Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта. - Poincaré–Birkhoff–Witt theorem

По поводу теоремы Пуанкаре – Биркгофа о неподвижной точке см. Теорема Пуанкаре – Биркгофа..

В математика, а точнее в теории Алгебры Ли, то Теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта. (или же Теорема PBW) является результатом, дающим явное описание универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли. Он назван в честь Анри Пуанкаре, Гаррет Биркгоф, и Эрнст Витт.

Условия Теорема типа PBW и Теорема PBW может также относиться к различным аналогам исходной теоремы, сравнивая фильтрованная алгебра к связанной с ней градуированной алгебре, в частности в области квантовые группы.

Формулировка теоремы

Напомним, что любой векторное пространство V через поле имеет основа; это набор S так что любой элемент V является единственным (конечным) линейная комбинация элементов S. В формулировке теоремы Пуанкаре – Биркгофа – Витта мы рассматриваем базы, элементы которых полностью заказанный некоторым соотношением, которое мы обозначим ≤.

Если L это Алгебра Ли над полем K, позволять час обозначают канонический K-линейная карта из L в универсальная обертывающая алгебра U(L).

Теорема.^[1] Позволять L быть алгеброй Ли над K и Икс полностью упорядоченная основа L. А канонический моном над Икс конечная последовательность (Икс₁, Икс₂ ..., Икс_п) элементов Икс который не убывает в порядке ≤, т. е. Икс₁ ≤Икс₂ ≤ ... ≤ Икс_п. Продлевать час ко всем каноническим мономам следующим образом: if (Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п) - канонический моном, пусть

${\displaystyle h(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=h(x_{1})\cdot h(x_{2})\cdots h(x_{n}).}$

потом час является инъективный на множестве канонических одночленов и образ этого множества ${\displaystyle \{h(x_{1},\ldots ,x_{n})|x_{1}\leq ...\leq x_{n}\}}$ формирует основу для U(L) как K-векторное пространство.

Говоря несколько иначе, рассмотрим Y = час(Икс). Y полностью упорядочен индуцированным порядком из Икс. Набор одночленов

${\displaystyle y_{1}^{k_{1}}y_{2}^{k_{2}}\cdots y_{\ell }^{k_{\ell }}}$

куда у₁ <у₂ < ... < у_п являются элементами Y, а показатели равны неотрицательныйвместе с мультипликативным блоком 1 составляют основу U(L). Обратите внимание, что единичный элемент 1 соответствует пустому каноническому моному. Затем теорема утверждает, что эти одночлены составляют основу U(L) как векторное пространство. Легко видеть, что эти мономы покрывают U(L); содержание теоремы состоит в том, что они линейно независимы.

Мультипликативная структура U(L) определяется структурные константы в основе Икс, то есть коэффициенты ${\displaystyle c_{u,v}^{x}}$ такой, что

${\displaystyle [u,v]=\sum _{x\in X}c_{u,v}^{x}\;x.}$

Это соотношение позволяет уменьшить любое произведение y 's к линейной комбинации канонических одночленов: структурные константы определяют у_яу_j - у_jу_я, т.е. что делать, чтобы изменить порядок двух элементов Y в продукте. Этот факт, по модулю индуктивного аргумента о степени (неканонических) мономов, показывает, что всегда можно получить продукты, в которых факторы упорядочены неубывающим образом.

Теорему Пуанкаре – Биркгофа – Витта можно интерпретировать как утверждение, что конечным результатом этой редукции является уникальный и не зависит от порядка, в котором меняются местами соседние элементы.

Следствие. Если L является алгеброй Ли над полем, каноническое отображение L → U(L) инъективно. В частности, любая алгебра Ли над полем изоморфна подалгебре Ли ассоциативной алгебры.

Более общие контексты

Уже на самых ранних этапах было известно, что K можно заменить любым коммутативным кольцом при условии, что L это бесплатный K-модуль, т.е.имеет основу, как указано выше.

Распространяется на случай, когда L больше не бесплатный K-module, нужно сделать переформулировку, не использующую баз. Это предполагает замену пространства одночленов в некотором базисе на симметрическая алгебра, S(L), на L.

В случае, если K содержит поле рациональных чисел, можно рассмотреть естественное отображение из S(L) к U(L), посылая моном ${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{n}}$. за ${\displaystyle v_{i}\in L}$, к элементу

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}v_{\sigma (1)}v_{\sigma (2)}\cdots v_{\sigma (n)}.}$

Тогда справедлива теорема о том, что это отображение является изоморфизмом K-модули.

Еще в более общем плане и естественно можно рассмотреть U(L) как фильтрованная алгебра, снабженный фильтрацией, заданной указанием, что ${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{n}}$ лежит в фильтрованной степени ${\displaystyle \leq n}$. Карта L → U(L) из K-modules канонически распространяется на карту Т(L) → U(L) алгебр, где Т(L) это тензорная алгебра на L (например, универсальным свойством тензорных алгебр), и это фильтрованная карта, оснащающая Т(L) с фильтрацией, положив L в первой степени (на самом деле, Т(L) оценивается). Тогда, переходя к ассоциированной градуированной, получаем канонический морфизм Т(L) → grU(L), который убивает элементы vw - wv за v, w ∈ L, и, следовательно, спускается к каноническому морфизму S(L) → grU(L). Тогда (градуированная) теорема PBW может быть переформулирована как утверждение, что при определенных предположениях этот финальный морфизм является изоморфизмом коммутативных алгебр.

Это не верно для всех K и L (см., например, последний раздел статьи Кона 1961 г.), но во многих случаях верно. К ним относятся вышеупомянутые, где либо L это бесплатный K-модуль (следовательно, когда K это поле), или K содержит поле рациональных чисел. В более общем смысле теорема PBW, сформулированная выше, распространяется на такие случаи, как (1) L это квартира K-модуль, (2) L является без кручения как абелева группа, (3) L является прямой суммой циклических модулей (или всех ее локализаций в простых идеалах K обладают этим свойством) или (4) K это Дедекиндский домен. См., Например, эти утверждения в статье Хиггинса 1969 года.

Наконец, стоит отметить, что в некоторых из этих случаев можно также получить более сильное утверждение, что канонический морфизм S(L) → grU(L) поднимается на K-модульный изоморфизм S(L) → U(L), не принимая ассоциированных градаций. Это верно в первых упомянутых случаях, когда L это бесплатный K-модуль, или K содержит поле рациональных чисел, используя описанную здесь конструкцию (фактически, результатом является коалгебра изоморфизм, а не просто K-модульный изоморфизм, оснащающий оба S(L) и U(L) с их естественными структурами коалгебр такими, что ${\displaystyle \Delta (v)=v\otimes 1+1\otimes v}$ за v ∈ L). Однако это более сильное утверждение может не распространяться на все случаи, описанные в предыдущем абзаце.

История теоремы

В четырех работах 1880-х гг. Альфредо Капелли доказал, используя другую терминологию, то, что теперь известно как теорема Пуанкаре – Биркгофа – Витта в случае ${\displaystyle L={\mathfrak {gl}}_{n},}$, то Общая линейная алгебра Ли; в то время как Пуанкаре позже сформулировал это в более общем виде в 1900 году.^[2] Арман Борель говорит, что эти результаты Капелли были «полностью забыт почти на столетие», и он не предполагает, что Пуанкаре знал о результате Капелли.^[2]

Тон-То и Тран ^[3] исследовали историю теоремы. Они выяснили, что большинство источников до книги Бурбаки 1960 года называют ее теоремой Биркгофа-Витта. Следуя этой старинной традиции, Фофанова^[4] в ее энциклопедической статье говорится, что Пуанкаре получил первый вариант теоремы. Далее она говорит, что теорема была впоследствии полностью продемонстрирована Виттом и Биркгофом. Похоже, что источники до Бурбаки не были знакомы с работой Пуанкаре.

Биркофф ^[5] и Витт ^[6] не упоминают работы Пуанкаре в своих статьях 1937 года. Картан и Эйленберг ^[7] назовите теорему Теорема Пуанкаре-Витта и приписываем полное доказательство Витту. Бурбаки^[8] были первыми, кто использовал все три имени в своей книге 1960 года. Кнапп представляет собой четкую иллюстрацию меняющейся традиции. В своей книге 1986 года^[9] он называет это Теорема Биркгофа-Витта, а в его более поздней книге 1996 г.^[10] он переключается на Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта.

Неясно, был ли результат Пуанкаре полным. Тон-То и Тран^[3] сделать вывод, что «Пуанкаре открыл и полностью продемонстрировал эту теорему по крайней мере за тридцать семь лет до Витта и Биркгофа». С другой стороны, они указывают, что «Пуанкаре делает несколько заявлений, не удосужившись их доказать». Их собственные доказательства всех шагов, по их признанию, довольно длинные. Борель утверждает, что Пуанкаре "более или менее доказал теорему Пуанкаре-Биркгофа-Витта"в 1900 году.^[2]

Примечания

1. Зал 2015 Теорема 9.9.
2. Борель 2001, п. 6
3. Ton-That & Tran 1999
4. Фофанова 2001 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFFofanova2001 (помощь)
5. Биркгоф 1937
6. Витт 1937
7. Картан и Эйленберг, 1956 г.
8. Бурбаки 1960 г.
9. Кнапп 1986
10. Кнапп 1996

Рекомендации

• Биркгоф, Гарретт (апрель 1937 г.). «Представимость алгебр Ли и групп Ли матрицами». Анналы математики. 38 (2): 526–532. Дои:10.2307/1968569. JSTOR  1968569.
• Борель, Арман (2001). Очерки истории групп Ли и алгебраических групп. История математики. 21. Американское математическое общество и Лондонское математическое общество. ISBN  978-0821802885.
• Бурбаки, Николас (1960). "Глава 1: Альжебр де Ли". Groupes et algèbres de Lie. Éléments de mathématique. Пэрис: Германн.
• Картан, Анри; Эйленберг, Сэмюэл (1956). Гомологическая алгебра. Принстонская математическая серия (PMS). 19. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-04991-5.
• Кон, П. (1963). «Замечание к теореме Биркгофа-Витта». J. London Math. Soc. 38: 197–203. Дои:10.1112 / jlms / s1-38.1.197.
• Фофанова, Т. (2001) [1994], «Теорема Биркгофа – Витта», Энциклопедия математики, EMS Press
• Холл, Брайан К. (2015). Группы Ли, алгебры и представления Ли: элементарное введение. Тексты для выпускников по математике. 222 (2-е изд.). Springer. ISBN  978-3319134666.
• Хиггинс, П.Дж. (1969). "Инварианты Бэра и теорема Биркгофа-Витта". Журнал алгебры. 11 (4): 469–482. Дои:10.1016/0021-8693(69)90086-6.
• Хохшильд, Г. (1965). Теория групп Ли. Холден-Дэй.
• Кнапп, А. В. (2001) [1986]. Теория представлений полупростых групп. Обзор на примерах. Принстонский математический ряд. 36. Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-09089-0. JSTOR  j.ctt1bpm9sn.
• Кнапп, А. В. (2013) [1996]. Группы лжи за пределами введения. Springer. ISBN  978-1-4757-2453-0.
• Пуанкаре, Анри (1900). "Sur les groupes continus". Труды Кембриджского философского общества. 18. University Press. С. 220–5. OCLC  1026731418.
• Тон-То, Т .; Тран, Т.-Д. (1999). «Доказательство Пуанкаре так называемой теоремы Биркгофа-Витта» (PDF). Преподобный Histoire Math. 5: 249–284. arXiv:математика / 9908139. Bibcode:1999математика ...... 8139T. CiteSeerX  10.1.1.489.7065. Zbl  0958.01012.
• Витт, Эрнст (1937). "Treue Darstellung Liescher Ringe". J. Reine Angew. Математика. 1937 (177): 152–160. Дои:10.1515 / crll.1937.177.152. S2CID  118046494.