Теория множества (музыка) - Set theory (music)

Пример Z-отношение на двух наборах высоты тона, которые можно проанализировать или получить из Z17 (Schuijer 2008, 99), с интервалами между классами основного тона, помеченными для облегчения сравнения между двумя наборами и их общим вектором интервалов, 212320.
В наборе 3-1 есть три возможных поворота / инверсии, нормальной формой которых является наименьший пирог или наиболее компактная форма.

Теория музыкального декора предоставляет концепции для категоризации музыкальный объекты и описывая их отношения. Говард Хэнсон впервые разработал многие концепции для анализа тональный Музыка (Хэнсон 1960 ). Другие теоретики, такие как Аллен Форте, далее развил теорию анализа атональный Музыка (Форте 1973 ), опираясь на двенадцатитонный теория Милтон Бэббит. Концепции теории музыкальных множеств очень общие и могут применяться к тональным и атональным стилям в любых равный темперамент система настройки, и в некоторой степени, в более общем плане.

Один раздел теории музыкальных множеств имеет дело с коллекциями (наборы и перестановки ) из поля и классы поля (теория множеств питч-класса), который может быть заказанный или неупорядоченный, и могут быть связаны музыкальными операциями, такими как транспозиция, мелодическая инверсия, и дополнение. Некоторые теоретики применяют методы теории музыкальных множеств для анализа ритм также.

Математическая теория множеств против теории музыкальных множеств

Хотя часто считается, что теория музыкальных множеств включает в себя применение математических теория множеств Что касается музыки, существует множество различий между методами и терминологией этих двух. Например, музыканты используют термины транспозиция и инверсия где математики использовали бы перевод и отражение. Более того, там, где теория музыкальных множеств относится к упорядоченным множествам, математика обычно относится к кортежам или последовательностям (хотя математика действительно говорит о заказанные наборы, и хотя в некотором смысле можно увидеть, что они включают музыкальный вид, они гораздо более сложны).

Более того, теория музыкального набора более тесно связана с теория групп и комбинаторика чем математическая теория множеств, которая занимается такими вопросами, как, например, различные размеры бесконечно больших множеств. В комбинаторике неупорядоченное подмножество п объекты, такие как классы поля, называется сочетание, а упорядоченное подмножество a перестановка. Теорию музыкальных множеств лучше всего рассматривать как область, которая не столько связана с математической теорией множеств, сколько приложение комбинаторики к теории музыки со своим собственным словарем. Основная связь с математической теорией множеств - это использование словарь теории множеств говорить о конечных множествах.

Установить и установить типы

Основная статья: Набор (музыка)

Основным понятием теории музыкальных множеств является (музыкальный) набор, который представляет собой неупорядоченный набор классов высоты звука (Ран 1980, 27). Точнее, набор питч-класса - это числовое представление, состоящее из различных целых чисел (т. Е. Без дубликатов) (Форте 1973, 3). Элементы набора могут проявляться в музыке как одновременный аккорды, последовательные тоны (как в мелодии) или и то, и другое.[нужна цитата ] Условные обозначения варьируются от автора к автору, но наборы обычно заключаются в фигурные скобки: {} (Ран 1980, 28) или квадратные скобки: [] (Форте 1973, 3).

Некоторые теоретики используют угловые скобки ⟨⟩ для обозначения упорядоченных последовательностей (Ран 1980, 21 и 134), в то время как другие различают упорядоченные множества, разделяя числа пробелами (Форте 1973, 60–61). Таким образом, можно было бы записать неупорядоченный набор классов высоты тона 0, 1 и 2 (соответствующих в данном случае C, C♯, и D) как {0,1,2}. Упорядоченная последовательность C-C♯-D будет обозначаться как ⟨0,1,2⟩ или (0,1,2). Хотя в этом примере C считается нулевым, это не всегда так. Например, произведение (тональное или атональное) с четким центром высоты тона F может быть наиболее эффективно проанализировано с F, установленным на ноль (в этом случае {0,1,2} будет представлять F, F♯ и G. (Использование чисел для обозначения нот см. класс поля.)

Хотя теоретики множеств обычно рассматривают наборы классов высоты звука с одинаковым темпом, можно рассматривать наборы высоты звука, классы высоты звука с неравным темпом,[нужна цитата ] ритмические начала, или "классы ритма" (Уорбертон 1988, 148; Кон 1992, 149).

Двухэлементные множества называются диады, трехэлементные наборы трихорды (иногда «триады», хотя это легко спутать с традиционным значением слова триада ). Множества высших мощностей называются тетрахорды (или тетрады), пентахорды (или пятерки), гексахорды (или гексады), гептахорды (гептады или, иногда, смешение латинских и греческих корней, «септахорды» - например, Ран 1980, 140), октахорды (октады), неакорды (nonads), декакорды (декады), undecachords, и, наконец, додекахорд.

Основные операции

Основная статья: Трансформация (музыка)
Инверсия питч-класса: 234te, отраженное около 0, становится t9821

Основные операции, которые можно выполнять с набором: транспозиция и инверсия. Множества, связанные транспонированием или инверсией, называются транспозиционно связанный или же инверсионно связанные, и принадлежать к тому же установить класс. Поскольку транспонирование и инверсия изометрии пространства питч-класса, они сохраняют интервальную структуру набора, даже если они не сохраняют музыкальный характер (то есть физическую реальность) элементов набора.[нужна цитата ] Это можно считать центральным постулатом теории музыкальных множеств. На практике теоретико-множественный музыкальный анализ часто заключается в выявлении неочевидных транспозиционных или инверсионных отношений между наборами, встречающимися в пьесе.

Некоторые авторы рассматривают действия дополнение и умножение также. Дополнением к множеству X является множество, состоящее из всех классов высоты тона, не содержащихся в X (Форте 1973, 73–74). Произведение двух классов основного тона является произведением их чисел классов основного тона по модулю 12. Поскольку дополнение и умножение не являются изометрии пространства питч-класса они не обязательно сохраняют музыкальный характер объектов, которые они трансформируют. Другие писатели, такие как Аллен Форте, подчеркивали Z-отношение, который получается между двумя наборами, которые имеют одно и то же общее содержимое интервала, или интервал вектор - но не являются транспозиционно или инверсионно эквивалентными (Форте 1973, 21). Другое название этих отношений, используемое Говардом Хэнсон (1960, 22), является «изомерным» (Коэн 2004, 33).

Операции с упорядоченными последовательностями классов высоты тона также включают транспонирование и инверсию, а также ретроградное и вращение. При ретроградации упорядоченной последовательности порядок ее элементов меняется на обратный. Вращение упорядоченной последовательности эквивалентно циклическая перестановка.

Транспонирование и инверсию можно представить как элементарные арифметические операции. Если Икс - число, представляющее класс высоты тона, его транспонирование на п полутонов пишется Tп = Икс + п mod 12. Инверсия соответствует отражение вокруг некоторой фиксированной точки в пространство питч-класса. Если Икс - питч-класс, инверсия с индекс п написано яп = п - Икс мод 12.

Отношение эквивалентности

Смотрите также: Класс эквивалентности (музыка)

"Для отношения в наборе S быть отношение эквивалентности [в алгебра ], он должен удовлетворять трем условиям: он должен быть рефлексивный ..., симметричный ..., и переходный ..." (Schuijer 2008, 29–30). «Действительно, неформальное понятие эквивалентности всегда было частью теории и анализа музыки. Однако теория множеств ПК придерживалась формальных определений эквивалентности» (Schuijer 2008, 85).

Классы транспозиционных и инверсионных множеств

Говорят, что два транспозиционно связанных множества принадлежат одному и тому же классу транспозиционных множеств (Tп). Говорят, что два набора, связанные транспонированием или инверсией, принадлежат к одному и тому же классу транспозиционных / инверсионных множеств (инверсия записывается как TпЯ или яп). Наборы, принадлежащие к одному классу транспозиционных наборов, очень похожи по звучанию; в то время как множества, принадлежащие к одному и тому же классу транспозиционных / инверсионных множеств, имеют довольно похожее звучание. По этой причине теоретики музыки часто считают классы множеств основными объектами музыкального интереса.

Существует два основных соглашения об именах классов равномерного набора. Один, известный как Номер Форте, происходит от Аллена Форте, чей Структура атональной музыки (1973), - одна из первых работ по теории музыкальных множеств. Forte снабдил каждый набор классов номером вида c–d, куда c указывает мощность множества и d порядковый номер (Форте 1973, 12). Таким образом, хроматический трихорд {0, 1, 2} принадлежит классу набора 3-1, что указывает на то, что это первый класс набора из трех нот в списке Forte (Форте 1973, 179–81). Расширенный трихорд {0, 4, 8} получает метку 3-12, которая оказывается последним трихордом в списке Forte.

Основные критические замечания по номенклатуре Forte: (1) обозначения Forte произвольны и трудны для запоминания, и на практике часто проще просто перечислить элемент установленного класса; (2) Система Forte предполагает одинаковый темперамент и не может быть легко расширена за счет включения диатонических наборов, наборов высоты тона (в отличие от наборов класса высоты звука), мультимножества или наборов в других системах настройки; (3) Исходная система Forte считает, что инверсионно связанные множества принадлежат одному и тому же классу множеств. Это означает, что, например, мажорное трезвучие и минорное трезвучие считаются одним и тем же набором.

Западная тональная музыка на протяжении веков считала мажор и минор, а также инверсии аккордов существенно разными. Они действительно создают совершенно разные физические объекты. Игнорирование физической реальности звука - очевидное ограничение атональной теории. Тем не менее, было высказано мнение, что теория не была создана для заполнения вакуума, в котором существующие теории неадекватно объясняли тональную музыку. Скорее, теория Форте используется для объяснения атональной музыки, когда композитор изобрел систему, в которой проводится различие между {0, 4, 7} (называемым «мажорным» в тональной теории) и его инверсией {0, 8, 5} (называемой 'минор' в тональной теории) может не иметь значения.

Метки второй системы обозначений задаются в терминах их нормальная форма, что зависит от концепции нормальный порядок. Поставить набор в нормальный порядок, закажите его как возрастающую шкалу в пространстве класса высоты тона, охватывающем менее октавы. Затем переставляйте его циклически, пока его первая и последняя ноты не будут как можно ближе друг к другу. В случае завязки минимизируйте расстояние между первой и предпоследней нотой. (В случае совпадения здесь минимизируйте расстояние между первой и предпоследней заметкой и т. Д.) Таким образом, {0, 7, 4} в нормальном порядке это {0, 4, 7}, а {0, 2, 10} в обычном порядке - это {10, 0, 2}. Чтобы привести набор в нормальную форму, сначала разместите его в обычном порядке, а затем транспонируйте его так, чтобы его первый класс высоты звука был 0 (Ран 1980, 33–38). Математики и компьютерные ученые чаще всего упорядочивают комбинации, используя либо алфавитный, либо двоичный (по основанию два) порядок, либо Серое кодирование, каждая из которых приводит к различным, но логичным нормальным формам.[нужна цитата ]

Поскольку транспозиционно связанные множества имеют одну и ту же нормальную форму, нормальные формы могут использоваться для обозначения Tп установить классы.

Чтобы идентифицировать набор Tп/Яп установить класс:

  • Определите набор Tп установить класс.
  • Инвертируйте множество и найдите T инверсиип установить класс.
  • Сравните эти две нормальные формы, чтобы увидеть, какая из них наиболее «упакована слева».

Результирующий набор помечает исходный набор Tп/Яп установить класс.

Симметрия

Количество различных операций в системе, отображающих набор в себя, является степень симметрии (Ран 1980, 90). Степень симметрии «определяет количество операций, которые сохраняют неупорядоченные компьютерные наборы раздела; она сообщает степень, в которой наборы классов высоты тона этого раздела отображаются друг в друга (или на них) при транспонировании или инверсии» (Элегантный 2001, 5). Каждый набор имеет по крайней мере одну симметрию, так как он отображается на себя при тождественной операции T0 (Ран 1980, 91). Транспозиционно симметричные множества отображаются сами на себя для Tп куда п не равно 0 (mod 12). Инверсионно-симметричные множества отображаются на себя при TпI. Для любого заданного Tп/ ТпЯ набираю все наборы одинаковой степени симметрии. Количество различных наборов в типе равно 24 (общее количество операций, транспонирования и инверсии для n = от 0 до 11), деленное на степень симметрии Tп/ ТпЯ печатаю.

Транспозиционно симметричные наборы либо равномерно делят октаву, либо могут быть записаны как объединение наборов одинакового размера, которые сами по себе делят октаву равномерно. Инверсионно-симметричные хорды инвариантны относительно отражений в пространстве высотных классов. Это означает, что аккорды можно упорядочивать циклически, так что последовательность интервалов между последовательными нотами одинакова при чтении вперед или назад. Например, при циклическом упорядочивании (0, 1, 2, 7) интервал между первой и второй нотами равен 1, интервал между второй и третьей нотами равен 1, интервал между третьей и четвертой нотами равен 5, а интервал между четвертой и первой нотами равен 5 (Ран 1980, 148).

Та же самая последовательность получается, если начать с третьего элемента ряда и двигаться назад: интервал между третьим элементом ряда и вторым равен 1; интервал между вторым элементом ряда и первым равен 1; интервал между первым элементом ряда и четвертым - 5; а интервал между последним элементом ряда и третьим элементом равен 5. Таким образом, симметрия находится между T0 и т2I, а в Tп/ ТпI класс эквивалентности (Ран 1980, 148).

Смотрите также

Рекомендации

  • Элегантный, Брайан. 2001. «Кросс-перегородки как гармония и голосовое лидерство в двенадцатитонной музыке». Музыка Теория Спектр 23, нет. 1 (Весна): 1–40.
  • Коэн, Аллен Лоуренс. 2004 г. Ховард Хэнсон в теории и на практике. Вклады в изучение музыки и танцев 66. Вестпорт, Коннектикут и Лондон: Praeger. ISBN  0-313-32135-3.
  • Кон, Ричард. 1992. "Транспозиционная комбинация наборов бит-класса в музыке Стива Райха с фазовым сдвигом". Перспективы новой музыки 30, нет. 2 (лето): 146–77.
  • Форте, Аллен. 1973 г. Структура атональной музыки. Нью-Хейвен и Лондон: Издательство Йельского университета. ISBN  0-300-01610-7 (ткань) ISBN  0-300-02120-8 (PBK).
  • Хэнсон, Ховард. 1960. Гармонические материалы современной музыки: ресурсы умеренной шкалы. Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts, Inc.
  • Ран, Джон. 1980 г. Основная атональная теория. Нью-Йорк: Schirmer Books; Лондон и Торонто: Prentice Hall International. ISBN  0-02-873160-3.
  • Schuijer, Michiel. 2008 г. Анализ атональной музыки: теория множеств питч-класса и ее контексты. ISBN  978-1-58046-270-9.
  • Уорбертон, Дэн. 1988. "Рабочая терминология для минимальной музыки". Интеграл 2:135–59.

дальнейшее чтение

  • Картер, Эллиотт. 2002. Книга Гармонии, отредактированный Николасом Хопкинсом и Джоном Ф. Линком. Нью-Йорк: Карл Фишер. ISBN  0-8258-4594-7.
  • Левин, Дэвид. 1993. Музыкальная форма и трансформация: четыре аналитических эссе. Нью-Хейвен: издательство Йельского университета. ISBN  0-300-05686-9. Перепечатано с предисловием Эдварда Голлина, Нью-Йорк: Oxford University Press, 2007. ISBN  978-0-19-531712-1.
  • Левин, Дэвид. 1987 г. Обобщенные музыкальные интервалы и преобразования. Нью-Хейвен: издательство Йельского университета. ISBN  0-300-03493-8. Перепечатано, Нью-Йорк: Oxford University Press, 2007. ISBN  978-0-19-531713-8.
  • Моррис, Роберт. 1987. Композиция с питч-классами: теория композиционного дизайна. Нью-Хейвен: издательство Йельского университета. ISBN  0-300-03684-1.
  • Перл, Джордж. 1996. Двенадцатитоновая тональность, издание второе, исправленное и дополненное. Беркли: Калифорнийский университет Press. ISBN  0-520-20142-6. (Первое издание 1977 г., ISBN  0-520-03387-6)
  • Старр, Дэниел. 1978. "Множества, инвариантность и разбиения". Журнал теории музыки 22, нет. 1 (Весна): 1–42.
  • Штраус, Джозеф Н. 2005. Введение в посттональную теорию, Третье издание. Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN  0-13-189890-6.

внешняя ссылка