Симметрии пространства-времени - Spacetime symmetries

Симметрии пространства-времени особенности пространство-время это можно описать как проявление некоторой формы симметрия. Роль симметрия в физике важен для упрощения решения многих проблем. Симметрии пространства-времени используются при изучении точные решения из Полевые уравнения Эйнштейна из общая теория относительности. Симметрии пространства-времени отличаются от внутренние симметрии.

Физическая мотивация

Физические проблемы часто исследуются и решаются путем наблюдения за особенностями, имеющими некоторую форму симметрии. Например, в Решение Шварцшильда, роль сферическая симметрия важно в получение решения Шварцшильда и вывод физических последствий этой симметрии (таких как отсутствие гравитационного излучения в сферически пульсирующей звезде). В космологических задачах симметрия играет роль в космологический принцип, что ограничивает типы вселенных, которые согласуются с крупномасштабными наблюдениями (например, Метрика Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера (FLRW) ). Симметрии обычно требуют некоторой формы сохранения свойства, наиболее важные из которых в общей теории относительности включают следующее:

сохраняя геодезические пространства-времени
сохраняя метрический тензор
сохраняя тензор кривизны

Эти и другие симметрии будут рассмотрены ниже более подробно. Это свойство сохранения, которым обычно обладают симметрии (упомянутое выше), может быть использовано для обоснования полезного определения самих этих симметрий.

Математическое определение

Строгое определение симметрий в общей теории относительности было дано Холлом (2004). В этом подходе идея состоит в том, чтобы использовать (гладкий) векторные поля чья диффеоморфизмы локальных потоков сохранить некоторую собственность пространство-время. (Обратите внимание, что в своем мышлении следует подчеркнуть, что это диффеоморфизм - преобразование на дифференциал элемент. Подразумевается, что поведение объектов с протяженностью может быть не столь явно симметричным.) Это сохраняющее свойство диффеоморфизмов уточняется следующим образом. Гладкое векторное поле $Икс$ в пространстве-времени $M$ говорят сохранить гладкий тензор $Т$ на $M$ (или $Т$ является инвариантный под $Икс$ ), если для каждого гладкого локального диффеоморфизма потока $ϕ т$ связан с $Икс$ , тензоры $Т$ и $ϕ * т (Т)$ равны в области $ϕ т$ . Это утверждение эквивалентно более удобному условию, что Производная Ли из тензор под векторным полем обращается в нуль:

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} T = 0}

на $M$ . Отсюда следует, что при любых двух точках $п$ и $q$ на $M$ , координаты $Т$ в системе координат вокруг $п$ равны координатам $Т$ в системе координат вокруг $q$ . А симметрия в пространстве-времени является гладким векторным полем, диффеоморфизмы локальных потоков которого сохраняют некоторую (обычно геометрическую) особенность пространства-времени. (Геометрическая) характеристика может относиться к определенным тензорам (таким как метрика или тензор энергии-импульса) или к другим аспектам пространства-времени, таким как его геодезическая структура. Векторные поля иногда называют коллинеации, векторные поля симметрии или просто симметрии. Множество всех векторных полей симметрии на $M$ образует Алгебра Ли под Кронштейн лжи операция как видно из тож:

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {[X, Y]} T = { mathcal {L}} _ {X} ({ mathcal {L}} _ {Y} T) - { mathcal { L}} _ {Y} ({ mathcal {L}} _ {X} T)}

термин справа обычно пишется с злоупотребление обозначениями, так как

{ displaystyle [{ mathcal {L}} _ {X}, { mathcal {L}} _ {Y}] T.}

Убивающая симметрия

Векторное поле Киллинга является одним из наиболее важных типов симметрий и определяется как гладкое векторное поле что сохраняет метрический тензор:

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} g_ {ab} = 0}

Обычно это записывается в развернутом виде как:

{ Displaystyle X_ {a; b} + X_ {b; a} , = 0}

Векторные поля-убийцы находят широкое применение (в том числе в классическая механика ) и связаны с законы сохранения.

Гомотетическая симметрия

Гомотетическое векторное поле - это такое поле, которое удовлетворяет:

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} g_ {ab} = 2cg_ {ab}}

где $c$ это реальная константа. Гомотетические векторные поля находят применение при изучении особенности в общей теории относительности.

Аффинная симметрия

Аффинное векторное поле - это такое поле, которое удовлетворяет:

{ displaystyle ({ mathcal {L}} _ {X} g_ {ab}) _ {; c} = 0}

Аффинное векторное поле сохраняет геодезические и сохраняет аффинный параметр.

Вышеупомянутые три типа векторных полей являются частными случаями проективные векторные поля которые сохраняют геодезические, не обязательно сохраняя аффинный параметр.

Конформная симметрия

Конформное векторное поле - это такое поле, которое удовлетворяет:

{ Displaystyle { mathcal {L}} _ {X} g_ {ab} = phi g_ {ab}}

где $ϕ$ - гладкая вещественнозначная функция на $M$ .

Симметрия кривизны

Коллинеация кривизны - это векторное поле, сохраняющее Тензор Римана:

{ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} {R ^ {a}} _ {bcd} = 0}

где $р а bcd$ компоненты тензора Римана. В набор из всех гладкий; плавный коллинеации кривизны образуют Алгебра Ли под Кронштейн лжи операция (если условие гладкости отброшено, множество всех коллинеаций кривизны не обязательно должно образовывать алгебру Ли). Алгебра Ли обозначается через $CC (M)$ и возможно бесконечный -размерный. Каждое аффинное векторное поле является коллинеацией кривизны.

Симметрия материи

Менее известная форма симметрии касается векторных полей, сохраняющих тензор энергии-импульса. Они по-разному называются коллинеациями материи или симметриями материи и определяются:

{ Displaystyle { mathcal {L}} _ {X} T_ {ab} = 0}

где $Т ab$ компоненты тензора энергии-импульса. Здесь можно выделить тесную связь между геометрией и физикой, поскольку векторное поле $Икс$ рассматривается как сохранение определенных физических величин вдоль линий потока $Икс$ , это верно для любых двух наблюдателей. В связи с этим можно показать, что каждое векторное поле Киллинга представляет собой коллинеацию материи (уравнениями поля Эйнштейна, с или без космологическая постоянная ). Таким образом, учитывая решение EFE, векторное поле, сохраняющее метрику, обязательно сохраняет соответствующий тензор энергии-импульса. Когда тензор энергии-импульса представляет собой идеальную жидкость, каждое векторное поле Киллинга сохраняет плотность энергии, давление и векторное поле потока жидкости. Когда тензор энергии-импульса представляет собой электромагнитное поле, векторное поле Киллинга не обязательно сохранить электрические и магнитные поля.

Локальные и глобальные симметрии

Приложения

Как упоминалось в начале этой статьи, основное применение этих симметрий происходит в общей теории относительности, где решения уравнений Эйнштейна могут быть классифицированы путем наложения некоторых определенных симметрий на пространство-время.

Классификация пространства-времени

Классификация решений EFE составляет значительную часть исследований общей теории относительности. Различные подходы к классификации пространства-времени, в том числе с использованием Классификация Сегре тензора энергии-импульса или Классификация Петрова из Тензор Вейля были широко изучены многими исследователями, в первую очередь Стефани и другие. (2003). Они также классифицируют пространство-время, используя векторные поля симметрии (особенно симметрии Киллинга и гомотетические симметрии). Например, векторные поля Киллинга могут использоваться для классификации пространства-времени, поскольку существует ограничение на количество глобальных гладких векторных полей Киллинга, которыми может обладать пространство-время (максимум 10 для четырехмерного пространства-времени). Вообще говоря, чем выше размерность алгебры векторных полей симметрии в пространстве-времени, тем большую симметрию допускает пространство-время. Например, решение Шварцшильда имеет алгебру Киллинга размерности 4 (три пространственных векторных поля вращения и сдвиг во времени), тогда как Метрика Фридмана-Лемэтра-Робертсона-Уокера (FLRW) (за исключением Статика Эйнштейна подслучай) имеет алгебру Киллинга размерности 6 (три переноса и три поворота). Статическая метрика Эйнштейна имеет алгебру Киллинга размерности 7 (предыдущие 6 плюс перевод времени).

Предположение о пространстве-времени, допускающем определенное векторное поле симметрии, может накладывать ограничения на пространство-время.

Список симметричных пространств-времен

У следующих пространств времени есть свои отдельные статьи в Википедии:

Смотрите также

использованная литература

Холл, Грэм (2004). Симметрии и структура кривизны в общей теории относительности (Всемирные научные лекции по физике). Сингапур: World Scientific. ISBN 981-02-1051-5.. Увидеть Раздел 10.1 для определения симметрии.
Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; Маккаллум, Малькольм; Хенселаерс, Корнелиус; Герлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна.. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46136-7.
Шютц, Бернард (1980). Геометрические методы математической физики. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-29887-3.. Увидеть Глава 3 для свойств производной Ли и Раздел 3.10 для определения инвариантности.