма.^[5]

Примеры

Двойственная норма для матриц

Основные статьи: Оператор Гильберта – Шмидта и Матричная норма § Норма Фробениуса

В Норма Фробениуса определяется

${displaystyle |A|_{ ext{F}}={sqrt {sum _{i=1}^{m}sum _{j=1}^{n}left|a_{ij}ight|^{2}}}={sqrt {operatorname {trace} (A^{*}A)}}={sqrt {sum _{i=1}^{min{m,n}}sigma _{i}^{2}}}}$

самодуальна, т. е. двойственная норма ${displaystyle |cdot |'_{ ext{F}}=|cdot |_{ ext{F}}.}$

В спектральная норма, частный случай индуцированная норма когда ${displaystyle p=2}$, определяется максимумом сингулярные значения матрицы, т.е.

${displaystyle |A|_{2}=sigma _{max }(A),}$

имеет ядерную норму как двойственную норму, которая определяется

${displaystyle |B|'_{2}=sum _{i}sigma _{i}(B),}$

для любой матрицы ${displaystyle B}$ куда ${displaystyle sigma _{i}(B)}$ обозначим особые значения^{[нужна цитата ]}.

Некоторые основные результаты о норме оператора

В общем, пусть ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$ быть топологические векторные пространства и разреши ${displaystyle L(X,Y)}$^[6] быть собранием всех ограниченные линейные отображения (или же операторы) из ${displaystyle X}$ в ${displaystyle Y}$. В случае, когда ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$ нормированные векторные пространства, ${displaystyle L(X,Y)}$ можно задать каноническую норму.

Теорема 1. — Позволять ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$ быть нормированными пространствами. Присваивая каждому непрерывному линейному оператору ${displaystyle fin L(X,Y)}$ скаляр:

${displaystyle |f|=sup left{|f(x)|:xin X,|x|leq 1ight}.}$

определяет норму ${displaystyle |cdot |~:~L(X,Y) o mathbb {R} }$ на ${displaystyle L(X,Y)}$ что делает ${displaystyle L(X,Y)}$ в нормированное пространство. Более того, если ${displaystyle Y}$ является банаховым пространством, то ${displaystyle L(X,Y).}$^[7]

Доказательство

Подмножество нормированного пространства ограничено если и только если он лежит в нескольких единичная сфера; таким образом ${displaystyle |f|<infty }$ для каждого ${displaystyle fin L(X,Y)}$ если ${displaystyle alpha }$ скаляр, то ${displaystyle (alpha f)(x)=alpha cdot fx}$ так что ${displaystyle |alpha f|=|alpha ||f|}$ В неравенство треугольника в ${displaystyle Y}$ показывает, что ${displaystyle {egin{aligned}|(f_{1}+f_{2})x|~&=~|f_{1}x+f_{2}x|&leq ~|f_{1}x|+|f_{2}x|&leq ~(|f_{1}|+|f_{2}|)|x|&leq ~|f_{1}|+|f_{2}|end{aligned}}}$ для каждого ${displaystyle xin X}$ удовлетворение ${displaystyle |x|leq 1.}$ Этот факт вместе с определением ${displaystyle |cdot |~:~L(X,Y) o mathbb {R} }$ следует неравенство треугольника: ${displaystyle |f_{1}+f_{2}|leq |f_{1}|+|f_{2}|}$ С ${displaystyle {|f(x)|:xin X,|x|leq 1}}$ непустой набор неотрицательных действительных чисел, ${displaystyle |f|=sup left{|f(x)|:xin X,|x|leq 1ight}}$ - неотрицательное действительное число. Если ${displaystyle feq 0}$ тогда ${displaystyle fx_{0}eq 0}$ для некоторых ${displaystyle x_{0}in X,}$ откуда следует, что ${displaystyle |fx_{0}|>0}$ и следовательно ${displaystyle |f|>0.}$ Это показывает, что ${displaystyle left(L(X,Y),|cdot |ight)}$ это нормированное пространство.[8] Предположим теперь, что ${displaystyle Y}$ завершено, и мы покажем, что ${displaystyle left(L(X,Y),|cdot |ight)}$ завершено. Позволять ${displaystyle f_{ullet }=left(f_{n}ight)_{n=1}^{infty }}$ быть Последовательность Коши в ${displaystyle L(X,Y),}$ так по определению ${displaystyle |f_{n}-f_{m}| o 0}$ в качестве ${displaystyle n,m o infty .}$ Этот факт вместе с соотношением ${displaystyle |f_{n}x-f_{m}x|=|left(f_{n}-f_{m}ight)x|leq |f_{n}-f_{m}||x|}$ подразумевает, что ${displaystyle left(f_{n}xight)_{n=1}^{infty }}$ последовательность Коши в ${displaystyle Y}$ для каждого ${displaystyle xin X.}$ Отсюда следует, что для каждого ${displaystyle xin X,}$ Лимит ${displaystyle lim _{n o infty }f_{n}x}$ существует в ${displaystyle Y}$ и поэтому мы будем обозначать этот (обязательно единственный) предел через ${displaystyle fx,}$ то есть: ${displaystyle fx~=~lim _{n o infty }f_{n}x.}$ Можно показать, что ${displaystyle f:X o Y}$ линейно. Если ${displaystyle varepsilon >0}$, тогда ${displaystyle |f_{n}-f_{m}||x|~leq ~varepsilon |x|}$ для всех достаточно больших целых чисел п и м. Следует, что ${displaystyle |fx-f_{m}x|~leq ~varepsilon |x|}$ для достаточно всех больших м. Следовательно ${displaystyle |fx|leq left(|f_{m}|+varepsilon ight)|x|,}$ так что ${displaystyle fin L(X,Y)}$ и ${displaystyle |f-f_{m}|leq varepsilon .}$ Это показывает, что ${displaystyle f_{m} o f}$ в топологии нормы ${displaystyle L(X,Y).}$ Это устанавливает полноту ${displaystyle L(X,Y).}$[9]

Когда ${displaystyle Y}$ это скалярное поле (т.е. ${displaystyle Y=mathbb {C} }$ или же ${displaystyle Y=mathbb {R} }$) так что ${displaystyle L(X,Y)}$ это двойное пространство ${displaystyle X^{*}}$ из ${displaystyle X}$.

Теорема 2. — Для каждого ${displaystyle x^{*}in X^{*}}$ определять:

${displaystyle |x^{*}|~=~sup{|langle x,x^{*}angle |~:~xin X{ ext{ with }}|x|leq 1}}$

где по определению ${displaystyle langle x,x^{*}angle ~=~x^{*}(x)}$ является скаляром. потом

1. Это норма, которая делает ${displaystyle X^{*}}$ банахово пространство.^[10]
2. Позволять ${displaystyle B^{*}}$ быть замкнутым единичным шаром ${displaystyle X^{*}}$. Для каждого ${displaystyle xin X,}$

   ${displaystyle |x|~=~sup left{|langle x,x^{*}angle |~:~x^{*}in B^{*}ight}.}$

   Как следствие, ${displaystyle x^{*}mapsto langle x,x^{*}angle }$ ограниченный линейный функционал на ${displaystyle X^{*}}$ с нормой ${displaystyle |x^{*}|~=~|x|.}$
3. ${displaystyle B^{*}}$ слабый * -компактный.

Доказательство

Позволять ${displaystyle B~=~sup{xin X~:~|x|leq 1}}$обозначим замкнутый единичный шар нормированного пространства ${displaystyle X.}$ Когда ${displaystyle Y}$ это скалярное поле тогда ${displaystyle L(X,Y)=X^{*}}$ так что часть (а) является следствием теоремы 1. Зафиксируем ${displaystyle xin X.}$ Существует[11] ${displaystyle y^{*}in B^{*}}$ такой, что ${displaystyle langle {x,y^{*}}angle =|x|.}$ но, ${displaystyle |langle {x,x^{*}}angle |leq |x||x^{*}|leq |x|}$ для каждого ${displaystyle x^{*}in B^{*}}$. (б) следует из вышеизложенного. Поскольку открытый единичный шар ${displaystyle U}$ из ${displaystyle X}$ плотно в ${displaystyle B}$, определение ${displaystyle |x^{*}|}$ показывает, что ${displaystyle x^{*}in B^{*}}$ если и только если ${displaystyle |langle {x,x^{*}}angle |leq 1}$ для каждого ${displaystyle xin U}$. Доказательство для (c)[12] теперь следует прямо.[13]

Смотрите также

• выпуклый сопряженный
• норма оператора
• Lp пространства
• Неравенство Гёльдера

Примечания

1. Рудин 1991, п. 87
2. Рудин 1991, раздел 4.5, с. 95
3. Рудин 1991, п. 95
4. Это неравенство является точным в следующем смысле: для любого Икс Существует z для которых выполняется неравенство с равенством. (Аналогично для любого z существует Икс что дает равенство.)
5. Бойд и Ванденберге 2004, п. 637
6. Каждый ${displaystyle L(X,Y)}$ это векторное пространство, с обычными определениями сложения и скалярного умножения функций; это зависит только от структуры векторного пространства ${displaystyle Y}$, нет ${displaystyle X}$.
7. Рудин 1991, п. 92
8. Рудин 1991, п. 93
9. Рудин 1991, п. 93
10. Алипрантис 2006, п. 230 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFAliprantis2006 (помощь)
11. Рудин 1991, Теорема 3.3 Следствие, с. 59
12. Рудин 1991, Теорема 3.15. Теорема Банаха – Алаоглу алгоритм, стр. 68
13. Рудин 1991, п. 94

Рекомендации

• Aliprantis, Charalambos D .; Граница, Ким С. (2006). Бесконечный анализ измерений: автостопом (3-е изд.). Springer. ISBN  9783540326960.
• Бойд, Стивен; Ванденберге, Ливен (2004). Выпуклая оптимизация. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521833783.
• Колмогоров, А.; Фомин, С.В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа, Том 1: Метрические и нормированные пространства. Рочестер: Graylock Press.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: МакГроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

внешняя ссылка

• Заметки о проксимальном отображении Ливена Ванденберге