Теорема трансверсальности - Transversality theorem

В дифференциальная топология, то теорема трансверсальности, также известный как Теорема трансверсальности Тома после Французский математик Рене Том, является основным результатом, описывающим свойства поперечного пересечения гладкого семейства гладких отображений. Он говорит, что трансверсальность это родовое свойство: любая гладкая карта ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$, может быть деформирован на произвольно малую величину в отображение, трансверсальное данному подмногообразию ${\displaystyle Z\subseteq Y}$. Вместе с Конструкция Понтрягина – Тома., это техническое сердце теория кобордизма, и отправной точкой для теория хирургии. Конечномерная версия теоремы трансверсальности также является очень полезным инструментом для установления общности свойства, которое зависит от конечного числа реальных параметров и которое может быть выражено с помощью системы нелинейных уравнений. Это может быть расширено до бесконечномерной параметризации, используя бесконечномерную версию теоремы трансверсальности.

Конечномерная версия

Предыдущие определения

Позволять ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ - гладкое отображение между гладкими многообразиями, и пусть ${\displaystyle Z}$ быть подмногообразием ${\displaystyle Y}$. Мы говорим что ${\displaystyle f}$ поперек ${\displaystyle Z}$, обозначенный как ${\displaystyle f\pitchfork Z}$, тогда и только тогда, когда для каждого ${\displaystyle x\in f^{-1}\left(Z\right)}$ у нас есть это

${\displaystyle \operatorname {im} \left(df_{x}\right)+T_{f\left(x\right)}Z=T_{f\left(x\right)}Y}$.

Важный результат о трансверсальности утверждает, что если гладкое отображение ${\displaystyle f}$ поперек ${\displaystyle Z}$, тогда ${\displaystyle f^{-1}\left(Z\right)}$ является регулярным подмногообразием в ${\displaystyle X}$.

Если ${\displaystyle X}$ это многообразие с краем, то можно определить ограничение отображения ${\displaystyle f}$ к границе, как ${\displaystyle \partial f\colon \partial X\rightarrow Y}$. Карта ${\displaystyle \partial f}$ гладко, и это позволяет нам утверждать расширение предыдущего результата: если оба ${\displaystyle f\pitchfork Z}$ и ${\displaystyle \partial f\pitchfork Z}$, тогда ${\displaystyle f^{-1}\left(Z\right)}$ является регулярным подмногообразием в ${\displaystyle X}$ с границей, и

${\displaystyle \partial f^{-1}\left(Z\right)=f^{-1}\left(Z\right)\cap \partial X}$.

Параметрическая теорема трансверсальности

Рассмотрим карту ${\displaystyle F\colon X\times S\rightarrow Y}$ и определить ${\displaystyle f_{s}\left(x\right)=F\left(x,s\right)}$. Это генерирует семейство отображений ${\displaystyle f_{s}\colon X\rightarrow Y}$. Мы требуем, чтобы семейство изменялось плавно, предполагая ${\displaystyle S}$ быть (гладким) многообразием и ${\displaystyle F}$ быть гладким.

Заявление параметрическая теорема трансверсальности является:

Предположим, что ${\displaystyle F\colon X\times S\rightarrow Y}$ - гладкое отображение многообразий, где только ${\displaystyle X}$ имеет границу, и пусть ${\displaystyle Z}$ - любое подмногообразие в ${\displaystyle Y}$ без границ. Если оба ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle \partial F}$ поперек ${\displaystyle Z}$, то почти на каждый ${\displaystyle s\in S}$, обе ${\displaystyle f_{s}}$ и ${\displaystyle \partial f_{s}}$ поперек ${\displaystyle Z}$.

Более общие теоремы трансверсальности

Приведенной выше теоремы о параметрической трансверсальности достаточно для многих элементарных приложений (см. Книгу Гийемена и Поллака).

Есть более сильные утверждения (вместе известные как теоремы трансверсальности), из которых следует параметрическая теорема трансверсальности, которые необходимы для более сложных приложений.

Неформально «теорема трансверсальности» утверждает, что множество отображений, трансверсальных данному подмногообразию, является плотным открытым (или, в некоторых случаях, только плотным ${\displaystyle G_{\delta }}$) подмножество множества отображений. Чтобы это утверждение было точным, необходимо определить рассматриваемое пространство отображений и какова в нем топология. Есть несколько возможностей; см. книгу Хирша.

Что обычно понимают под Теорема трансверсальности Тома более сильное утверждение о струя трансверсальность. См. Книги Хирша, Голубицкого и Гийемена. Первоначальная ссылка - Том, Бол. Soc. Мат. Mexicana (2) 1 (1956), стр. 59–71.

Джон Мэзер доказал в 1970-х годах еще более общий результат, названный многоструйный теорема трансверсальности. См. Книгу Голубицкого и Гийемена.

Бесконечномерная версия

Бесконечномерная версия теоремы трансверсальности учитывает, что многообразия можно моделировать в банаховых пространствах.^{[нужна цитата ]}

Официальное заявление

Предположим, что ${\displaystyle F\colon X\times S\rightarrow Y}$ это ${\displaystyle C^{k}}$ карта ${\displaystyle C^{\infty }}$-Банаховы многообразия. Предположить, что

я) ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle Y}$ непусты, метризуемы ${\displaystyle C^{\infty }}$-Банаховы многообразия с картографическими пространствами над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$.

ii) ${\displaystyle C^{k}}$-карта ${\displaystyle F:X\times S\rightarrow Y}$ с ${\displaystyle k\geq 1}$ имеет ${\displaystyle y}$ как обычное значение.

iii) Для каждого параметра ${\displaystyle s\in S}$, карта ${\displaystyle f_{s}\left(x\right)=F\left(x,s\right)}$ это Карта Фредгольма, куда ${\displaystyle \mathop {\mathrm {ind} } Df_{s}\left(x\right)<k}$ для каждого ${\displaystyle x\in f_{s}^{-1}\left(\left\{y\right\}\right)}$.

iv) Сходимость ${\displaystyle s_{n}\rightarrow s}$ на ${\displaystyle S}$ в качестве ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ и ${\displaystyle F\left(x_{n},s_{n}\right)=y}$ для всех ${\displaystyle n}$ влечет существование сходящейся подпоследовательности ${\displaystyle x_{n}\rightarrow x}$ в качестве ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ с ${\displaystyle x\in X}$.

Если выполнены предположения i-iv, то существует открытое плотное подмножество ${\displaystyle S_{0}}$ из ${\displaystyle S}$ такой, что ${\displaystyle y}$ является обычным значением ${\displaystyle f_{s}}$ для каждого параметра ${\displaystyle s\in S_{0}}$.

Теперь исправим элемент ${\displaystyle s\in S_{0}}$. Если существует номер ${\displaystyle n\geq 0}$ с ${\displaystyle \mathrm {ind} Df_{s}\left(x\right)=n}$ для всех решений ${\displaystyle x\in X}$ из ${\displaystyle f_{s}\left(x\right)=y}$, то множество решений ${\displaystyle f_{s}^{-1}\left(\left\{y\right\}\right)}$ состоит из ${\displaystyle n}$-размерный ${\displaystyle C^{k}}$-Банаховый коллектор или набор решений пуст.

Обратите внимание, что если ${\displaystyle \mathrm {ind} Df_{s}\left(x\right)=0}$ для всех решений ${\displaystyle f_{s}\left(x\right)=y}$, то существует открытое плотное подмножество ${\displaystyle S_{0}}$ из ${\displaystyle S}$ такое, что существует не более конечного числа решений для каждого фиксированного параметра ${\displaystyle s\in S_{0}}$. Кроме того, все эти решения являются штатными.

Рекомендации

• Арнольд, Владимир И. (1988). Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений.. Springer. ISBN  0-387-96649-8.
• Голубицкий, Мартин; Гийемен, Виктор (1974). Устойчивые отображения и их особенности. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90073-X.
• Гиймен, Виктор; Поллак, Алан (1974). Дифференциальная топология. Прентис-Холл. ISBN  0-13-212605-2.
• Хирш, Моррис В. (1976). Дифференциальная топология. Springer. ISBN  0-387-90148-5.
• Том, Рене (1954). "Quelques propriétés globales des varétés, дифференцируемые". Комментарии Mathematici Helvetici. 28 (1): 17–86. Дои:10.1007 / BF02566923.
• Том, Рене (1956). "Un lemme sur les applications différentiables". Бол. Soc. Мат. Мексикана. 2 (1): 59–71.
• Зейдлер, Эберхард (1997). Нелинейный функциональный анализ и его приложения: Часть 4: Приложения к математической физике. Springer. ISBN  0-387-96499-1.