Теорема души - Soul theorem

В математика, то теорема души это теорема Риманова геометрия что в значительной степени сокращает изучение полного коллекторы неотрицательных секционная кривизна к тому из компактный дело. Чигер и Gromoll доказал теорему в 1972 г., обобщив результат 1969 г. Громолля и Вольфганга Мейера. Связанные догадка души была сформулирована Громолем и Чигером в 1972 г. и доказана Григорий Перельман в 1994 году с удивительно лаконичным доказательством.

В теорема души состояния:

Если (M, грамм) это полный связаны Риманово многообразие с секционная кривизна K ≥ 0, то существует компактный полностью выпуклый, полностью геодезический подмногообразие S чей нормальный комплект является диффеоморфный к M.

(Обратите внимание, что секционная кривизна везде должна быть неотрицательной, но не обязательно постоянной.) Такое подмногообразие S называется душа из (M, грамм).

Душа не определяется однозначно (M, грамм) в общем, но любые две души (M, грамм) находятся изометрический. Это было доказано Шарафутдинов с помощью Опровержение Шарафутдинова в 1979 г.

Примеры

Каждый компактный многообразие - это его собственная душа. Действительно, теорема часто формулируется только для некомпактных многообразий.

В качестве очень простого примера возьмем M быть Евклидово пространство р^п. Поперечная кривизна 0 везде и в любой точке M может служить душой M.

Теперь возьмите параболоид M = {(Икс, у, z) : z = Икс² + у²}, с метрикой грамм обычное евклидово расстояние, полученное в результате вложения параболоида в евклидово пространство р³. Здесь кривизна сечения везде положительная, но не постоянная. Происхождение (0, 0, 0) это душа M. Не каждая точка Икс из M это душа M, так как могут быть геодезические петли на Икс, в таком случае ${\displaystyle \{x\}}$ не будет полностью выпуклым.

Можно также рассматривать бесконечное цилиндр M = {(Икс, у, z) : Икс² + у² = 1}, опять же с индуцированной евклидовой метрикой. Поперечная кривизна 0 повсюду. Любой «горизонтальный» круг {(Икс, у, z) : Икс² + у² = 1} с фиксированным z это душа M. Негоризонтальные поперечные сечения цилиндра не являются душами, поскольку они не являются ни полностью выпуклыми, ни полностью геодезическими.

Гипотеза души

Чигер и Громолл догадка души состояния:

Предполагать (M, грамм) полный, связный и некомпактный с секционной кривизной K ≥ 0, и существует точка в M где секционная кривизна (во всех направлениях) строго положительна. Тогда душа M это точка; эквивалентно M диффеоморфен р^п.

Григорий Перельман доказал это утверждение, установив, что в общем случае K ≥ 0, Опровержение Шарафутдинова П: М → С это погружение. Позже Цао и Шоу представили другое доказательство, избегающее Теорема Перельмана о плоской полосе.

Рекомендации

• Цао, Цзяньго; Шоу, Мей-Чи. «Новое доказательство гипотезы души Чигера-Громолля и теоремы Такеучи» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 20 февраля 2004 г.
• Чигер, Джефф; Громоль, Детлеф (1972), "О структуре полных многообразий неотрицательной кривизны", Анналы математики, Вторая серия, 96 (3): 413–443, Дои:10.2307/1970819, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970819, МИСТЕР  0309010
• Громоль, Детлеф; Мейер, Вольфганг (1969), «О полных открытых многообразиях положительной кривизны», Анналы математики, Вторая серия, 90 (1): 75–90, Дои:10.2307/1970682, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970682, МИСТЕР  0247590
• Перельман, Григорий (1994), "Доказательство гипотезы души Чигера и Громолля", Журнал дифференциальной геометрии, 40 (1): 209–212, Дои:10.4310 / jdg / 1214455292, ISSN  0022-040X, МИСТЕР  1285534, Zbl  0818.53056
• Шарафутдинов В. А. (1979), "Выпуклые множества в многообразии неотрицательной кривизны", Математические заметки, 26 (1): 556–560, Дои:10.1007 / BF01140282