Многообразие Эйнштейна - Einstein manifold

В дифференциальная геометрия и математическая физика, Многообразие Эйнштейна это Риманов или псевдориманов дифференцируемое многообразие чья Тензор Риччи пропорционально метрика. Они названы в честь Альберт Эйнштейн поскольку это условие эквивалентно утверждению, что метрика является решением вакуум Уравнения поля Эйнштейна (с участием космологическая постоянная ), хотя как размерность, так и сигнатура метрики могут быть произвольными, не ограничиваясь четырехмерным Лоренцевы многообразия обычно учился в общая теория относительности. Многообразия Эйнштейна в четырех евклидовых измерениях изучаются как гравитационные инстантоны.

Если M лежит в основе п-размерный многообразие и г это его метрический тензор условие Эйнштейна означает, что

${\displaystyle \mathrm {Ric} =kg}$

для некоторой постоянной k, где Ric обозначает Тензор Риччи из г. Многообразия Эйнштейна с k = 0 называются Риччи-плоские многообразия.

Условие Эйнштейна и уравнение Эйнштейна

В локальных координатах условие, что (M, г) многообразие Эйнштейна просто

${\displaystyle R_{ab}=kg_{ab}.}$

Обращение к обеим сторонам показывает, что коэффициент пропорциональности k для многообразий Эйнштейна связана с скалярная кривизна р от

${\displaystyle R=nk,}$

где п это размер M.

В общая теория относительности, Уравнение Эйнштейна с космологическая постоянная Λ - это

${\displaystyle R_{ab}-{\frac {1}{2}}g_{ab}R+g_{ab}\Lambda =\kappa T_{ab},}$

где κ это Гравитационная постоянная Эйнштейна.^[1] В тензор энергии-импульса Т_ab дает материю и энергетическое содержание основного пространства-времени. В вакуум (область пространства-времени, лишенная материи) Т_ab = 0, а уравнение Эйнштейна можно переписать в виде (предполагая, что п > 2):

${\displaystyle R_{ab}={\frac {2\Lambda }{n-2}}\,g_{ab}.}$

Следовательно, вакуумные решения уравнения Эйнштейна - это (лоренцевы) многообразия Эйнштейна с k пропорциональна космологической постоянной.

Примеры

Простые примеры многообразий Эйнштейна включают:

• Любое многообразие с постоянная кривизна сечения является многообразием Эйнштейна, в частности:
  • Евклидово пространство, которая является плоской, является простым примером Риччи-плоской метрики, следовательно, метрики Эйнштейна.
  • В п-сфера, ${\displaystyle S^{n}}$, с круглой метрикой - Эйнштейн с ${\displaystyle k=n-1}$.
  • Гиперболическое пространство с канонической метрикой - это Эйнштейн с ${\displaystyle k=-(n-1)}$.
• Комплексное проективное пространство, ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}}$, с Метрика Фубини – Этюд, имеют ${\displaystyle k=n+1.}$
• Многообразия Калаби – Яу. допускают метрику Эйнштейна, которая также Kähler, с постоянной Эйнштейна ${\displaystyle k=0}$. Такие показатели не уникальны, они, скорее, разрознены; метрика Калаби – Яу есть в каждом кэлеровом классе, и эта метрика также зависит от выбора комплексной структуры. Например, существует семейство таких показателей из 60 параметров на K3, 57 параметров которых порождают метрики Эйнштейна, не связанные изометриями или пересчетами.

Необходимое условие для закрыто, ориентированный, 4-коллектор быть Эйнштейном удовлетворяет Неравенство Хитчина – Торпа.

Приложения

Четырехмерные римановы многообразия Эйнштейна также важны в математической физике, поскольку гравитационные инстантоны в квантовые теории гравитации. Термин «гравитационный инстантон» обычно используется только в отношении 4-многообразий Эйнштейна, у которых Тензор Вейля самодуальна, и обычно предполагается, что эта метрика асимптотична стандартной метрике евклидова 4-мерного пространства (и поэтому полный но некомпактный ). В дифференциальной геометрии самодуальные 4-многообразия Эйнштейна также известны как (4-мерные) гиперкэлеровы многообразия в случае Ricci-flat и кватернионные кэлеровы многообразия в противном случае.

Многомерные лоренцевы многообразия Эйнштейна используются в современных теориях гравитации, таких как теория струн, М-теория и супергравитация. Гиперкэлеровы и кватернионные кэлеровы многообразия (которые представляют собой особые виды многообразий Эйнштейна) также имеют приложения в физике в качестве целевых пространств для нелинейные σ-модели с участием суперсимметрия.

Компактные многообразия Эйнштейна были подробно изучены в дифференциальной геометрии, и известно множество примеров, хотя их построение часто является сложной задачей. Компактные Риччи-плоские многообразия найти особенно сложно: в монографии на эту тему автора под псевдонимом Артур Бесс читателям предлагается обед в звездный ресторан в обмен на новый пример.

Смотрите также

• Векторное расслоение Эйнштейна – Эрмитова

Примечания и ссылки

1. κ не следует путать с k.

• Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна. Классика по математике. Берлин: Springer. ISBN  3-540-74120-8.