Кронштейн Куранта - Courant bracket

В области математика известный как дифференциальная геометрия, то Кронштейн Куранта является обобщением Кронштейн лжи от операции на касательный пучок к операции на прямая сумма касательного пучка и векторный набор из п-формы.

Дело п = 1 был введен Теодор Джеймс Курант в его докторской диссертации 1990 г. как структура, соединяющая Геометрия Пуассона и предсимплектическая геометрия, на основе работы со своим советником Алан Вайнштейн. Скрученная версия кронштейна Куранта была представлена в 2001 г. Павол Севера, и учился в сотрудничестве с Вайнштейном.

Сегодня сложный версия п= 1 Скобка Куранта играет центральную роль в области обобщенная сложная геометрия, представлен Найджел Хитчин в 2002 году. Замыкание под скобкой Куранта - это условие интегрируемости из обобщенная почти сложная структура.

Определение

Позволять Икс и Y быть векторные поля на N-мерном вещественном многообразие M и разреши ξ и η быть п-форм. потом X + ξ и Y + η находятся разделы прямой суммы касательного пучка и пучка п-форм. Скобка Куранта X + ξ и Y + η определяется как

{displaystyle [X + xi, Y + eta] = [X, Y] + {mathcal {L}} _ {X} eta - {mathcal {L}} _ {Y} xi - {frac {1} {2} } d (i (X) eta -i (Y) xi)}

куда ${displaystyle {mathcal {L}} _ {X}}$ это Производная Ли вдоль векторного поля Икс, d это внешняя производная и я это интерьерный продукт.

Характеристики

Скобка Куранта антисимметричный но это не удовлетворяет Личность Якоби за п больше нуля.

Личность Якоби

Однако, по крайней мере, в случае р = 1, то Якобиатор, который измеряет невыполнение скобки тождеству Якоби, является точная форма. Это внешняя производная от формы, которая играет роль Тензор Нейенхейса в обобщенной сложной геометрии.

Скобка Куранта - это антисимметризация Кронштейн Дорфмана, которое удовлетворяет своего рода тождеству Якоби.

Симметрии

Как и скобка Ли, скобка Куранта инвариантна относительно диффеоморфизмов многообразия M. Он также обладает дополнительной симметрией относительно векторного расслоения автоморфизм

{displaystyle X + xi mapsto X + xi + i (X) alpha}

куда α закрытый п + 1-форма. в р = 1 случай, который актуален для геометрии компактификации потока в теория струн, это преобразование известно в физической литературе как сдвиг в Поле B.

Дирак и обобщенные сложные структуры

В котангенсный пучок, ${displaystyle {mathbf {T}} ^ {*}}$ M - расслоение дифференциальных одноформ. В случае п= 1 скобка Куранта отображает два участка ${displaystyle {mathbf {T}} oplus {mathbf {T}} ^ {*}}$ , прямая сумма касательного и кокасательного расслоений, к другому сечению ${displaystyle {mathbf {T}} oplus {mathbf {T}} ^ {*}}$ . Волокна ${displaystyle {mathbf {T}} oplus {mathbf {T}} ^ {*}}$ признаться внутренние продукты с подпись (N, N) определяется как

{displaystyle langle X + xi, Y + eta angle = {frac {1} {2}} (xi (Y) + eta (X)).}

А линейное подпространство из ${displaystyle {mathbf {T}} oplus {mathbf {T}} ^ {*}}$ в котором все пары векторов имеют нулевое внутреннее произведение, называется изотропное подпространство. Волокна ${displaystyle {mathbf {T}} oplus {mathbf {T}} ^ {*}}$ находятся 2N-мерный, а максимальная размерность изотропного подпространства равна N. An N-мерное изотропное подпространство называется максимальным изотропным подпространством.

А Структура Дирака является максимально изотропным расслоением ${displaystyle {mathbf {T}} oplus {mathbf {T}} ^ {*}}$ секции которого закрываются скобкой Куранта. Структуры Дирака включают в качестве частных случаев симплектические структуры, Пуассоновы структуры и слоистая геометрия.

А обобщенная сложная структура определяется идентично, но один тензоры ${displaystyle {mathbf {T}} oplus {mathbf {T}} ^ {*}}$ комплексными числами и использует сложное измерение в приведенных выше определениях, и предполагается, что прямая сумма подгруппы и ее комплексно сопряженный - весь исходный пакет (Т ${displaystyle oplus}$ Т^*) ${displaystyle otimes}$ C. К частным случаям обобщенных сложных структур относятся: сложная структура и версия Кэлерова структура который включает B-поле.

Кронштейн Дорфмана

В 1987 г. Ирен Дорфман ввел скобку Дорфмана [,]_D, которая, как и скобка Куранта, обеспечивает условие интегрируемости структур Дирака. Это определяется

{displaystyle [A, B] _ {D} = [A, B] + dlangle A, браслет}

.

Скобка Дорфмана не антисимметрична, но ее часто легче вычислить, чем скобку Куранта, поскольку она удовлетворяет условию Правило Лейбница что напоминает тождество Якоби

{displaystyle [A, [B, C] _ {D}] _ {D} = [[A, B] _ {D}, C] _ {D} + [B, [A, C] _ {D} » ] _ {D}.}

Алгеброид Куранта

Скобка Куранта не удовлетворяет Личность Якоби и поэтому он не определяет Алгеброид Ли, кроме того, он не удовлетворяет условию алгеброида Ли на якорная карта. Вместо этого он определяет более общую структуру, введенную Чжан-Цзюй Лю, Алан Вайнштейн и Пинг Сюй известный как Алгеброид Куранта.

Скрученная скоба Куранта

Определение и свойства

Скобку Куранта можно скручивать (п + 2)-форма ЧАС, добавив внутреннее произведение векторных полей Икс и Y из ЧАС. Он остается антисимметричным и инвариантным при добавлении предмета интерьера с (п + 1)-форма B. Когда B не замкнут, то эта инвариантность сохраняется, если добавить дБ до финала ЧАС.

Если ЧАС замкнуто, то якобиатор точен, и скрученная скобка Куранта по-прежнему определяет алгеброид Куранта. В теория струн, ЧАС интерпретируется как 3-форма Невё – Шварца.

р = 0: Векторные поля, инвариантные к окружности

Когда п= 0 скобка Куранта сводится к скобке Ли на главный связка кругов над M с кривизна заданный 2-образным поворотом ЧАС. Связка 0-форм - это тривиальное расслоение, а сечение прямой суммы касательного расслоения и тривиального расслоения определяет окружность инвариантное векторное поле на этой связке кругов.

Конкретно, сечение суммы касательного и тривиального расслоений задается векторным полем Икс и функция ж а скобка Куранта равна

{displaystyle [X + f, Y + g] = [X, Y] + Xg-Yf}

которая представляет собой скобку Ли векторных полей

{displaystyle [X + f, Y + g] = [X + f {frac {partial} {partial heta}}, Y + g {frac {partial} {partial heta}}] _ {Lie}}

куда θ - координата на окружности. Отметим, в частности, что скобка Куранта удовлетворяет тождеству Якоби в случае р = 0.

Интегральные повороты и герберы

Кривизна кругового пучка всегда представляет собой интеграл когомология класс, Черн класс пучка кругов. Таким образом, приведенная выше геометрическая интерпретация скрученного р = 0 Кронштейн Куранта существует только при ЧАС представляет собой интегральный класс. Аналогично при более высоких значениях п скрученные скобки Куранта геометрически могут быть реализованы как раскрученные скобки Куранта, скрученные герберы когда ЧАС является интегральным классом когомологий.