Пифагорейский тюнинг - Pythagorean tuning

Континуум синтонной настройки, показывающий настройку Пифагора на уровне 702 цента.^[1]

Сгенерированная серия квинт может дать семь нот: диатонический крупный масштаб на C в пифагорейской настройке

Играть в (Помогите ·Информация ).

Диатоническая шкала на C

Играть в (Помогите ·Информация ) 12-тонный ровный темперированный и

Играть в (Помогите ·Информация ) просто интонация.

Пифагорейский (тонический) мажорный аккорд до мажор

Играть в (Помогите ·Информация ) (сравнить

Играть в (Помогите ·Информация ) уравновешенный и

Играть в (Помогите ·Информация ) только).

Сравнение равномерных (черный) и пифагоровых (зеленый) интервалов, показывающее взаимосвязь между соотношением частот и значениями интервалов в центах.

Пифагорейский тюнинг это система музыкальный тюнинг в которой частотные отношения из всех интервалы основаны на соотношении 3:2.^[2] Это соотношение, также известное как "чистый "идеальная пятая часть выбрана потому, что это одна из самых согласный звук и легче всего настраивается на слух, так как значение придается целому числу 3. Поскольку Новалис сказал: «Музыкальные пропорции мне кажутся особенно правильными естественными пропорциями».^[3] Как вариант, это можно описать как настройку синтонический темперамент^[1] в которой генератор это соотношение 3:2 (т. е. незакаленный идеальный пятый ), что составляет ≈702 центы широкий.

Система в основном приписывалась Пифагор (шестой век до нашей эры) современными авторами теории музыки, а Птолемей, и позже Боэций, приписал разделение тетрахорд всего двумя интервалами, которые на латыни называются «полутоний», «тонус», «тонус» (256: 243 × 9: 8 × 9: 8), чтобы Эратосфен. Так называемый «пифагорейский строй» использовался музыкантами до начала 16 века. «Пифагорейская система кажется идеальной из-за чистоты квинт, но некоторые считают другие интервалы, особенно мажорную треть, настолько расстроенными, что мажорные аккорды [можно считать] диссонансом».^[2]

В Шкала Пифагора есть ли масштаб который может быть построен только из чистых совершенных квинт (3: 2) и октав (2: 1).^[4] В греческой музыке это было настраивать тетрахорды, которые были составлены в гаммы, охватывающие октаву.^[5] Можно различить расширенную пифагорейскую настройку и 12-тонную пифагорейскую темперацию. Расширенная пифагорейская настройка соответствует 1-на-1 западной нотной записи, и нет никаких ограничений на количество квинт. В 12-тонной пифагорейской темперации, однако, один ограничен 12-ю тонами на октаву, и нельзя играть большую часть музыки в соответствии с пифагорейской системой, соответствующей энгармонической нотации, вместо этого обнаруживается, что, например, уменьшенная шестая становится «волчьей пятой».

Метод

12-тональная пифагорейская темперация основана на наборе интервалов, называемых идеальными квинтами, каждый настроен в соотношении 3: 2, следующем простейшем соотношении после 2: 1. Например, начиная с D (На основе D настройка), шесть других нот производятся шестикратным перемещением в соотношении 3: 2 вверх, а остальные - перемещением того же соотношения вниз:

E ♭ –B ♭ –F – C – G–D–A – E – B – F♯ – C♯ – G♯

Эта последовательность из одиннадцати интервалов 3: 2 охватывает широкий диапазон частота (на фортепианная клавиатура, в ней 77 клавиш). Поскольку нотам, различающимся по частоте в 2 раза, дается одно и то же имя, принято делить или умножать частоты некоторых из этих нот на 2 или на степень 2. Целью этой регулировки является перемещение 12 нот. в меньшем диапазоне частот, а именно в интервале между базовая нота D и D над ним (нота с удвоенной частотой). Этот интервал обычно называют основная октава (на клавиатуре фортепиано октава вмещает всего 13 ключей).

Например, A настроен так, что его частота равна 3/2 частоты D - если D настроен на частоту 288 Гц, то A настраивается на 432 Гц. Точно так же E выше A настроен так, что его частота равна 3/2 частоты A или 9/4 частоты D - с A на 432 Гц, это ставит E на 648 Гц. Поскольку эта E находится за пределами вышеупомянутой базовой октавы (т.е. ее частота более чем в два раза превышает частоту базовой ноты D), обычно ее частоту уменьшают вдвое, чтобы переместить ее в пределах основной октавы. Поэтому E настроен на 324 Гц, 9/8 (= один эпогдун ) выше D. Буква B на 3/2 выше, чем E, настроена на соотношение 27:16 и так далее. Начиная с той же точки, работая другим способом, G настраивается на 3/2 ниже D, что означает, что ему назначается частота, равная 2/3 частоты D - с D на 288 Гц, это ставит G на 192. Гц. Затем эта частота удваивается (до 384 Гц), чтобы привести ее в основную октаву.

Однако при расширении этой настройки возникает проблема: ни один стек интервалов 3: 2 (идеальных квинт) не поместится точно в любой стек интервалов 2: 1 (октав). Например, такая стопка, как эта, полученная добавлением еще одной заметки в стопку, показанную выше

A ♭ –E ♭ –B ♭ –F – C – G–D–A – E – B – F♯ – C♯ – G♯

будет аналогичен, но не идентичен по размеру стеку из 7 октав. Точнее, будет около четверти полутон больше, называется Пифагорейская запятая. Таким образом, A♭ и G♯в основной октаве не будет совпадать, как ожидалось. Таблица ниже иллюстрирует это, показывая для каждой ноты в основной октаве условное название интервал из D (базовая нота), формула для вычисления соотношения частот, его размер в центы, а также разница в центах (обозначенная в таблице 12-TET-dif) между его размером и размером соответствующей шкалы в такой же темперированной шкале.

Заметка	Интервал от D	Формула	=	=	Частота соотношение	Размер (центов)	12-ТЕТ-диф (центов)
А♭	уменьшенная пятая	${ displaystyle left ({ frac {2} {3}} right) ^ {6} times 2 ^ {4}}$	${ displaystyle 3 ^ {- 6} times 2 ^ {10}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ {10}} {3 ^ {6}}}}$	${ displaystyle { frac {1024} {729}}}$	588.27	−11.73
E♭	второстепенная секунда	${ displaystyle left ({ frac {2} {3}} right) ^ {5} times 2 ^ {3}}$	${ displaystyle 3 ^ {- 5} times 2 ^ {8}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ {8}} {3 ^ {5}}}}$	${ displaystyle { frac {256} {243}}}$	90.22	−9.78
B♭	второстепенный шестой	${ displaystyle left ({ frac {2} {3}} right) ^ {4} times 2 ^ {3}}$	${ displaystyle 3 ^ {- 4} times 2 ^ {7}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ {7}} {3 ^ {4}}}}$	${ displaystyle { frac {128} {81}}}$	792.18	−7.82
F	второстепенная треть	${ displaystyle left ({ frac {2} {3}} right) ^ {3} times 2 ^ {2}}$	${ displaystyle 3 ^ {- 3} times 2 ^ {5}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ {5}} {3 ^ {3}}}}$	${ displaystyle { frac {32} {27}}}$	294.13	−5.87
C	второстепенный седьмой	${ displaystyle left ({ frac {2} {3}} right) ^ {2} times 2 ^ {2}}$	${ displaystyle 3 ^ {- 2} times 2 ^ {4}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ {4}} {3 ^ {2}}}}$	${ displaystyle { frac {16} {9}}}$	996.09	−3.91
г	идеальный четвертый	${ displaystyle { frac {2} {3}} times 2}$	${ displaystyle 3 ^ {- 1} times 2 ^ {2}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ {2}} {3 ^ {1}}}}$	${ displaystyle { frac {4} {3}}}$	498.04	−1.96
D	унисон	${ displaystyle { frac {1} {1}}}$	${ displaystyle 3 ^ {0} times 2 ^ {0}}$	${ displaystyle { frac {3 ^ {0}} {2 ^ {0}}}}$	${ displaystyle { frac {1} {1}}}$	0.00	0.00
А	идеальный пятый	${ displaystyle { frac {3} {2}}}$	${ displaystyle 3 ^ {1} times 2 ^ {- 1}}$	${ displaystyle { frac {3 ^ {1}} {2 ^ {1}}}}$	${ displaystyle { frac {3} {2}}}$	701.96	1.96
E	основная секунда	${ displaystyle left ({ frac {3} {2}} right) ^ {2} times { frac {1} {2}}}$	${ displaystyle 3 ^ {2} times 2 ^ {- 3}}$	${ displaystyle { frac {3 ^ {2}} {2 ^ {3}}}}$	${ displaystyle { frac {9} {8}}}$	203.91	3.91
B	основной шестой	${ displaystyle left ({ frac {3} {2}} right) ^ {3} times { frac {1} {2}}}$	${ displaystyle 3 ^ {3} times 2 ^ {- 4}}$	${ displaystyle { frac {3 ^ {3}} {2 ^ {4}}}}$	${ displaystyle { frac {27} {16}}}$	905.87	5.87
F♯	большая треть	${ displaystyle left ({ frac {3} {2}} right) ^ {4} times left ({ frac {1} {2}} right) ^ {2}}$	${ displaystyle 3 ^ {4} times 2 ^ {- 6}}$	${ displaystyle { frac {3 ^ {4}} {2 ^ {6}}}}$	${ displaystyle { frac {81} {64}}}$	407.82	7.82
C♯	основной седьмой	${ displaystyle left ({ frac {3} {2}} right) ^ {5} times left ({ frac {1} {2}} right) ^ {2}}$	${ displaystyle 3 ^ {5} times 2 ^ {- 7}}$	${ displaystyle { frac {3 ^ {5}} {2 ^ {7}}}}$	${ displaystyle { frac {243} {128}}}$	1109.78	9.78
г♯	дополненный четвертый	${ displaystyle left ({ frac {3} {2}} right) ^ {6} times left ({ frac {1} {2}} right) ^ {3}}$	${ displaystyle 3 ^ {6} times 2 ^ {- 9}}$	${ displaystyle { frac {3 ^ {6}} {2 ^ {9}}}}$	${ displaystyle { frac {729} {512}}}$	611.73	11.73

В формулах отношения 3: 2 или 2: 3 представляют восходящую или убывающую идеальную квинту (т. Е. Увеличение или уменьшение частоты на идеальную квинту, тогда как 2: 1 или 1: 2 представляют восходящую или понижающую октаву. Формулы можно также выразить через степени третьего и второго гармоники.

В крупный масштаб основанный на C, полученный из этой настройки:^[6]

Заметка	C		D		E		F		г		А		B		C
Соотношение	¹⁄₁		⁹⁄₈		⁸¹⁄₆₄		⁴⁄₃		³⁄₂		²⁷⁄₁₆		²⁴³⁄₁₂₈		²⁄₁
Шаг	—	⁹⁄₈		⁹⁄₈		²⁵⁶⁄₂₄₃		⁹⁄₈		⁹⁄₈		⁹⁄₈		²⁵⁶⁄₂₄₃		—

В равном темпераменте пары энгармонический ноты, такие как A♭ и G♯ рассматриваются как одна и та же нота - однако, как показывает приведенная выше таблица, в настройке Пифагора они имеют разные отношения по отношению к D, что означает, что они находятся на другой частоте. Это расхождение в 23,46 цента, или почти четверть полутона, известно как Пифагорейская запятая.

Чтобы обойти эту проблему, пифагорейский строй строит только двенадцать нот, как указано выше, с одиннадцатью пятыми между ними. Например, можно использовать только 12 нот из E♭ к G♯. Это, как показано выше, означает, что только одиннадцать квинт используются для построения всей хроматической гаммы. Оставшийся интервал (убавленный шестой из G♯ палец на ноге♭) остается сильно расстроенной, а это означает, что любая музыка, сочетающая эти две ноты, не может быть воспроизведена в этой настройке. Такой очень расстроенный интервал, как этот, известен как волчий интервал. В случае пифагорейской настройки все квинта имеют ширину 701,96 цента в точном соотношении 3: 2, за исключением квинтэссенции волка, ширина которой составляет всего 678,49 цента, то есть почти четверть полутон льстить.

Если ноты G♯ и E♭ нужно озвучивать вместе, положение пятого волка можно менять. Например, настройка Пифагора на основе C создаст стек пятых долей, идущих от D♭ к F♯, делая F♯-D♭ интервал волка. Однако в пифагорейской настройке всегда будет один пятый волк, что делает невозможным игру во всех ключи в гармонии.

Размер интервалов

В таблице выше показаны только интервалы от D. Однако интервалы могут быть сформированы, начиная с каждой из перечисленных выше 12 нот. Таким образом, можно определить двенадцать интервалов для каждого тип интервала (двенадцать унисонов, двенадцать полутоны, двенадцать интервалов, состоящих из двух полутонов, двенадцать интервалов, состоящих из трех полутонов, и т. д.).

Частотное отношение 144 интервалов в пифагорейской настройке на основе D. Имена интервалов даются в сокращенном виде. Чистые интервалы показаны в смелый шрифт. Интервалы волка выделены красным.^[7] Числа больше 999 показаны как степени двойки или тройки.

Приблизительный размер в центах 144 интервалов пифагорейской настройки на основе D. Имена интервалов даются в сокращенном виде. Чистые интервалы показаны в смелый шрифт. Интервалы волка выделены красным.^[7]

Как объяснялось выше, одна из двенадцати пятых (пятая волчья) имеет другой размер по сравнению с другими одиннадцатью. По той же причине каждый из других типов интервалов, кроме унисонов и октав, имеет два разных размера в пифагорейской настройке. Это цена, заплаченная за поиск просто интонация. В таблицах справа и ниже показаны их соотношения частот и их приблизительные размеры в центах. Имена интервалов приведены в их стандартном сокращенном виде. Например, размер интервала от D до A, который является идеальной пятой (P5), можно найти в седьмом столбце строки, обозначенной D. Строго просто (или чистые) интервалы показаны в смелый шрифт. Интервалы волка выделены красным.^[7]

Причина, по которой размеры интервалов варьируются по шкале, заключается в том, что шаги, образующие шкалу, расположены неравномерно. А именно, частоты, определенные конструкцией для двенадцати нот, определяют два разных полутоны (т.е. интервалы между соседними нотами):

Второстепенная секунда (m2), также называемый диатоническим полутоном, с размером
${ displaystyle S_ {1} = {256 более 243} приблизительно 90,225 { hbox {центов}}}$
(например, между D и E♭)
Расширенный унисон (A1), также называемый хроматическим полутоном, с размером
${ displaystyle S_ {2} = {3 ^ {7} более 2 ^ {11}} = {2187 более 2048} приблизительно 113,685 { hbox {центов}}}$
(например, между E♭ и E)

И наоборот, в в равной степени сдержанный хроматическая шкала, по определению, двенадцать шагов равномерно распределены, все полутоны имеют размер точно

{ displaystyle S_ {E} = { sqrt [{12}] {2}} = 100 000 { hbox {центов}}.}

Как следствие, все интервалы любого данного типа имеют одинаковый размер (например, все основные трети имеют одинаковый размер, все квинты имеют одинаковый размер и т. Д.). Плата за это в данном случае состоит в том, что ни один из них не настроен должным образом и не созвучен, за исключением, конечно, унисона и октавы.

По определению, в пифагорейском строе 11 совершенных квинт (P5 в таблице) имеют размер примерно 701,955 центов (700 + ε центов, где ε ≈ 1,955 центов). Так как средний размер 12 пятых должен равняться ровно 700 центов (как при равном темпераменте), другой должен иметь размер 700-11ε центов, что составляет около 678,495 центов (пятый волк). Обратите внимание, что, как показано в таблице, последний интервал, хотя энгармонически эквивалентный к пятой, правильнее называть уменьшился шестой (d6). Так же,

9 второстепенные трети (м3) составляют ≈ 294,135 центов (300−3ε), 3 увеличенные секунды (A2) составляют ≈ 317,595 центов (300 + 9ε), а их среднее значение составляет 300 центов;
8 основные трети (M3) составляют ≈ 407,820 центов (400 + 4ε), 4 уменьшенные четверти (d4) составляют ≈ 384,360 центов (400-8ε), а их среднее значение составляет 400 центов;
7 диатонический полутоны (m2) составляют ≈ 90,225 центов (100−5ε), 5 хроматических полутонов (A1) составляют ≈ 113,685 центов (100 + 7ε), а их среднее значение составляет 100 центов.

Короче говоря, аналогичные различия в ширине наблюдаются для всех типов интервалов, кроме унисонов и октав, и все они кратны ε, разнице между пифагорейской пятой и средней пятой.

Обратите внимание, что, как очевидное следствие, каждый увеличенный или уменьшенный интервал ровно на 12ε (≈ 23,460) центов уже или шире, чем его энгармонический эквивалент. Например, d6 (или пятый волк) на 12 центов уже, чем каждый P5, а каждый A2 на 12 центов шире, чем каждый m3. Этот интервал размером 12ε известен как Пифагорейская запятая, в точности равно противоположному значению a уменьшился второй (≈ -23,460 центов). Отсюда следует, что ε также можно определить как одну двенадцатую пифагорову запятую.

Пифагоровы интервалы

Четыре из вышеупомянутых интервалов имеют определенное название в пифагорейской настройке. В следующей таблице представлены эти конкретные имена вместе с альтернативными именами, обычно используемыми для некоторых других интервалов. Обратите внимание, что пифагорейская запятая не совпадает с уменьшенной секундой, так как ее размер (524288: 531441) является обратной величиной пифагорейской уменьшенной секунды (531441: 524288). Также ditone и полудитон специфичны для пифагорейской настройки, а тон и тритон используются в основном для всех систем настройки. Несмотря на свое название, полудитон (3 полутона, или около 300 центов) вряд ли можно рассматривать как половину дитона (4 полутона, или около 400 центов). Все интервалы с префиксом полуторный находятся справедливо настроены, и их соотношение частот, показанный в таблице, является сверхчастичное число (или эпиморическое соотношение). То же самое и с октавой.

Количество полутоны	Родовые имена				Конкретные имена
	Качество и количество		Другие соглашения об именах		Пифагорейский тюнинг (названия отношения высоты тона)	5-предельная настройка	1/4 запятой имел ввиду
	Полный	короткий	Другие соглашения об именах		Пифагорейский тюнинг (названия отношения высоты тона)	5-предельная настройка	1/4 запятой имел ввиду
0			запятая		Пифагорейская запятая (524288:531441)		diesis (128:125)
0	уменьшился второй	d2			(531441:524288)		diesis (128:125)
1	второстепенная секунда	m2	полутон, полутон, полшага	диатонический полутон, минорный полутон	Лимма (λείμμα) (256: 243)
1	усиленный унисон	A1	полутон, полутон, полшага	хроматический полутон, мажорный полутон	апотом (αποτομή) (2187: 2048)
2	основная секунда	M2	тон, весь тон, целый шаг		epogdoön (επόγδοον), сесквиоктавум (9:8)
3	второстепенная треть	м3			полудитон (32:27)	полуторный (6:5)
4	большая треть	M3			ditone (δίτονον) (81:64)	полуторный (5:4)
5	идеальный четвертый	P4	диатессарон (διατεσσάρων)		эпитрит (επίτριτος), сесквитерций (4:3)
6	уменьшенная пятая	d5
6	дополненный четвертый	A4			тритон (τρίτονον) (729: 512)
7	идеальный пятый	P5	диапенте (διαπέντε)		гемиолион (ημιόλιον), полуторный (3:2)
12	(идеально) октава	P8	диапазон (διαπασών)		дуплекс (2: 1)

История и использование

Из-за волчий интервал при использовании 12-тональной пифагорейской темперации этот строй сегодня используется редко, хотя считается, что он получил широкое распространение. В музыке, которая не меняется ключ очень часто, или что не очень гармонично авантюрный, волчий интервал вряд ли станет проблемой, так как в таких произведениях будут слышны не все возможные квинты. В расширенной пифагорейской настройке нет волчьего интервала, все идеальные квинты равны точно 3: 2.

Поскольку большинство квинт в 12-тональной пифагорейской темперации находятся в простом соотношении 3: 2, они звучат очень «гладко» и созвучно. Третьи, напротив, большинство из которых находятся в относительно сложных соотношениях 81:64 (для основных терций) и 32:27 (для второстепенных), звучат менее гладко в зависимости от инструмента.^[8]

Примерно с 1510 года, когда трети стали рассматриваться как созвучия, имел в виду один темперамент, и особенно четверть запятой означает один, который настраивает трети на относительно простое соотношение 5:4, стала самой популярной системой для настройки клавиатур. В то же время синтонно-диатонический просто интонация был положен первым Рамос а затем Зарлино как нормальный строй для певцов.

Тем не менее, Meanone представил свои собственные гармонические проблемы. Его волчьи интервалы оказались даже хуже, чем у пифагорейской настройки (настолько, что часто требовалось 19 ключей к октаве, в отличие от 12 в пифагорейской настройке). Как следствие, meanone подходил не для всей музыки. Примерно с 18-го века, когда росло желание инструментов для изменения тональности и, следовательно, во избежание волчьего интервала, это привело к широкому использованию хорошие темпераменты и в конце концов равный темперамент.

Пифагорейский темперамент все еще можно услышать в некоторых частях современной классической музыки у певцов и инструментов без фиксированной настройки, таких как скрипичная семья. Если у исполнителя есть несопровождаемый пассаж, основанный на гаммах, он будет склонен использовать пифагорейскую интонацию, так как это сделает звукоряд лучше всего гармоничным, а затем вернется к другим темпераментам для других пассажей (просто интонация для аккордовых или арпеджированных фигур и равная темперация, когда в сопровождении фортепиано или оркестра). Это можно увидеть в первом такте Сонаты No 1 Баха для скрипки без аккомпанемента, где си-бемоль вступительного аккорда исполняется естественным образом в одной интонации и звучит более ровно, чем последующий си-бемоль, который появляется в нисходящей гамме и естественно пифагорейский. Такие изменения никогда явно не записываются и практически не заметны для публики, просто звучат «гармонично».

Дискография

Брагод дуэт, дающий исторически обоснованные исполнения средневековой валлийской музыки с использованием crwth и шестиструнный лира с использованием пифагорейской настройки
Готические голоса – Музыка для Короля Львиное Сердце (Hyperion, CDA66336, 1989), режиссер Кристофер Пейдж (Пиявка-Уилкинсон)
Лу Харрисон в исполнении Джон Шнайдер и ансамбль ударных инструментов Cal Arts под управлением Джон Бергамо - Гитара и перкуссия (Etceter Records, KTC1071, 1990): Люкс № 1 для гитары и ударных и Равнина и вариации на "Песню о Палестине"

Смотрите также

53 ровный темперамент, почти пифагорейский строй
Энгармоническая шкала
Список подразумеваемых интервалов
Список музыкальных интервалов
Список интервалов высоты тона
Обычный темперамент
Shí-èr-lǜ
Музыкальный темперамент
Тимей (диалог), в которой Платон обсуждает пифагорейскую настройку
Целостная шкала

использованная литература

Цитаты

^ ^а ^б Милн, Эндрю; Сетхарес, W.A.; Пламондон, Дж. (Декабрь 2007 г.). "Инвариантные аппликатуры в континууме настройки". Компьютерный музыкальный журнал. 31 (4): 15–32. Дои:10.1162 / comj.2007.31.4.15. Получено 2013-07-11.
^ ^а ^б Брюс Бенвард и Мэрилин Надин Сакер (2003). Музыка: в теории и на практике, издание седьмое, 2 тт. (Бостон: Макгроу-Хилл). Vol. Я: п. 56. ISBN 978-0-07-294262-0.
^ Кеннет Сильван Гатри, Дэвид Р. Фиделер (1987). Пифагорейский справочник и библиотека: антология древних писаний, относящихся к Пифагору и пифагорейской философии, стр.24. Красное колесо / Вайзер. ISBN 9780933999510.
^ Сетхарес, Уильям А. (2005). Настройка, тембр, спектр, масштаб, с.163. ISBN 1-85233-797-4.
^ Фрейзер, Питер А. (апрель 2001 г.). «Развитие музыкальных систем настройки» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2006-05-06. Получено 2014-02-02.
^ Азиатское общество Японии (1879 г.). Труды Азиатского общества Японии, Том 7, п. 82. Азиатское общество Японии.
^ ^а ^б ^c Интервалы Вольфа в данном документе функционально определены как интервалы, состоящие из 3, 4, 5, 7, 8 или 9 полутонов (т.е. мажорные и второстепенные трети или шестые доли, полные четверти или квинты, а также их энгармонические эквиваленты ) размер которых отклоняется более чем на один синтоническая запятая (около 21,5 цента) из соответствующего правильно интонированного интервала. Интервалы, состоящие из 1, 2, 6, 10 или 11 полутонов (например, мажорные и минорные секунды или седьмые, тритоны и их энгармонический эквиваленты) считаются диссонирующий даже если они правильно настроены, они не помечаются как «волчьи» интервалы, даже если они отклоняются от интонации более чем на одну синтоническую запятую.
^ Однако 3/2⁸ описывается как «почти ровно большая треть». Сетхарес (2005), стр. 60.

использованная литература

Дэниел Лич-Уилкинсон (1997), «Хорошее, плохое и скучное», Компаньон средневековой музыки и музыки эпохи Возрождения. Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-816540-4.

внешние ссылки

"Пифагорейский строй диатонической гаммы", со звуковыми образцами.
«Пифагорейская настройка и средневековая полифония», Марго Шультер.
Создание пифагорейской настройки в электронной таблице, видео с аудио-образцами.

[Milne2007-1] а ^б Милн, Эндрю; Сетхарес, W.A.; Пламондон, Дж. (Декабрь 2007 г.). "Инвариантные аппликатуры в континууме настройки". Компьютерный музыкальный журнал. 31 (4): 15–32. Дои:10.1162 / comj.2007.31.4.15. Получено 2013-07-11.

[B&S-2] а ^б Брюс Бенвард и Мэрилин Надин Сакер (2003). Музыка: в теории и на практике, издание седьмое, 2 тт. (Бостон: Макгроу-Хилл). Vol. Я: п. 56. ISBN 978-0-07-294262-0.

[3] Кеннет Сильван Гатри, Дэвид Р. Фиделер (1987). Пифагорейский справочник и библиотека: антология древних писаний, относящихся к Пифагору и пифагорейской философии, стр.24. Красное колесо / Вайзер. ISBN 9780933999510.

[4] Сетхарес, Уильям А. (2005). Настройка, тембр, спектр, масштаб, с.163. ISBN 1-85233-797-4.

[5] Фрейзер, Питер А. (апрель 2001 г.). «Развитие музыкальных систем настройки» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2006-05-06. Получено 2014-02-02.

[6] Азиатское общество Японии (1879 г.). Труды Азиатского общества Японии, Том 7, п. 82. Азиатское общество Японии.

[Wolf-7] а ^б ^c Интервалы Вольфа в данном документе функционально определены как интервалы, состоящие из 3, 4, 5, 7, 8 или 9 полутонов (т.е. мажорные и второстепенные трети или шестые доли, полные четверти или квинты, а также их энгармонические эквиваленты ) размер которых отклоняется более чем на один синтоническая запятая (около 21,5 цента) из соответствующего правильно интонированного интервала. Интервалы, состоящие из 1, 2, 6, 10 или 11 полутонов (например, мажорные и минорные секунды или седьмые, тритоны и их энгармонический эквиваленты) считаются диссонирующий даже если они правильно настроены, они не помечаются как «волчьи» интервалы, даже если они отклоняются от интонации более чем на одну синтоническую запятую.

[8] Однако 3/2⁸ описывается как «почти ровно большая треть». Сетхарес (2005), стр. 60.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]