Питч-класс - Pitch class

Идеальная октава Об этом звукеИграть в (помощь ·Информация )
Все C из C1 в C7 включающийОб этом звукеИграть в (помощь ·Информация ).

В Музыка, а класс поля (ПК. или же ПК) это набор из всех поля это целый ряд октавы кроме того, например, класс высоты тона C состоит из до всех октав. «Класс высоты тона C означает все возможные до в любой октавной позиции».[1] Важно теория музыкального набора, класс высоты тона - это «все высоты звука, связанные друг с другом октавой, энгармоническая эквивалентность, или оба."[2] Таким образом, используя научная нотация, класс шага «С» - это набор

{Cп : п является целое число } = {..., C−2, С−1, С0, С1, С2, С3 ...}.

Хотя для этой последовательности нет формального верхнего или нижнего предела, человеческое ухо слышит лишь некоторые из этих звуков. Питч-класс важен, потому что человек восприятие высоты тона является периодический: поля, принадлежащие к одному классу поля, воспринимаются как имеющие схожее качество или цвет, это свойство называется "октавная эквивалентность ".

Психологи называют качество звука его «цветностью».[3] А цветность является атрибутом смол (в отличие от высота тона), как оттенок является атрибутом цвет. А класс поля - это набор всех высот, которые имеют одну и ту же цветность, точно так же, как «набор всех белых вещей» - это набор всех белых объектов.[4]

Обратите внимание, что в стандартном вестерне равный темперамент, разные варианты написания могут относиться к одному и тому же звучащему объекту: B♯3, С4, а Dдвойная квартира4 все относятся к одному и тому же основному тону, следовательно, имеют одну и ту же цветность и, следовательно, принадлежат к одному и тому же классу основного тона; явление под названием энгармоническая эквивалентность.

Целочисленная запись

Чтобы избежать проблемы энгармонического написания, теоретики обычно представляют классы высоты тона, используя числа, начинающиеся с нуля, причем каждое последовательно большее целое число представляет класс высоты тона, который был бы на один полутон выше, чем предыдущий, если бы все они были реализованы как фактические высоты звука в одном и том же октава. Поскольку высота звука, связанная с октавой, принадлежит к тому же классу, при достижении октавы числа снова начинаются с нуля. Эта циклическая система называется модульная арифметика и, в обычном случае хроматических двенадцатитональных шкал, нумерация классов высоты тона рассматривается как «по модулю 12» (обычно сокращенно «по модулю 12» в литературе по теории музыки), то есть каждый двенадцатый член идентичен. Можно отобразить основную частоту звука ж (измеряется в герц ) к действительному числу п используя уравнение:

Это создает линейный пространство поля в которых октавы имеют размер 12, полутоны (расстояние между соседними клавишами на клавиатуре фортепиано) имеют размер 1, а средний C (C4) присваивается номер 0 (таким образом, площадки на пианино от -39 до +48). Действительно, определенное таким образом отображение высоты звука в действительные числа формирует основу Стандарт настройки MIDI, который использует действительные числа от 0 до 127 для обозначения высоты тона C−1 к G9 (таким образом, средний C равен 60). Для представления шага классы, нам необходимо идентифицировать или «склеить вместе» все высоты звука, принадлежащие одному классу, т.е. все числа п и п + 12. Результат - циклический факторгруппа что музыканты называют пространство питч-класса и математики называют р/12Z. Точки в этом пространстве можно пометить с помощью действительные числа в диапазоне 0 ≤Икс <12. Эти числа представляют собой числовые альтернативы буквенным названиям элементарной теории музыки:

0 = С, 1 = С♯/ D♭, 2 = D, 2,5 = Dнаполовину резкий (четверть тона резкий), 3 = D♯/ E♭,

и так далее. В этой системе классы высоты тона, представленные целыми числами, являются классами двенадцатитонный ровный темперамент (при стандартном концерте A).

Целочисленная запись.

В Музыка, целочисленная запись является переводом классов высоты тона и / или интервальные классы в целые числа.[5] Таким образом, если C = 0, то C♯ = 1 ... А♯ = 10, B = 11, где «10» и «11» заменены на «t» и «e» в некоторых источниках,[5] А и B в других[6] (словно двенадцатеричный система счисления, в которой также используются "т" и "е", или А и B, для «10» и «11»). Это позволяет наиболее экономично представить информацию о посттональный материалы.[5]

В целочисленной модели шага все классы шага и интервалы между классами высоты тона обозначаются цифрами от 0 до 11. Он не используется для нотной записи музыки для исполнения, но является обычным аналитический и композиционный инструмент при работе с хроматической музыкой, в том числе двенадцать тонов, серийный, или иным образом атональный Музыка.

Классы высоты тона могут быть обозначены таким образом, присвоив номер 0 некоторой ноте и присвоив последовательные целые числа последовательным полутоны; поэтому, если 0 является C натуральным, 1 является C♯, 2 - это D♮ и так далее до 11, то есть B♮. C выше это не 12, а снова 0 (12-12 = 0). Таким образом, арифметика по модулю 12 используется для обозначения октава эквивалентность. Одним из преимуществ этой системы является то, что она игнорирует "написание" нот (B♯, С♮ и Dдвойная квартира все 0) согласно их диатоническая функциональность.

Недостатки

У целочисленной записи есть несколько недостатков. Во-первых, теоретики традиционно использовали одни и те же целые числа для обозначения элементов разных систем настройки. Таким образом, числа 0, 1, 2, ... 5 используются для обозначения классов высоты звука в 6-тональной равной темперации. Это означает, что значение данного целого числа изменяется в зависимости от базовой системы настройки: «1» может относиться к C♯ у 12-тонов одинаковый темперамент, но D в 6-тоновом равном темпераменте.

Кроме того, одинаковые числа используются для обозначения обоих поля и интервалы. Например, число 4 служит как меткой для класса высоты тона E (если C = 0), так и меткой для расстояние между классами поля D и F♯. (Примерно таким же образом термин «10 градусов» может обозначать как температуру, так и расстояние между двумя температурами.) Только одна из этих маркировок чувствительна к (произвольному) выбору класса шага 0. Например, если кто-то делает другой выбор относительно того, какой класс шага помечен как 0, тогда класс шага E больше не будет помечен как «4». Однако расстояние между D и F♯ все равно будет присвоен номер 4. И это, и проблема в параграфе непосредственно выше можно рассматривать как недостатки (хотя математически элемент «4» не следует путать с функцией «+4»).

Другие способы обозначить классы высоты тона

Питч-класс
Подача
учебный класс		Тональные аналогиСольфеджио
0C (также B♯, Dдвойная квартира)делать
1C♯, D♭ (также Bдвойной диез)
2D (также Cдвойной диез, Eдвойная квартира)повторно
3D♯, E♭ (также Fдвойная квартира)
4E (также Dдвойной диез, F♭)ми
5F (также E♯, ГРАММдвойная квартира)фа
6F♯, грамм♭ (также Eдвойной диез)
7грамм (также Fдвойной диез, Адвойная квартира)соль
8грамм♯, А♭
9А (также Gдвойной диез, Bдвойная квартира)ля
10, т или АА♯, B♭ (также Cдвойная квартира)
11, д или бB (такжедвойной диез, С♭)ти

Описанная выше система достаточно гибкая, чтобы описать любой класс высоты звука в любой системе настройки: например, можно использовать числа {0, 2.4, 4.8, 7.2, 9.6} для обозначения пятитональной шкалы, которая равномерно делит октаву. Однако в некоторых случаях удобно использовать альтернативные системы маркировки. Например, в просто интонация, мы можем выразить высоту звука через положительные рациональные числа п/q, выражается ссылкой на 1 (часто пишется "1/1"), который представляет фиксированный шаг. Если а и б - два положительных рациональных числа, они принадлежат к одному классу высоты тона тогда и только тогда, когда

для некоторых целое число п. Следовательно, мы можем представить классы высоты тона в этой системе, используя соотношения п/q где ни п ни q делится на 2, то есть как отношение нечетных целых чисел. В качестве альтернативы, мы можем представить только классы высоты тона интонации путем сокращения до октавы, 1 ≤п/q < 2.

Также очень часто классы высоты тона обозначают со ссылкой на некоторые шкала. Например, можно обозначить классы высоты тона п-тон равный темперамент используя целые числа от 0 до п - 1. Примерно так же можно обозначить классы высоты тона до мажорной гаммы, C – D – E – F – G – A – B, используя цифры от 0 до 6. Эта система имеет два преимущества перед система непрерывной маркировки, описанная выше. Во-первых, он устраняет любые предположения о том, что есть что-то естественное в двенадцатикратном делении октавы. Во-вторых, он избегает вселенных класса основного тона с громоздкими десятичными расширениями, если рассматривать их относительно 12; например, в непрерывной системе питч-классы 19 ровный темперамент помечены как 0,63158 ..., 1,26316 ... и т. д. Обозначение этих классов основного тона {0, 1, 2, 3 ..., 18} упрощает арифметику, используемую при манипуляциях с наборами классов основного тона.

Недостатком системы, основанной на гамме, является то, что она присваивает бесконечное количество разных имен аккордам, которые звучат одинаково. Например, в двенадцатитонной равной темперации трезвучие до мажор обозначается {0, 4, 7}. В 24-тональной равной темперации эта же триада обозначается {0, 8, 14}. Более того, система, основанная на гамме, кажется, предполагает, что разные системы настройки используют шаги одного размера («1»), но имеют октавы разного размера («12» в 12-тональной равной темперации, «19» в 19-тональной одинаковый темперамент и т. д.), тогда как на самом деле верно обратное: разные системы настройки делят одну и ту же октаву на шаги разного размера.

В общем, часто бывает более полезно использовать традиционную целочисленную систему, когда кто-то работает с одним темпераментом; когда сравнивают аккорды в разных темпераментах, непрерывная система может быть более полезной.

Смотрите также

Источники

  1. ^ Арнольд Уиттолл, Кембриджское введение в сериализм (Нью-Йорк: издательство Кембриджского университета, 2008): 276. ISBN  978-0-521-68200-8 (PBK).
  2. ^ Дон Майкл Рэндел, изд. (2003). «Теория множеств», Гарвардский музыкальный словарь, с.776. Гарвард. ISBN  9780674011632.
  3. ^ Тимочко Дмитрий (2011). Геометрия музыки: гармония и контрапункт в расширенной общей практике, стр.30. Оксфордские исследования в области теории музыки. ISBN  9780199714353.
  4. ^ Мюллер, Мейнард (2007). Поиск информации для музыки и движения, стр.60. ISBN  9783540740483. «Класс высоты тона определяется как набор всех высот, имеющих одну и ту же цветность».
  5. ^ а б c Уиттолл (2008), стр. 273.
  6. ^ Роберт Д. Моррис, "Обобщение вращающихся массивов", Журнал теории музыки 32, нет. 1 (весна 1988 г.): 75–132, цитирование на 83.

дальнейшее чтение