Скорость роста (теория групп) - Growth rate (group theory)

В математическом предмете геометрическая теория групп, то скорость роста из группа относительно симметричной генераторная установка описывает, насколько быстро растет группа. Каждый элемент в группе может быть записан как произведение генераторов, а скорость роста учитывает количество элементов, которые могут быть записаны как произведение длины. п.

Определение

Предполагать грамм конечно порожденная группа; и Т конечный симметричный набор из генераторы (симметричный означает, что если ${\displaystyle x\in T}$ тогда ${\displaystyle x^{-1}\in T}$) .Любой элемент ${\displaystyle x\in G}$ можно выразить как слово в Т-алфавит

${\displaystyle x=a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}{\text{ where }}a_{i}\in T.}$

Рассмотрим подмножество всех элементов грамм которое может быть выражено таким словом длины ≤п

${\displaystyle B_{n}(G,T)=\{x\in G\mid x=a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{k}{\text{ where }}a_{i}\in T{\text{ and }}k\leq n\}.}$

Этот набор просто закрытый мяч радиуса п в слово метрика d на грамм относительно генераторной установки Т:

${\displaystyle B_{n}(G,T)=\{x\in G\mid d(x,e)\leq n\}.}$

Более геометрически, ${\displaystyle B_{n}(G,T)}$ - множество вершин в Граф Кэли относительно Т которые находятся на расстоянии п личности.

Учитывая две неубывающие положительные функции а и б можно сказать, что они эквивалентны (${\displaystyle a\sim b}$), если существует постоянная C такой, что для всех натуральных чиселп,

${\displaystyle a(n/C)\leq b(n)\leq a(Cn),\,}$

Например ${\displaystyle p^{n}\sim q^{n}}$ если ${\displaystyle p,q>1}$.

Тогда темп роста группы грамм можно определить как соответствующий класс эквивалентности функции

${\displaystyle \#(n)=|B_{n}(G,T)|,}$

куда ${\displaystyle |B_{n}(G,T)|}$ обозначает количество элементов в наборе ${\displaystyle B_{n}(G,T)}$. Хотя функция ${\displaystyle \#(n)}$ зависит от набора генераторов Т его скорость роста - нет (см. ниже), и поэтому скорость роста дает инвариант группы.

Слово метрика d и поэтому устанавливает ${\displaystyle B_{n}(G,T)}$ зависят от генераторной установки Т. Однако любые две такие метрики билипшиц эквивалент в следующем смысле: для конечных симметричных образующих E, F, существует положительная постоянная C такой, что

${\displaystyle {1 \over C}\ d_{F}(x,y)\leq d_{E}(x,y)\leq C\ d_{F}(x,y).}$

Как непосредственное следствие этого неравенства мы получаем, что скорость роста не зависит от выбора генератора.

Полиномиальный и экспоненциальный рост

Если

${\displaystyle \#(n)\leq C(n^{k}+1)}$

для некоторых ${\displaystyle C,k<\infty }$ мы говорим, что грамм имеет полиномиальная скорость роста. Инфимум ${\displaystyle k_{0}}$ таких k 's называется порядок полиномиального роста.В соответствии с Теорема Громова, группа полиномиального роста является практически нильпотентная группа, т.е. имеет нильпотентный подгруппа конечных индекс. В частности, порядок полиномиального роста ${\displaystyle k_{0}}$ должен быть натуральное число а на самом деле ${\displaystyle \#(n)\sim n^{k_{0}}}$.

Если ${\displaystyle \#(n)\geq a^{n}}$ для некоторых ${\displaystyle a>1}$ мы говорим, что грамм имеет экспоненциальный рост ставка.Каждый конечно порожденный грамм имеет не более чем экспоненциальный рост, т.е. для некоторых ${\displaystyle b>1}$ у нас есть ${\displaystyle \#(n)\leq b^{n}}$.

Если ${\displaystyle \#(n)}$ растет медленнее, чем любая экспоненциальная функция, грамм имеет субэкспоненциальный темп роста. Любая такая группа послушный.

Примеры

• А свободная группа конечного ранга ${\displaystyle k>1}$ имеет экспоненциальную скорость роста.
• А конечная группа имеет постоянный рост, то есть полиномиальный рост порядка 0, и это включает фундаментальные группы из коллекторы чей универсальный чехол является компактный.
• Если M это закрыто отрицательно изогнутый Риманово многообразие тогда это фундаментальная группа ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ имеет экспоненциальный темп роста. Джон Милнор доказал это, используя тот факт, что слово метрика на ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ является квазиизометрический к универсальный чехол из M.
• В свободная абелева группа ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$ имеет полиномиальную скорость роста порядка d.
• В дискретная группа Гейзенберга ${\displaystyle H_{3}}$ имеет полиномиальную скорость роста порядка 4. Этот факт является частным случаем общей теоремы Хайман Басс и Ив Гиварх что обсуждается в статье о Теорема Громова.
• В группа фонарщиков имеет экспоненциальный рост.
• Существование групп с промежуточный рост, т.е. субэкспоненциальный, а не полиномиальный, был открыт много лет. Вопрос был задан Милнором в 1968 году, и, наконец, получил положительный ответ. Ростислав Григорчук в 1984 году. В этой области все еще остаются нерешенными вопросы, и полная картина того, какие порядки роста возможны, а какие нет, отсутствует.
• В группы треугольников включают бесконечно много конечных групп (сферические, соответствующие сфере), три группы квадратичного роста (евклидовы, соответствующие евклидовой плоскости) и бесконечно много групп экспоненциального роста (гиперболические, соответствующие гиперболической плоскости).

Смотрите также

• Связь с изопериметрическими неравенствами

Рекомендации

• Милнор Дж. (1968). «Замечание о кривизне и фундаментальной группе». Журнал дифференциальной геометрии. 2: 1–7. Дои:10.4310 / jdg / 1214501132.
• Григорчук Р. И. (1984). «Степени роста конечно порожденных групп и теория инвариантных средних». Изв. Акад. АН СССР сер. Мат. (на русском). 48 (5): 939–985.

дальнейшее чтение

• Ростислав Григорчук и Игорь Пак (2006). «Группы среднего роста: введение для начинающих». arXiv:math.GR/0607384.