Симметричное распределение вероятностей - Symmetric probability distribution

В статистика, а симметричное распределение вероятностей это распределение вероятностей - присвоение вероятностей возможным событиям - которое не меняется, когда функция плотности вероятности или функция массы вероятности является отраженный вокруг вертикальной линии при некотором значении случайная переменная представлен распределением. Эта вертикальная линия - это линия симметрия распределения. Таким образом, вероятность оказаться на любом заданном расстоянии по одну сторону от значения, относительно которого имеет место симметрия, такая же, как вероятность быть на том же расстоянии по другую сторону от этого значения.

Формальное определение

Распределение вероятностей называется симметричным если и только если существует ценность ${\displaystyle x_{0}}$ такой, что

${\displaystyle f(x_{0}-\delta )=f(x_{0}+\delta )}$ для всех действительных чисел ${\displaystyle \delta ,}$

где ж - функция плотности вероятности, если распределение непрерывный или функция массы вероятности, если распределение дискретный.

Многомерные распределения

Степень симметрии в смысле зеркальной симметрии может быть оценена количественно для многомерных распределений с хиральным индексом, который принимает значения в интервале [0; 1], и который равен нулю тогда и только тогда, когда распределение является зеркально-симметричным.^[1]Таким образом, распределение с переменной d определяется как зеркально-симметричное, когда его хиральный индекс равен нулю. Распределение может быть дискретным или непрерывным, и наличие плотности не требуется, но инерция должна быть конечной и отличной от нуля. в одномерном случае этот индекс был предложен как непараметрический тест симметрии^[2].

Для непрерывного симметричного сферического тела Мир М. Али дал следующее определение. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ обозначим класс сферически-симметричных распределений абсолютно непрерывного типа в n-мерном евклидовом пространстве, имеющих совместную плотность вида ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=g(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2})}$внутри сферы с центром в начале координат с заданным радиусом, который может быть конечным или бесконечным и нулем в другом месте.^[3]

Свойства

• В медиана и значить (если оно существует) симметричного распределения, оба находятся в точке ${\displaystyle x_{0}}$ относительно которого возникает симметрия.
• Если симметричное распределение одномодальный, то Режим совпадает со средним и средним.
• Все странно центральные моменты симметричного распределения равны нулю (если они существуют), потому что при вычислении таких моментов отрицательные члены, возникающие из отрицательных отклонений от ${\displaystyle x_{0}}$ точно сбалансировать положительные условия, возникающие из равных положительных отклонений от ${\displaystyle x_{0}}$.
• Каждая мера перекос равен нулю для симметричного распределения.

Функция плотности вероятности

Обычно функция плотности вероятности симметричного непрерывного распределения содержит значение индекса ${\displaystyle x}$ только в контексте термина ${\displaystyle (x-x_{0})^{2k}}$ где ${\displaystyle k}$ - некоторое положительное целое число (обычно 1). Этот квадратичный или другой член с четной степенью принимает то же значение для ${\displaystyle x=x_{0}-\delta }$ что касается ${\displaystyle x=x_{0}+\delta }$, симметрия относительно ${\displaystyle x_{0}}$. Иногда функция плотности содержит член ${\displaystyle |x-x_{0}|}$, который также демонстрирует симметрию относительно ${\displaystyle x_{0}.}$

Унимодальный случай

Основная статья: Неравенство Чебичева § Унимодальные симметричные распределения.

Неполный список примеров

Следующие распределения симметричны для всех параметризаций. (Многие другие распределения симметричны для определенной параметризации.)

• Распределение арксинусов
• Распределение Бейтса
• Распределение Коши
• Распределение Champernowne
• Непрерывное равномерное распределение
• Вырожденное распределение
• Дискретное равномерное распределение
• Эллиптические распределения
• Гауссово q-распределение
• Обобщенное нормальное распределение
• Распределение гиперболического секанса
• Распределение Ирвина – Холла
• Распределение Лапласа
• Логистическая дистрибуция
• Нормальное распределение
• Нормально-экспоненциально-гамма-распределение
• Распределение Радемахера
• Распределение приподнятого косинуса
• Распределение Стьюдента
• Лямбда-распределение Тьюки
• U-квадратичное распределение
• Распределение фойгта
• распределение фон Мизеса
• Распределение полукруга Вигнера

использованная литература

1. Петижан, М. (2002). «Хиральные смеси» (PDF). Журнал математической физики. 43 (8): 4147–4157. Дои:10.1063/1.1484559.
2. Петижан, М (2020). «Таблицы квантилей распределения эмпирического хирального индекса в случае единообразного закона и в случае нормального закона». arXiv:2005.09960 [stat.ME ].
3. Али, Мир М. (1980). "Характеризация нормального распределения непрерывного симметричного сферического класса". Журнал Королевского статистического общества. Серия B (Методологическая). 42 (2): 162–164. Дои:10.1111 / j.2517-6161.1980.tb01113.x. JSTOR  2984955.