Существенный коллектор - Essential manifold

В геометрия, существенное многообразие - особый тип замкнутого многообразия. Это понятие было впервые явно введено Михаил Громов.^[1]

Определение

Закрытый многообразие M называется существенным, если его фундаментальный класс [M] определяет ненулевой элемент в гомология своего фундаментальная группа π, точнее, в гомологиях соответствующих Пространство Эйленберга – Маклейна K(π, 1) естественным гомоморфизмом

${displaystyle H_{n}(M) o H_{n}(K(pi ,1)),}$

куда п это размер M. Здесь фундаментальный класс берется в гомологиях с целыми коэффициентами, если многообразие ориентируемо, и в коэффициентах по модулю 2 в противном случае.

Примеры

• Все замкнутые поверхности (т.е. двумерные многообразия) существенны, за исключением 2-сферы S².
• Реальное проективное пространство RP^п существенно, поскольку включение

  ${displaystyle mathbb {RP} ^{n} o mathbb {RP} ^{infty }}$

инъективно в гомологиях, где

${displaystyle mathbb {RP} ^{infty }=K(mathbb {Z} _{2},1)}$

является пространством Эйленберга – Маклейна конечной циклической группы порядка 2.

• Все компактно асферические коллекторы существенны (поскольку асферичность означает, что само многообразие уже является K(π, 1))
  • В частности все компактные гиперболические многообразия необходимы.
• Все линзы необходимы.

Характеристики

• В связанная сумма существенных многообразий существенно.
• Любое многообразие, допускающее отображение ненулевой степени в существенное многообразие, само является существенным.

Рекомендации

1. Громов М .: Заполняющие римановы многообразия. J. Diff. Геом. 18 (1983), 1–147.

Смотрите также

• Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий
• Систолическая геометрия