Теорема Столлингса о концах групп - Stallings theorem about ends of groups - Wikipedia

В математическом предмете теория групп, то Теорема Столлингса о концах групп заявляет, что конечно порожденная группа грамм имеет более одного конца тогда и только тогда, когда группа грамм допускает нетривиальное разложение как объединенный бесплатный продукт или Расширение HNN над конечным подгруппа. На современном языке Теория Басса – Серра теорема говорит, что конечно порожденная группа грамм имеет более одного конца тогда и только тогда, когда грамм допускает нетривиальную (то есть без глобальной неподвижной точки) действие на симплициальном дерево с конечными стабилизаторами ребер и без обращения ребер.

Теорема была доказана Джон Р. Столлингс, первый в без кручения чехол (1968)^[1] а затем в общем случае (1971).^[2]

Концы графиков

Основная статья: Конец (теория графов)

Пусть Γ - связная график где степень каждой вершины конечна. Можно рассматривать Γ как топологическое пространство придав ему естественную структуру одномерного клеточный комплекс. Тогда концы Γ - это заканчивается этого топологического пространства. Более точное определение количества концы графа представлен ниже для полноты картины.

Позволять п ≥ 0 - целое неотрицательное число. Говорят, что граф Γ удовлетворяет е(Γ) ≤ п если для каждого конечного набора F ребер графа Γ граф Γ -F имеет самое большее п бесконечный связанные компоненты. По определению, е(Γ) = м если е(Γ) ≤ м и если для каждого 0 ≤ п < м заявление е(Γ) ≤ п ложно. Таким образом е(Γ) = м если м это наименьшее неотрицательное целое число п такой, что е(Γ) ≤ п. Если не существует целого числа п ≥ 0 такой, что е(Γ) ≤ п, положить е(Γ) = ∞. Номер е(Γ) называется количество концов Γ.

Неофициально е(Γ) - количество «бесконечно удаленных компонент связности» Γ. Если е(Γ) = м <∞, то для любого конечного множества F ребер графа Γ существует конечное множество K ребер графа Γ с F ⊆ K такое, что Γ -F точно м бесконечные компоненты связности. Если е(Γ) = ∞, то для любого конечного множества F ребер графа Γ и для любого целого п ≥ 0 существует конечное множество K ребер графа Γ с F ⊆ K такое, что Γ -K имеет по крайней мере п бесконечные компоненты связности.

Концы групп

Позволять грамм быть конечно порожденная группа. Позволять S ⊆ грамм быть конечным генераторная установка из грамм и пусть Γ (грамм, S) быть Граф Кэли из грамм относительно S. В количество концов грамм определяется как е(грамм) = e (Γ (грамм, S)). Основной факт теории концов групп гласит, что e (Γ (грамм, S)) не зависит от выбора конечного генераторная установка S из грамм, так что е(грамм) хорошо определено.

Основные факты и примеры

• Для конечно порожденная группа грамм у нас есть е(грамм) = 0 тогда и только тогда, когда грамм конечно.
• Для бесконечная циклическая группа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ у нас есть ${\displaystyle e(\mathbb {Z} )=2.}$
• Для свободная абелева группа второго ранга ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ у нас есть ${\displaystyle e(\mathbb {Z} ^{2})=1.}$
• Для свободная группа F(Икс) где 1 <|Икс| <∞ имеем е(F(Икс)) = ∞

Теоремы Фрейденталя-Хопфа

Ганс Фройденталь^[3] и независимо Хайнц Хопф^[4] установил в 1940-х годах следующие два факта:

• Для любого конечно порожденная группа грамм у нас есть е(грамм) ∈ {0, 1, 2, ∞}.
• Для любого конечно порожденная группа грамм у нас есть е(грамм) = 2 тогда и только тогда, когда грамм является практически бесконечный циклический (то есть, грамм содержит бесконечный циклический подгруппа конечных индекс ).

Чарльз Т. К. Уолл в 1967 г. доказал следующий дополнительный факт^[5]:

• Группа грамм практически бесконечна циклична тогда и только тогда, когда она имеет конечную нормальную подгруппу W такой, что G / W либо бесконечное циклическое, либо бесконечный двугранный.

Сокращения и почти инвариантные множества

Позволять грамм быть конечно порожденная группа, S ⊆ грамм быть конечным генераторная установка из грамм и пусть Γ = Γ (грамм, S) быть Граф Кэли из грамм относительно S. Для подмножества А ⊆ грамм обозначим через А^∗ дополнение грамм − А из А в грамм.

Для подмножества А ⊆ грамм, то граница края или граница δA из А состоит из всех (топологических) ребер графа Γ, соединяющих вершину из A с вершиной из А^∗. Обратите внимание, что по определению δA = δA^∗.

Упорядоченная пара (А, А^∗) называется резать в Γ, если δA конечно. Порез (А,А^∗) называется существенный если оба набора А и А^∗ бесконечны.

Подмножество А ⊆ грамм называется почти инвариантный если для каждого грамм∈грамм то симметричная разница между А и Ag конечно. Легко видеть, что (А, А^∗) является разрезом тогда и только тогда, когда множества А и А^∗ почти инвариантны (эквивалентно, если и только если множество А почти инвариантно).

Порезы и концы

Простое, но важное наблюдение гласит:

е(грамм)> 1 тогда и только тогда, когда существует хотя бы один существенный разрез (А,А^∗) в Γ.

Разрезки и расщепления над конечными группами

Если грамм = ЧАС∗K куда ЧАС и K нетривиальны конечно порожденные группы затем Граф Кэли из грамм имеет хотя бы один существенный разрез и, следовательно, е(грамм)> 1. Действительно, пусть Икс и Y быть конечными порождающими множествами для ЧАС и K соответственно так что S = Икс ∪ Y является конечным порождающим множеством для грамм и пусть Γ = Γ (грамм,S) быть Граф Кэли из грамм относительно S. Позволять А состоят из тривиального элемента и всех элементов грамм чьи выражения нормальной формы для грамм = ЧАС∗K начинается с нетривиального элемента ЧАС. Таким образом А^∗ состоит из всех элементов грамм чьи выражения нормальной формы для грамм = ЧАС∗K начинается с нетривиального элемента K. Нетрудно заметить, что (А,А^∗) является существенным разрезом в Γ, так что е(грамм) > 1.

Более точная версия этого аргумента показывает, что для конечно порожденная группа грамм:

• Если грамм = ЧАС∗_CK это бесплатный продукт с амальгамированием куда C конечная группа такая, что C ≠ ЧАС и C ≠ K тогда ЧАС и K конечно порождены и е(грамм) > 1 .
• Если ${\displaystyle \scriptstyle G=\langle H,t|t^{-1}C_{1}t=C_{2}\rangle }$ является HNN-расширение куда C₁, C₂ изоморфны конечным подгруппы из ЧАС тогда грамм это конечно порожденная группа и е(грамм) > 1.

Теорема Столлингса показывает, что верно и обратное.

Формальная формулировка теоремы Столлингса.

Позволять грамм быть конечно порожденная группа.

потом е(грамм)> 1 тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

• Группа грамм допускает расщепление грамм=ЧАС∗_CK как бесплатный продукт с амальгамированием куда C конечная группа такая, что C ≠ ЧАС и C ≠ K.
• Группа грамм является Расширение HNN ${\displaystyle \scriptstyle G=\langle H,t|t^{-1}C_{1}t=C_{2}\rangle }$ где и C₁, C₂ изоморфны конечным подгруппы из ЧАС.

На языке Теория Басса – Серра этот результат можно переформулировать следующим образом: Для конечно порожденная группа грамм у нас есть е(грамм)> 1 тогда и только тогда, когда грамм допускает нетривиальную (то есть без глобальной фиксированной вершины) действие на симплициальном дерево с конечными стабилизаторами ребер и без обращения ребер.

Для случая, когда грамм без кручения конечно порожденная группа, Из теоремы Столлингса следует, что е(грамм) = ∞ тогда и только тогда, когда грамм допускает надлежащий бесплатный продукт разложение грамм = А∗B с обоими А и B нетривиальный.

Приложения и обобщения

• Среди непосредственных применений теоремы Столлингса было доказательство Столлингса.^[6] давней гипотезы о том, что каждая конечно порожденная группа когомологической размерности единица свободна и что каждая группа без кручения практически свободная группа бесплатно.
• Из теоремы Столлингса также следует, что свойство иметь нетривиальное расщепление над конечной подгруппой является квазиизометрия инвариант конечно порожденная группа так как число концов конечно порожденной группы, как легко видеть, является инвариантом квазиизометрии. По этой причине теорема Столлингса считается одним из первых результатов в геометрическая теория групп.
• Теорема Столлингса послужила отправной точкой для исследования Данвуди. теория доступности. Конечно порожденная группа грамм как говорят доступный если процесс повторного нетривиального расщепления грамм над конечными подгруппами всегда завершается за конечное число шагов. В Теория Басса – Серра считает, что количество ребер в сокращенном разбиении грамм как фундаментальная группа граф групп с конечными группами ребер ограничена некоторой константой, зависящей от грамм. Данвуди доказано^[7] что каждый конечно представленная группа доступен, но есть конечно порожденные группы которые недоступны.^[8] Линнелл^[9] показал, что если ограничить размер конечных подгрупп, по которым производятся расщепления, то каждая конечно порожденная группа также доступна в этом смысле. Эти результаты, в свою очередь, привели к появлению других версий доступности, таких как Bestvina -Feighn доступность^[10] конечно представленных групп (где рассматриваются так называемые «маленькие» разбиения), ацилиндрическая доступность,^[11][12] отличная доступность,^[13] и другие.
• Теорема Столлингса является ключевым инструментом в доказательстве того, что конечно порожденная группа грамм является практически свободный если и только если грамм можно представить как фундаментальную группу конечного граф групп где все группы вершин и ребер конечны (см., например,^[14]).
• Используя результат о доступности Данвуди, теорему Столлингса о концах групп и тот факт, что если G конечно определенная группа с асимптотической размерностью 1, то G практически свободна^[15] можно показать ^[16] что для конечно представленного словесно-гиперболическая группа грамм гиперболическая граница грамм имеет топологическая размерность ноль тогда и только тогда, когда грамм практически бесплатно.
• Относительные версии теоремы Столлингса и относительные цели конечно порожденные группы по подгруппам. Для подгруппы ЧАС≤грамм конечно порожденной группы грамм один определяет количество относительных концов е(грамм,ЧАС) как количество концов относительного графа Кэли ( Граф смежного класса Шрайера ) из грамм относительно ЧАС. Случай, когда е(грамм,ЧАС)> 1 называется полурасщеплением грамм над ЧАС. Ранние работы по полурасщеплениям, вдохновленные теоремой Столлингса, были выполнены в 1970-х и 1980-х годах Скоттом,^[17] Сваруп,^[18] и другие.^[19][20] Работа Сагеева^[21] и Герасимов^[22] в 1990-х годах показали, что для подгруппы ЧАС≤грамм условие е(грамм,ЧАС)> 1 соответствует группе грамм допускающий существенное изометрическое действие на CAT (0) -куб где подгруппа соизмерима с ЧАС стабилизирует существенную «гиперплоскость» (симплициальное дерево является примером CAT (0) -куба, где гиперплоскости являются серединами ребер). В определенных ситуациях такое полуращепление может быть преобразовано в фактическое алгебраическое расщепление, обычно по подгруппе, соизмеримой с ЧАС, например, в случае, когда ЧАС конечно (теорема Столлингса). Другая ситуация, в которой может быть получено фактическое расщепление (по модулю нескольких исключений), - это полуразбиение на виртуально полициклический подгруппы. Здесь случай полурасщепления словесно-гиперболические группы над двусторонними (практически бесконечными циклическими) подгруппами рассматривал Скотт-Сваруп.^[23] и по Bowditch.^[24] Случай полурасщепления конечно порожденные группы относительно практически полициклических подгрупп рассматривается алгебраической теоремой Данвуди-Свенсона о торе.^[25]

• Ряд новых доказательств теоремы Столлингса был получен другими после первоначального доказательства Столлингса. Данвуди дал доказательство^[26] основанный на идеях обрезки кромки. Позже Данвуди также дал доказательство теоремы Столлингса для конечно определенных групп, используя метод «треков» на конечных 2-комплексах.^[7] Нибло получил доказательство^[27] теоремы Столлингса как следствие относительной версии Сагеева с CAT (0) -кубированием, где CAT (0) -кубинг в конечном итоге превращается в дерево. В статье Нибло также определяется абстрактное теоретико-групповое препятствие (которое представляет собой объединение двойных смежных классов ЧАС в грамм) для получения фактического расщепления из полурасщепления. Также возможно доказать теорему Столлингса для конечно представленные группы с помощью Риманова геометрия методы минимальные поверхности, где сначала реализуется конечно представленная группа как фундаментальная группа компактного 4-многообразия (см., например, набросок этого рассуждения в обзорной статье стена^[28]). Громов изложил доказательство (см. стр. 228–230 в ^[16]), где аргумент о минимальных поверхностях заменен более простым аргументом из гармонического анализа, и этот подход был продвинут Каповичем, чтобы охватить исходный случай конечно порожденных групп.^[15][29]

Смотрите также

• Бесплатный продукт с амальгамированием
• Расширение HNN
• Теория Басса – Серра
• График групп
• Геометрическая теория групп

Примечания

1. Джон Р. Столлингс. О группах без кручения с бесконечным числом концов. Анналы математики (2), т. 88 (1968), стр. 312–334
2. Джон Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия. Лекция Джеймса К. Уиттемора по математике, прочитанная в Йельском университете, 1969. Yale Mathematical Monographs, 4. Yale University Press, New Haven, Conn.-London, 1971.
3. Х. Фройденталь. Über die Enden diskreter Räume und Gruppen. Комментарий. Математика. Helv. 17, (1945). 1-38.
4. H. Hopf.Enden offener Räume und unendliche diskontinuierliche Gruppen. Комментарий. Математика. Helv. 16, (1944). 81-100
5. Лемма 4.1 в книге К. Т. К. Уолла, Комплексы Пуанкаре: I. Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 86, No. 2 (сентябрь 1967 г.), стр. 213-245
6. Джон Р. Столлингс. Группы размерности 1 локально свободны. Бюллетень Американского математического общества, вып. 74 (1968), стр. 361–364
7. М. Дж. Данвуди. Доступность конечно представленных групп. Inventiones Mathematicae, т. 81 (1985), нет. 3. С. 449-457.
8. М. Дж. Данвуди. Недоступная группа. Геометрическая теория групп, Vol. 1 (Sussex, 1991), стр. 75–78, Серия лекций Лондонского математического общества, т. 181, Cambridge University Press, Кембридж, 1993; ISBN  0-521-43529-3
9. П. А. Линнелл. О доступности групп.^{[мертвая ссылка ]} Журнал чистой и прикладной алгебры, т. 30 (1983), нет. 1. С. 39–46.
10. М. Бествина и М. Файн. Ограничение сложности действий симплициальной группы на деревьях. Inventiones Mathematicae, т. 103 (1991), нет. 3. С. 449–469.
11. З. Села. Ацилиндрическая доступность для групп. Inventiones Mathematicae, т. 129 (1997), нет. 3. С. 527–565.
12. Т. Дельзант. Sur l'accessibilité acylindrique des groupes de présentation finie. В архиве 2011-06-05 на Wayback Machine Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier, vol. 49 (1999), нет. 4. С. 1215–1224.
13. Т. Дельзант, Л. Потягайло. Accessibilité hiérarchique des groupes de présentation finie.^{[мертвая ссылка ]} Топология, т. 40 (2001), нет. 3. С. 617–629.
14. Х. Басс. Теория покрытий для графов групп. Журнал чистой и прикладной алгебры, т. 89 (1993), нет. 1-2, стр. 3–47
15. Гентимис Танос, Асимптотическая размерность конечно определенных групп, http://www.ams.org/journals/proc/2008-136-12/S0002-9939-08-08973-9/home.html
16. Громов М. Гиперболические группы в сб. Очерки теории групп (ред. Г. М. Герстен), ИИГС. 8, 1987, стр. 75-263.
17. Питер Скотт. Концы пар групп.^{[мертвая ссылка ]} Журнал чистой и прикладной алгебры, т. 11 (1977/78), нет. 1–3, с. 179–198
18. Г. А. Сваруп. Относительный вариант теоремы Столлингса.^{[мертвая ссылка ]} Журнал чистой и прикладной алгебры, т. 11 (1977/78), нет. 1–3, с. 75–82
19. Х. Мюллер. Теоремы о разложении для групповых пар. Mathematische Zeitschrift, т. 176 (1981), нет. 2. С. 223–246.
20. П. Х. Крофоллер и М. А. Роллер. Относительные цели и группы двойственности.^{[мертвая ссылка ]} Журнал чистой и прикладной алгебры, т. 61 (1989), нет. 2. С. 197–210.
21. Михах Сагеев. Концы групповых пар и неположительно искривленных кубических комплексов. Труды Лондонского математического общества (3), т. 71 (1995), нет. 3. С. 585–617.
22. В. Н. Герасимов. Полуразбиения групп и действия на кубах. Алгебра, геометрия, анализ и математическая физика (Новосибирск, 1996), с. 91–109, 190, Изд. Росс. Акад. Наук Сиб. Отд. Inst. Матем., Новосибирск, 1997.
23. Г. П. Скотт и Г. А. Сваруп. Теорема об алгебраическом кольце. В архиве 2007-07-15 на Wayback Machine Тихоокеанский математический журнал, вып. 196 (2000), нет. 2. С. 461–506.
24. Б. Х. Боудич. Точки разрезания и канонические разбиения гиперболических групп. Acta Mathematica, т. 180 (1998), нет. 2. С. 145–186.
25. М. Дж. Данвуди и Э. Л. Свенсон. Теорема об алгебраическом торе. Inventiones Mathematicae, т. 140 (2000), нет. 3. С. 605–637.
26. М. Дж. Данвуди. Нарезка графиков. Combinatorica, т. 2 (1982), нет. 1. С. 15–23.
27. Грэм А. Нибло. Геометрическое доказательство теоремы Столлингса о группах с более чем одним концом. Geometriae Dedicata, т. 105 (2004), стр. 61–76.
28. К. Т. К. Уолл. Геометрия абстрактных групп и их расщеплений. Revista Matemática Complutense vol. 16 (2003), нет. 1. С. 5–101.
29. М. Капович. Энергия гармонических функций и доказательство Громова теоремы Столлингса, препринт, 2007 г., arXiv: 0707.4231