Теорема о сфере (3-многообразия) - Sphere theorem (3-manifolds)

Эта статья посвящена вложениям двух сфер. По поводу теоремы о сфере в римановой геометрии см. Теорема о сфере.

В математике в топология из 3-х коллектор, то теорема о сфере из Христос Папакириакопулос  (1957 ) дает условия, при которых элементы второй гомотопической группы трехмерного многообразия могут быть представлены вложенными сферами.

Вот один из примеров:

Позволять ${displaystyle M}$ быть ориентируемый 3-многообразие такое, что ${displaystyle pi _{2}(M)}$ не является тривиальной группой. Тогда существует ненулевой элемент из ${displaystyle pi _{2}(M)}$ иметь представителя, который является встраивание ${displaystyle S^{2} o M}$.

Доказательство этой версии теоремы может быть основано на трансверсальность методы, см. Jean-Loïc Batude (1971 ).

Еще одна более общая версия (также называемая теоремой о проективной плоскости и в силу Дэвид Б. А. Эпштейн ) является:

Позволять ${displaystyle M}$ любое трехмерное многообразие и ${displaystyle N}$ а ${displaystyle pi _{1}(M)}$-инвариантный подгруппа ${displaystyle pi _{2}(M)}$. Если ${displaystyle fcolon S^{2} o M}$ это общая позиция карта такая, что ${displaystyle [f]otin N}$ и ${displaystyle U}$ - любая окрестность особого множества ${displaystyle Sigma (f)}$, то есть карта ${displaystyle gcolon S^{2} o M}$ удовлетворение

1. ${displaystyle [g]otin N}$,
2. ${displaystyle g(S^{2})subset f(S^{2})cup U}$,
3. ${displaystyle gcolon S^{2} o g(S^{2})}$ это карта покрытия, и
4. ${displaystyle g(S^{2})}$ это 2-сторонний подмногообразие (2-сфера или проективная плоскость ) из ${displaystyle M}$.

цитируется в (Hempel, п. 54) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFHempel (Помогите).

использованная литература

• Батюд, Жан-Луик (1971). "Уникальный генерик различных приложений для 2-х сфер в 3-х вариантном различном" (PDF). Annales de l'Institut Fourier. 21 (3): 151–172. Дои:10.5802 / aif.383. Г-Н  0331407.

• Эпштейн, Дэвид Б.А. (1961). «Проективные плоскости в трехмерных многообразиях». Труды Лондонского математического общества. 3-я сер. 11 (1): 469–484. Дои:10.1112 / плмс / с3-11.1.469.

• Хемпель, Джон (1976). 3-х коллектор. Анналы математических исследований. 86. Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press. Г-Н  0415619.

• Папакириакопулос, Христос (1957). «О лемме Дена и асферичности узлов». Анналы математики. 66 (1): 1–26. Дои:10.2307/1970113. JSTOR  1970113. ЧВК  528404.

• Уайтхед, Дж. Х. С. (1958). «О 2-сферах в 3-многообразиях». Бюллетень Американского математического общества. 64 (4): 161–166. Дои:10.1090 / S0002-9904-1958-10193-7.