Обобщенная логистическая дистрибуция - Generalized logistic distribution

Период, термин обобщенное логистическое распределение используется как название для нескольких различных семейств распределения вероятностей. Например, Johnson et al.^[1] перечислите четыре формы, которые перечислены ниже. Одна семья, описанная здесь, также называлась асимметричное распределение. Для других семейств распределений, которые также называются обобщенными логистическими распределениями, см. смещенное логистическое распределение, который является обобщением логистическая дистрибуция.

Определения

Следующие определения относятся к стандартизированным версиям семейств, которые могут быть расширены до полной формы как семья в масштабе местности. Каждый определяется с помощью кумулятивная функция распределения (F) или функция плотности вероятности (ƒ) и определена на (-∞, ∞).

Тип I

${\displaystyle F(x;\alpha )={\frac {1}{(1+e^{-x})^{\alpha }}}\equiv (1+e^{-x})^{-\alpha },\quad \alpha >0.}$

Соответствующая функция плотности вероятности:

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\alpha e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{\alpha +1}}},\quad \alpha >0.}$

Этот тип также получил название «косо-логистического» распределения.

Тип II

${\displaystyle F(x;\alpha )=1-{\frac {e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{\alpha }}},\quad \alpha >0.}$

Соответствующая функция плотности вероятности:

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\alpha e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +1}}},\quad \alpha >0.}$

Тип III

${\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {1}{B(\alpha ,\alpha )}}{\frac {e^{-\alpha x}}{(1+e^{-x})^{2\alpha }}},\quad \alpha >0.}$

Здесь B это бета-функция. В функция, производящая момент для этого типа

${\displaystyle M(t)={\frac {\Gamma (\alpha -t)\Gamma (\alpha +t)}{(\Gamma (\alpha ))^{2}}},\quad -\alpha <t<\alpha .}$

Соответствующая кумулятивная функция распределения:

${\displaystyle F(x;\alpha )={\frac {\left(e^{x}+1\right)\Gamma (\alpha )e^{\alpha (-x)}\left(e^{-x}+1\right)^{-2\alpha }\,_{2}{\tilde {F}}_{1}\left(1,1-\alpha ;\alpha +1;-e^{x}\right)}{B(\alpha ,\alpha )}},\quad \alpha >0.}$

Тип IV

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {e^{-\beta x}}{(1+e^{-x})^{\alpha +\beta }}},\quad \alpha ,\beta >0.}$

Опять таки, B это бета-функция. В функция, производящая момент для этого типа

${\displaystyle M(t)={\frac {\Gamma (\beta -t)\Gamma (\alpha +t)}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}},\quad -\alpha <t<\beta .}$

Этот тип также называют «экспоненциальной обобщенной бета-версией второго типа».^[1]

Соответствующая кумулятивная функция распределения:

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\left(e^{x}+1\right)\Gamma (\alpha )e^{\beta (-x)}\left(e^{-x}+1\right)^{-\alpha -\beta }\,_{2}{\tilde {F}}_{1}\left(1,1-\beta ;\alpha +1;-e^{x}\right)}{B(\alpha ,\beta )}},\quad \alpha ,\beta >0.}$

Отношение

Тип IV - это наиболее общая форма распределения. Распределение Типа III может быть получено из Типа IV путем исправления ${\displaystyle \beta =\alpha }$. Распределение Типа II может быть получено из Типа IV путем исправления ${\displaystyle \alpha =1}$ (и переименование ${\displaystyle \beta }$ к ${\displaystyle \alpha }$). Распределение Типа I можно получить из Типа IV, исправив ${\displaystyle \beta =1}$.

Смотрите также

• Распределение Champernowne, еще одно обобщение логистической дистрибуции.

Рекомендации

1. Джонсон, Н.Л., Коц, С., Балакришнан, Н. (1995) Непрерывные одномерные распределения, Том 2, Wiley. ISBN  0-471-58494-0 (страницы 140–142)