Конец (топология) - End (topology)

В топология, филиал математика, то заканчивается из топологическое пространство являются, грубо говоря, связанные компоненты «идеальной границы» пространства. То есть каждый конец представляет собой топологически отличный способ перехода к бесконечность в пространстве. Добавление точки на каждом конце дает компактификация оригинального пространства, известного как конец компактификации.

Понятие конца топологического пространства было введено Ганс Фройденталь (1931 ).

Определение

Позволять Икс быть топологическое пространство, и предположим, что

{displaystyle K_ {1} subteq K_ {2} substeq K_ {3} substeq cdots}

является восходящей последовательностью компактные подмножества из Икс чей интерьеры крышка Икс. потом Икс есть один конец для каждой последовательности

{displaystyle U_ {1} supseteq U_ {2} supseteq U_ {3} supseteq cdots,}

где каждый U_п это связный компонент из Икс K_п. Количество концов не зависит от конкретной последовательности {K_я} компактов; Существует естественный биекция между наборами концов, связанных с любыми двумя такими последовательностями.

Используя это определение, a район конца {U_я} - открытый набор V такой, что V ⊃ U_п для некоторых п. Такие окрестности представляют собой окрестности соответствующей бесконечно удаленной точки в конец компактификации (эта «компактификация» не всегда компактна; топологическое пространство Икс должен быть подключен и подключен локально).

Приведенное выше определение концов относится только к пробелам. Икс которые обладают исчерпание компактами (то есть, Икс должно быть гемикомпакт ). Однако его можно обобщить следующим образом: пусть Икс - любое топологическое пространство, и рассмотрим прямая система {K} компактных подмножеств Икс и карты включения. Есть соответствующий обратная система { π₀( Икс K ) }, куда π₀(Y) обозначает множество компонент связности пространства Y, и каждая карта включения Y → Z индуцирует функцию π₀(Y) → π₀(Z). потом набор концов из Икс определяется как обратный предел этой обратной системы.

Согласно этому определению, множество концов - это функтор от категория топологических пространств, где морфизмы только правильный непрерывные отображения, в категория наборов. Явно, если φ: X → Y - собственное отображение и Икс=(Икс_K)_K конец Икс (т.е. каждый элемент Икс_K в семье является связным компонентом Икс ∖ K и они совместимы с отображениями, индуцированными включениями), то φ (x) - семейство ${displaystyle varphi _ {*} (x_ {varphi ^ {- 1} (K ')})}$ куда ${displaystyle K '}$ пробегает по компактным подмножествам Y и φ_* отображение, индуцированное φ из ${displaystyle pi _ {0} (Xsetminus varphi ^ {- 1} (K '))}$ к ${displaystyle pi _ {0} (Ysetminus K ')}$ . Собственность φ используется для обеспечения того, чтобы каждое φ (K) компактна в Икс.

Исходное определение, приведенное выше, представляет собой частный случай, когда прямая система компактных подмножеств имеет финальная последовательность.

Примеры

Набор концов любого компактное пространство это пустой набор.
В реальная линия ${displaystyle mathbb {R}}$ имеет два конца. Например, если мы позволим K_п быть закрытый интервал [−п, п], то два конца - это последовательности открытых множеств U_п = (п, ∞) и V_п = (−∞, −п). Эти концы обычно обозначаются как «бесконечность» и «минус бесконечность» соответственно.
Если п > 1, то евклидово пространство ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ имеет только один конец. Это потому что ${displaystyle mathbb {R} ^ {n} setminus K}$ имеет только одну неограниченную компоненту для любого компакта K.
В более общем смысле, если M компактный многообразие с краем, то количество концов внутренней части M равно количеству компонент связности границы M.
Союз п отчетливый лучи исходящий из происхождения в ${displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ имеет п заканчивается.
В бесконечное полное двоичное дерево имеет несчетное количество концов, соответствующих бесчисленному множеству различных нисходящих путей, начинающихся от корня. (Это можно увидеть, позволив K_п быть полным двоичным деревом глубины п.) Эти концы можно рассматривать как «листья» бесконечного дерева. В конечной компактификации набор концов имеет топологию Кантор набор.

Концы графиков и групп

В бесконечный теория графов, конец определяется несколько иначе, как класс эквивалентности полубесконечных путей в графе или как убежище, функция, отображающая конечные множества вершин в компоненты связности их дополнений. Однако для локально конечных графов (графов, в которых каждая вершина имеет конечные степень ), определенные таким образом концы взаимно однозначно соответствуют концам топологических пространств, определенных из графа (Diestel & Kühn 2003 ).

Концы конечно порожденная группа определяются как концы соответствующих Граф Кэли; это определение нечувствительно к выбору генераторной установки. Каждая конечно порожденная бесконечная группа имеет 1, 2 или бесконечно много концов, и Теорема Столлингса о концах групп обеспечивает разложение для групп с более чем одним концом.

Концы комплекса CW

Для путь подключен CW-комплекс, концы можно охарактеризовать как гомотопические классы из правильные карты ${displaystyle mathbb {R} ^ {+} o X}$ , называется лучи в Икс: точнее, если между ограничением -на подмножество ${displaystyle mathbb {N}}$ - любых двух из этих отображений существует собственная гомотопия, мы говорим, что они эквивалентны, и они определяют класс эквивалентности собственных лучей. Этот набор называется конец из Икс.

Конец (топология) - End (topology)

Содержание

Определение

Примеры

Концы графиков и групп

Концы комплекса CW

Рекомендации