Практически - Virtually

Для определения этого слова см. Определение слова в Викисловаре. практически.

В математика, особенно в районе абстрактная алгебра что изучает бесконечные группы, наречие практически используется для изменения свойства так, чтобы оно сохранялось только для подгруппа конечных показатель. Учитывая свойство P, группа г как говорят практически P если существует подгруппа конечного индекса ${displaystyle Hleq G}$ такой, что ЧАС обладает свойством P.

Обычно это используется, когда P абелевский, нильпотентный, разрешимый или свободный. Например, виртуально разрешимые группы - одна из двух альтернатив в Альтернатива сисек, в то время как Теорема Громова утверждает, что конечно порожденные группы с полиномиальный рост - в точности конечно порожденные виртуально нильпотентные группы.

Эта терминология также используется, когда P - просто другая группа. То есть, если г и ЧАС группы тогда г является практически ЧАС если г имеет подгруппу K конечного индекса в г такой, что K является изоморфный к ЧАС.

В частности, группа практически тривиальна тогда и только тогда, когда она конечна. Две группы практически равны тогда и только тогда, когда они соизмеримый.

Примеры

Практически абелева

Следующие группы практически абелевы.

Любая абелева группа.
Любые полупрямой продукт ${displaystyle Ntimes H}$ где N абелева и ЧАС конечно. (Например, любой обобщенная группа диэдра.)
Любой полупрямой продукт ${displaystyle Ntimes H}$ где N конечно и ЧАС абелева.
Любая конечная группа (поскольку тривиальная подгруппа абелева).

Практически нильпотентный

Любая практически абелева группа.
Любая нильпотентная группа.
Любой полупрямой продукт ${displaystyle Ntimes H}$ где N нильпотентен и ЧАС конечно.
Любой полупрямой продукт ${displaystyle Ntimes H}$ где N конечно и ЧАС нильпотентен.

Теорема Громова говорит, что конечно порожденная группа практически нильпотентна тогда и только тогда, когда она имеет полиномиальный рост.

Практически полициклический

Практически бесплатно

Любые свободная группа.
Любая практически циклическая группа.
Любой полупрямой продукт ${displaystyle Ntimes H}$ где N бесплатно и ЧАС конечно.
Любой полупрямой продукт ${displaystyle Ntimes H}$ где N конечно и ЧАС бесплатно.
Любые бесплатный продукт ${displaystyle H * K}$ , где ЧАС и K оба конечны. (Например, модульная группа ${displaystyle operatorname {PSL} (2, mathbb {Z})}$ .)

Это следует из Теорема Столлинга что любая практически свободная группа без кручения свободна.

Другие

Бесплатная группа ${displaystyle F_ {2}}$ на 2 генераторах практически ${displaystyle F_ {n}}$ для любого ${displaystyle ngeq 2}$ как следствие Теорема Нильсена – Шрайера и Формула индекса Шрайера.

Группа ${displaystyle operatorname {O} (n)}$ виртуально связан как ${displaystyle operatorname {SO} (n)}$ имеет индекс 2 в нем.

использованная литература

Шнебели, Ганс Рудольф (1978). «О виртуальных свойствах и расширениях групп». Mathematische Zeitschrift. 159: 159–167. Дои:10.1007 / bf01214488. Zbl 0358.20048.