Лемма Шурса (риманова геометрия) - Schurs lemma (Riemannian geometry) - Wikipedia

В Риманова геометрия, Лемма Шура это результат, который эвристически говорит, что всякий раз, когда определенные кривизны являются точечно постоянными, они вынуждены быть глобально постоянными. Доказательство - это, по сути, одношаговое вычисление, которое имеет только один вход: второе тождество Бианки.

Лемма Шура для тензора Риччи

Предполагать (M, грамм) гладкий Риманово многообразие с размером п. Напомним, что это определяет для каждого элемента п из M:

• то секционная кривизна, который сопоставляет каждому двумерному линейному подпространству V из Т_пM реальное число сек_п(V)
• то Тензор кривизны Римана, которая является полилинейной картой Rm_п : Т_пM × Т_пM × Т_пM × Т_пM → ℝ
• то Кривизна Риччи, которое является симметричным билинейным отображением Ric_п : Т_пM × Т_пM → ℝ
• то скалярная кривизна, которое является действительным числом р_п

Лемма Шура утверждает следующее:

Предположим, что п не равно двум. Если существует функция κ на M такой, что Ric_п = κ (п)грамм_п для всех п в M тогда dκ = 0. Эквивалентно, κ постоянно на каждой компоненте связности M; это также можно было бы сформулировать как утверждение, что каждый компонент связности M является Многообразие Эйнштейна.

Лемма Шура - простое следствие «дважды сжатой секунды. Бьянки идентичность, "в котором говорится, что

${\displaystyle \operatorname {div} _{g}\operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}dR.}$

понимается как равенство гладких 1-форм на M. Подставляя в данное условие Ric_п = κ (п)грамм_п, обнаруживается, что ${\displaystyle \textstyle d\kappa ={\frac {n}{2}}d\kappa .}$

Альтернативные формулировки предположений

Позволять B - симметричная билинейная форма на п-размерное внутреннее пространство продукта (V, грамм). потом

${\displaystyle |B|_{g}^{2}={\Big |}B-{\frac {1}{n}}(\operatorname {tr} ^{g}B)g{\Big |}_{g}^{2}+{\frac {1}{n}}(\operatorname {tr} ^{g}B)^{2}.}$

Кроме того, обратите внимание, что если B = κграмм для некоторого числа κ автоматически будет κ = 1/пtr^граммB. Имея в виду эти наблюдения, можно переформулировать лемму Шура в следующей форме:

Позволять (M, грамм) - связное гладкое риманово многообразие, размерность которого не равна двум. Тогда следующие эквиваленты:

• На M такой, что Ric_п = κ (п)грамм_п для всех п в M
• Существует такое число κ, что Ric_п = κграмм_п для всех п в M, т.е. (M, грамм) Эйнштейн
• Надо Ric_п = 1/пр_пграмм_п для всех п в M, т.е. бесследовый тензор Риччи равен нулю
• ${\displaystyle |\operatorname {Ric} |_{g}^{2}=\textstyle {\frac {1}{n}}R^{2}}$
• ${\displaystyle |\operatorname {Ric} |_{g}^{2}\leq \textstyle {\frac {1}{n}}R^{2}.}$

Если (M, грамм) - связное гладкое псевдориманово многообразие, то первые три условия эквивалентны, и из них следует четвертое условие.

Обратите внимание, что ограничение размерности важно, поскольку любое двумерное риманово многообразие, которое не имеет постоянной кривизны, было бы контрпримером.

Лемма Шура для тензора Римана

Следующее является непосредственным следствием леммы Шура для тензора Риччи.

Позволять ${\displaystyle (M,g)}$ - связное гладкое риманово многообразие, размерность которого п не равно двум. Тогда следующие эквиваленты:

• На M такой, что сек_п(V) = κ (п) для всех п в M и все двумерные линейные подпространства V из Т_пM
• Существует такое число κ, что сек_п(V) = κ для всех п в M и все двумерные линейные подпространства V из Т_пM, т.е. (M, грамм) имеет постоянную кривизну
• сек_п(V) = 1/п(п-1)р_п для всех п в M и все двумерные линейные подпространства V из Т_пM
• ${\displaystyle |\operatorname {Rm} _{p}|_{g}^{2}=\textstyle {\frac {2}{n(n-1)}}R_{p}^{2}}$ для всех п в M
• сумма кривизны Вейля и полуследовой части тензора Римана равна нулю
• и кривизна Вейля, и полуследная часть тензора Римана равны нулю

Лемма Шура для тензоров Кодацци

Позволять (M, грамм) - гладкое риманово или псевдориманово многообразие размерности п. Позволять час гладкое симметричное (0,2) -тензорное поле, ковариантная производная которого относительно связности Леви-Чивиты полностью симметрична. Условие симметрии является аналогом Бьянки идентичность; Продолжая аналогию, нужно найти, что

${\displaystyle \operatorname {div} ^{g}h=d{\big (}\operatorname {tr} ^{g}h{\big )}.}$

Если существует функция κ на M такой, что час_п = κ (п)грамм_п для всех п в M, то при подстановке находим

${\displaystyle d\kappa =n\cdot d\kappa .}$

Следовательно п > 1 следует, что κ постоянно на каждой связной компоненте M. Как и выше, в этом контексте можно сформулировать лемму Шура:

Позволять (M, грамм) - связное гладкое риманово многообразие, размерность которого не равна единице. Позволять час - гладкое симметричное (0,2) -тензорное поле, ковариантная производная которого полностью симметрична как (0,3) -тензорное поле. Тогда следующие эквиваленты:

• есть функция κ на M такой, что час_п = κ (п)грамм_п для всех п в M
• существует такое число κ, что час_п = κграмм_п для всех п в M
• час_п = 1/п(тр^граммчас_п)грамм_п для всех п в M, т.е. бесследная форма час ноль
• ${\displaystyle |h_{p}|_{g}^{2}=\textstyle {\frac {1}{n}}(\operatorname {tr} ^{g}h_{p})^{2}}$ для всех п в M
• ${\displaystyle |h_{p}|_{g}^{2}\leq \textstyle {\frac {1}{n}}(\operatorname {tr} ^{g}h_{p})^{2}}$ для всех п в M

Если (M, грамм) является связным и гладким псевдоримановым многообразием, то первые три эквивалентны и влекут четвертое и пятое.

Приложения

Леммы Шура часто используются для доказательства округлости геометрических объектов. Заслуживающий внимания пример - охарактеризовать пределы сходящихся геометрические потоки.

Например, ключевая часть Ричард Гамильтон Прорыв в потоке Риччи в 1982 г.^[1] была его «щипковой оценкой», которая, неофициально заявленная, гласит, что для римановой метрики, которая появляется в трехмерном потоке Риччи с положительной кривизной Риччи, собственные значения тензора Риччи близки друг к другу относительно размера их суммы. Если нормировать сумму, то собственные значения близки друг к другу в абсолютном смысле. В этом смысле каждая из метрик, появляющихся в трехмерном потоке Риччи положительной кривизны Риччи, «приблизительно» удовлетворяет условиям леммы Шура. Сама лемма Шура не применяется явно, но ее доказательство эффективно проводится с помощью вычислений Гамильтона.

Таким же образом лемма Шура для тензора Римана используется для изучения сходимости потока Риччи в более высоких измерениях. Это восходит к Герхард Хёйскен распространение работы Гамильтона на более высокие измерения,^[2] где основная часть работы состоит в том, что тензор Вейля и полуследный тензор Римана обращаются в ноль в пределе большого времени. Это распространяется на более общие теоремы о сходимости потоков Риччи, в некоторых изложениях которых непосредственно используется лемма Шура.^[3] Это включает доказательство теорема о дифференцируемой сфере.

Лемма Шура для тензоров Кодацци используется непосредственно в основополагающей статье Хьюскена о сходимости средняя кривизна потока, созданный по образцу работы Гамильтона.^[4] В последних двух предложениях статьи Хьюскена делается вывод о гладком вложении ${\displaystyle S^{n}\to \mathbb {R} ^{n+1}}$ с

${\displaystyle |h|^{2}={\frac {1}{n}}H^{2},}$

куда ${\displaystyle h}$ - вторая фундаментальная форма и ${\displaystyle H}$ - средняя кривизна. Из леммы Шура следует, что средняя кривизна постоянна, и тогда образ этого вложения должен быть стандартной круглой сферой.

Другое приложение относится к полной изотропии и кривизне. Предположим, что ${\displaystyle (M,g)}$ - связное трижды дифференцируемое риманово многообразие, и что для каждого ${\displaystyle p\in M}$ группа изометрий ${\displaystyle \operatorname {Isom} (M,g)}$ действует транзитивно на ${\displaystyle T_{p}M.}$ Это означает, что для всех ${\displaystyle p\in M}$ и все ${\displaystyle v,w\in T_{p}M}$ есть изометрия ${\displaystyle \varphi :(M,g)\to (M,g)}$ такой, что ${\displaystyle \varphi (p)=p}$ и ${\displaystyle d\varphi _{p}(v)=w.}$ Отсюда следует, что ${\displaystyle \operatorname {Isom} (M,g)}$ также действует транзитивно на ${\displaystyle {\text{Gr}}(2,T_{p}M),}$ т.е. для каждого ${\displaystyle P,Q\in {\text{Gr}}(2,T_{p}M)}$ есть изометрия ${\displaystyle \varphi :(M,g)\to (M,g)}$ такой, что ${\displaystyle \varphi (p)=p}$ и ${\displaystyle d\varphi _{p}(P)=Q.}$ Поскольку изометрии сохраняют секционную кривизну, отсюда следует, что ${\displaystyle \operatorname {sec} _{p}}$ постоянно для каждого ${\displaystyle p\in M.}$ Из леммы Шура следует, что ${\displaystyle (M,g)}$ имеет постоянную кривизну. Особенно примечательным применением этого является то, что любое пространство-время который моделирует космологический принцип должно быть искривленным произведением интервала и риманова многообразия постоянной кривизны. См. O'Neill (1983, стр. 341).

Стабильность

Недавние исследования исследовали случай, когда условия леммы Шура выполняются только приблизительно.

Рассмотрим лемму Шура в форме «Если бесследовый тензор Риччи равен нулю, то скалярная кривизна постоянна». Камилло Де Леллис и Питер Топпинг^[5] показали, что если бесследный тензор Риччи приблизительно равен нулю, то скалярная кривизна приблизительно постоянна. Именно так:

• Предполагать ${\displaystyle (M,g)}$ - замкнутое риманово многообразие с неотрицательной кривизной Риччи и размерностью ${\displaystyle n\geq 3.}$ Тогда где ${\displaystyle {\overline {R}}}$ обозначает среднее значение скалярной кривизны,

${\displaystyle \int _{M}(R-{\overline {R}})^{2}\,d\mu _{g}\leq {\frac {4n(n-1)}{(n-2)^{2}}}\int _{M}{\Big |}\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big |}_{g}^{2}\,d\mu _{g}.}$

Затем рассмотрим лемму Шура в специальной форме «Если ${\displaystyle \Sigma }$ связная вложенная поверхность в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ чья бесследная вторая фундаментальная форма равна нулю, то его средняя кривизна постоянна ". Камилло Де Леллис и Стефан Мюллер^[6] показали, что если бесследная вторая фундаментальная форма компактной поверхности приблизительно равна нулю, то средняя кривизна приблизительно постоянна. Именно так

• есть номер ${\displaystyle C}$ такое, что для любой гладкой компактной связной вложенной поверхности ${\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {R} ^{3},}$ надо

${\displaystyle \int _{\Sigma }(H-{\overline {H}})^{2}\,d\mu _{g}\leq C\int _{\Sigma }{\Big |}h-{\frac {1}{2}}Hg{\Big |}_{g}^{2}\,d\mu _{g},}$

куда ${\displaystyle h}$ вторая фундаментальная форма, ${\displaystyle g}$ - индуцированная метрика, а ${\displaystyle H}$ это средняя кривизна ${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}h.}$

В качестве приложения можно сделать вывод, что ${\displaystyle \Sigma }$ сам «близок» к круглой сфере.

Рекомендации

1. Гамильтон, Ричард С. (1982). «Трехмерные многообразия с положительной кривизной Риччи». J. Дифференциальная геометрия. 17 (2): 255–306.
2. Хьюскен, Герхард (1985). «Деформация Риччи метрики на римановом многообразии». J. Дифференциальная геометрия. 21 (1): 47–62.
3. Бём, Кристоф; Уилкинг, Буркхард (2008). «Многообразия с операторами положительной кривизны суть пространственные формы». Анна. математики. (2). 167 (3): 1079–1097.
4. Хьюскен, Герхард (1984). «Обтекание средней кривизной выпуклых поверхностей на сферы». J. Дифференциальная геометрия. 20 (1): 237–266.
5. Де Леллис, Камилло; Топпинг, Питер М. (2012). «Лемма почти Шура». Расчет. Вар. Уравнения с частными производными. 443 (3–44): 347–354.
6. Де Леллис, Камилло; Мюллер, Стефан (2005). «Оптимальные оценки жесткости для почти омбилических поверхностей». J. Дифференциальная геометрия. 69 (1): 75–110.

• Сосичи Кобаяси и Кацуми Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. Vol. Я. Interscience Publishers, подразделение John Wiley & Sons, Нью-Йорк-Лондон, 1963 г. xi + 329 с.
• Барретт О'Нил. Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности. Чистая и прикладная математика, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Нью-Йорк, 1983. xiii + 468 с. ISBN  0-12-526740-1