Начальная топология - Initial topology

В общая топология и смежные области математика, то начальная топология (или же индуцированная топология^[1]^[2] или же слабая топология или же предельная топология или же проективная топология) на набор ${ displaystyle X}$ , относительно семейства функций на ${ displaystyle X}$ , это грубейшая топология на Икс что делает эти функции непрерывный.

В топология подпространства и топология продукта конструкции являются частными случаями исходных топологий. Действительно, первоначальное построение топологии можно рассматривать как их обобщение.

В двойной понятие - это окончательная топология, которая для данного семейства функций, отображаемых в множество ${ displaystyle X}$ это лучшая топология на ${ displaystyle X}$ что делает эти функции непрерывными.

Определение

Учитывая набор Икс и индексированная семья (Y_я)_я∈я из топологические пространства с функциями

{ displaystyle f_ {i}: от X до Y_ {i},}

исходная топология ${ Displaystyle тау}$ на ${ displaystyle X}$ это грубейшая топология на Икс так что каждый

{ displaystyle f_ {i} :( X, tau) to Y_ {i}}

является непрерывный.

Явно исходная топология - это набор открытых множеств генерируется всеми наборами вида ${ displaystyle f_ {я} ^ {- 1} (U)}$ , куда ${ displaystyle U}$ является открытый набор в ${ displaystyle Y_ {i}}$ для некоторых я ∈ япри конечных пересечениях и произвольных объединениях. Наборы ${ displaystyle f_ {я} ^ {- 1} (U)}$ часто называют комплекты цилиндров.Если я содержит ровно один элемент, все открытые множества ${ Displaystyle (Х, тау)}$ представляют собой комплекты цилиндров.

Примеры

Некоторые топологические конструкции можно рассматривать как частные случаи исходной топологии.

В топология подпространства - начальная топология на подпространстве относительно карта включения.
В топология продукта является исходной топологией относительно семейства карты проекции.
В обратный предел любой обратная система пространств и непрерывных отображений является теоретико-множественным обратным пределом вместе с исходной топологией, определяемой каноническими морфизмами.
В слабая топология на локально выпуклое пространство - начальная топология относительно непрерывные линейные формы своего двойное пространство.
Учитывая семья топологий {τ_я} на фиксированном множестве Икс исходная топология на Икс относительно функций id_я : Икс → (Икс, τ_я) это супремум (или объединение) топологий {τ_я} в решетка топологий на Икс. То есть исходная топология τ - это топология, порожденная союз топологий {τ_я}.
Топологическое пространство - это полностью обычный тогда и только тогда, когда он имеет начальную топологию относительно своего семейства (ограниченный ) действительнозначные непрерывные функции.
Каждое топологическое пространство Икс имеет начальную топологию относительно семейства непрерывных функций из Икс к Пространство Серпинского.

Характеристики

Характеристика собственности

Исходная топология на Икс можно охарактеризовать следующим характерным свойством:
Функция ${ displaystyle g}$ из некоторого места ${ displaystyle Z}$ к ${ displaystyle X}$ непрерывно тогда и только тогда, когда ${ displaystyle f_ {i} circ g}$ непрерывна для каждого я ∈ я.

Обратите внимание: несмотря на то, что это очень похоже, это свойство не универсальное. Ниже приводится категориальное описание.

Оценка

По универсальному свойству топология продукта, мы знаем, что любое семейство непрерывных отображений ${ displaystyle f_ {i} двоеточие от X до Y_ {i}}$ определяет уникальную непрерывную карту

{ displaystyle f двоеточие X to prod _ {i} Y_ {i} ,.}

Эта карта известна как оценочная карта.

Семейство карт ${ displaystyle {f_ {i} двоеточие от X до Y_ {i} }}$ говорят отдельные точки в Икс если для всех ${ Displaystyle х neq y}$ в Икс есть некоторые я такой, что ${ Displaystyle f_ {я} (х) neq f_ {я} (у)}$ . Ясно, что семья ${ Displaystyle {е_ {я} }}$ разделяет точки тогда и только тогда, когда связанная карта оценки ж является инъективный.

Оценочная карта ж будет топологическое вложение если и только если Икс имеет начальную топологию, определяемую отображениями ${ Displaystyle {е_ {я} }}$ и это семейство карт разделяет точки в Икс.

Отделение точек от закрытых множеств

Если пробел Икс поставляется с топологией, часто бывает полезно знать, включена ли топология Икс - начальная топология, индуцированная некоторым семейством отображений на Икс. В этом разделе дается достаточное (но не необходимое) условие.

Семейство карт {ж_я: Икс → Y_я} отделяет точки от замкнутых множеств в Икс если для всех закрытые наборы А в Икс и все Икс не в А, есть некоторые я такой, что

{ Displaystyle е_ {я} (х) notin operatorname {cl} (е_ {я} (А))}

где cl обозначает оператор закрытия.

Теорема. Семейство непрерывных отображений {ж_я: Икс → Y_я} отделяет точки от замкнутых множеств тогда и только тогда, когда цилиндр устанавливает

{ displaystyle f_ {я} ^ {- 1} (U)}

, за U открыть в Y_я, сформировать база для топологии на Икс.

Отсюда следует, что всякий раз, когда {ж_я} отделяет точки от замкнутых множеств, пространство Икс имеет начальную топологию, индуцированную отображениями {ж_я}. Обратное неверно, поскольку обычно наборы цилиндров образуют только подбазу (а не основу) для исходной топологии.

Если пространство Икс это Т₀ Космос, то любой набор карт {ж_я} который отделяет точки от замкнутых множеств в Икс также должны разделять точки. В этом случае оценочная карта будет вложением.

Категориальное описание

На языке теория категорий, начальное построение топологии можно описать следующим образом. Позволять ${ displaystyle Y}$ быть функтор из дискретная категория ${ displaystyle J}$ к категория топологических пространств ${ displaystyle mathrm {Top}}$ который отображает ${ displaystyle j mapsto Y_ {j}}$ . Позволять ${ displaystyle U}$ быть обычным забывчивый функтор из ${ displaystyle mathrm {Top}}$ к ${ displaystyle mathrm {Set}}$ . Карты ${ displaystyle f_ {j}: от X до Y_ {j}}$ может тогда рассматриваться как конус из ${ displaystyle X}$ к ${ displaystyle UY}$ . То есть, ${ displaystyle (X, f)}$ является объектом ${ displaystyle mathrm {Cone} (UY): = ( Delta downarrow {UY})}$ - категория шишек к ${ displaystyle UY}$ . Точнее, этот конус ${ displaystyle (X, f)}$ определяет ${ displaystyle U}$ -структурированная раковина в ${ displaystyle mathrm {Set}}$ .

Забывчивый функтор ${ displaystyle U: mathrm {Top} to mathrm {Set}}$ индуцирует функтор ${ displaystyle { bar {U}}: mathrm {Cone} (Y) to mathrm {Cone} (UY)}$ . Характеристическое свойство исходной топологии эквивалентно утверждению, что существует универсальный морфизм из ${ displaystyle { bar {U}}}$ к ${ displaystyle (X, f)}$ , то есть: конечный объект в категории ${ displaystyle ({ bar {U}} downarrow (X, f))}$ .
Явно он состоит из объекта ${ displaystyle I (X, f)}$ в ${ displaystyle mathrm {Cone} (Y)}$ вместе с морфизмом ${ displaystyle varepsilon: { bar {U}} I (X, f) to (X, f)}$ такое, что для любого объекта ${ displaystyle (Z, g)}$ в ${ displaystyle mathrm {Cone} (Y)}$ и морфизм ${ displaystyle varphi: { bar {U}} (Z, g) to (X, f)}$ существует уникальный морфизм ${ Displaystyle zeta: (Z, g) к I (X, f)}$ такая, что коммутирует следующая диаграмма:

Назначение ${ Displaystyle (X, f) mapsto I (X, f)}$ размещение начальной топологии на ${ displaystyle X}$ распространяется на функтор ${ Displaystyle I: mathrm {Cone} (UY) to mathrm {Cone} (Y)}$ который правый смежный забывчивому функтору ${ displaystyle { bar {U}}}$ . Фактически, ${ displaystyle I}$ является правым обратным к ${ displaystyle { bar {U}}}$ ; поскольку ${ displaystyle { bar {U}} I}$ тождественный функтор на ${ displaystyle mathrm {Cone} (UY)}$ .

Смотрите также

Источники

Уиллард, Стивен (1970). Общая топология. Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 0-486-43479-6.
«Начальная топология». PlanetMath.
«Топология продукта и топология подпространства». PlanetMath.

[Rudin-1] Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.

[ad-2] Адамсон, Иэн Т. (1996). «Индуцированные и коиндуцированные топологии». Рабочая тетрадь по общей топологии. Биркхойзер, Бостон, Массачусетс. п. 23. Дои:10.1007/978-0-8176-8126-5_3. Получено 21 июля, 2020. ... топология, индуцированная на E семейством отображений ...

[1]

[2]