Постоянная Эрмита - Hermite constant

В математика, то Постоянная Эрмита, названный в честь Чарльз Эрмит, определяет, насколько короткий элемент решетка в Евклидово пространство возможно.

Постоянная γ_п для целых чисел п > 0 определяется следующим образом. Для решетки L в евклидовом пространстве р^п единичный объем, т. е. объем (р^п/L) = 1, пусть λ₁(L) обозначим наименьшую длину ненулевого элемента из L. потом √γ_п это максимум λ₁(L) по всем таким решеткам L.

В квадратный корень в определении постоянной Эрмита является вопросом исторической условности. При таком определении оказывается, что постоянная Эрмита линейно растет по п.

В качестве альтернативы постоянная Эрмита γ_п можно определить как квадрат максимального систола квартиры п-размерный тор единицы объема.

Пример

Константа Эрмита известна в размерностях 1–8 и 24.

п	1	2	3	4	5	6	7	8	24
${\displaystyle \gamma _{n}^{n}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {4}{3}}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle {\frac {64}{3}}}$	${\displaystyle 64}$	${\displaystyle 2^{8}}$	${\displaystyle 4^{24}}$

За п = 2, есть γ₂ = 2/√3. Это значение достигается за счет шестиугольная решетка из Целые числа Эйзенштейна.^[1]

Оценки

Известно, что^[2]

${\displaystyle \gamma _{n}\leq \left({\frac {4}{3}}\right)^{\frac {n-1}{2}}.}$

Более сильная оценка из-за Ганс Фредерик Блихфельдт^[3] является^[4]

${\displaystyle \gamma _{n}\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)\Gamma \left(2+{\frac {n}{2}}\right)^{\frac {2}{n}},}$

куда ${\displaystyle \Gamma (x)}$ это гамма-функция.

Смотрите также

• Неравенство тора Лёвнера

Рекомендации

1. Касселс (1971) стр. 36
2. Китаока (1993) стр. 36
3. Блихфельдт, Х.Ф. (1929). «Минимальное значение квадратичных форм и плотнейшая упаковка сфер». Математика. Анна. 101: 605–608. Дои:10.1007 / bf01454863. JFM  55.0721.01.
4. Китаока (1993) стр. 42

• Касселс, J.W.S. (1997). Введение в геометрию чисел. Классика по математике (переиздание изд. 1971 г.). Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-61788-4.
• Китаока, Ёсиюки (1993). Арифметика квадратичных форм. Кембриджские трактаты по математике. 106. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-40475-4. Zbl  0785.11021.
• Шмидт, Вольфганг М. (1996). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения. Конспект лекций по математике. 1467 (2-е изд.). Springer-Verlag. п. 9. ISBN  3-540-54058-Х. Zbl  0754.11020.