Распределение Champernowne - Champernowne distribution

В статистика, то Распределение Champernowne является симметричным, непрерывное распределение вероятностей, описывая случайные переменные которые принимают как положительные, так и отрицательные значения. Это обобщение логистическая дистрибуция это было введено Д. Г. Чамперноун.^[1][2][3] Шамперноун разработал распределение для описания логарифма дохода.^[2]

Определение

Распределение Чамперноуна имеет функция плотности вероятности данный

${\displaystyle f(y;\alpha ,\lambda ,y_{0})={\frac {n}{\cosh[\alpha (y-y_{0})]+\lambda }},\qquad -\infty <y<\infty ,}$

где ${\displaystyle \alpha ,\lambda ,y_{0}}$ положительные параметры, а п - нормирующая постоянная, зависящая от параметров. Плотность можно переписать как

${\displaystyle f(y)={\frac {n}{1/2e^{\alpha (y-y_{0})}+\lambda +1/2e^{-\alpha (y-y_{0})}}},}$

используя тот факт, что ${\displaystyle \cosh y=(e^{y}+e^{-y})/2.}$

Свойства

Плотность ж(у) определяет симметричное распределение с медианой у₀, у которого хвосты несколько тяжелее, чем у нормального распределения.

Особые случаи

В частном случае ${\displaystyle \lambda =1}$ это Тип заусенца XII плотность.

Когда ${\displaystyle y_{0}=0,\alpha =1,\lambda =1}$,

${\displaystyle f(y)={\frac {1}{e^{y}+2+e^{-y}}}={\frac {e^{y}}{(1+e^{y})^{2}}},}$

что является плотностью эталона логистическая дистрибуция.

Распределение доходов

Если распределение Y, логарифм дохода, имеет распределение Шамперноуна, то функция плотности дохода Икс = ехр (Y) является^[1]

${\displaystyle f(x)={\frac {n}{x[1/2(x/x_{0})^{-\alpha }+\lambda +a/2(x/x_{0})^{\alpha }]}},\qquad x>0,}$

где Икс₀ = ехр (у₀) - средний доход. Если λ = 1, это распределение часто называют Распределение Fisk,^[4] который имеет плотность

${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha x^{\alpha -1}}{x_{0}^{\alpha }[1+(x/x_{0})^{\alpha }]^{2}}},\qquad x>0.}$

Смотрите также

• Обобщенная логистическая дистрибуция

использованная литература

1. К. Клейбер и С. Коц (2003). Статистические распределения размеров в экономике и актуарных науках. Нью-Йорк: Вили. Раздел 7.3 «Распределение Чамперноунов».
2. Чамперноун, Д. Г. (1952). «Градация распределения доходов». Econometrica. 20: 591–614. Дои:10.2307/1907644. JSTOR  1907644.
3. Чамперноун, Д. Г. (1953). «Модель распределения доходов». Экономический журнал. 63 (250): 318–351. Дои:10.2307/2227127. JSTOR  2227127.
4. Фиск, П. Р. (1961). «Градация распределения доходов». Econometrica. 29: 171–185. Дои:10.2307/1909287.