Упорядоченная геометрия - Ordered geometry

Упорядоченная геометрия это форма геометрия с концепцией промежуточности (или «промежуточности»), но, как и проективная геометрия, опуская основное понятие измерения. Упорядоченная геометрия - это фундаментальная геометрия, образующая общую основу для аффинный, Евклидово, абсолютный, и гиперболическая геометрия (но не для проективной геометрии).

История

Мориц Паш впервые определил геометрию без ссылки на измерения в 1882 году. Его аксиомы были улучшены Пеано (1889), Гильберта (1899), и Веблен (1904).[1]:176 Евклид предполагал подход Паша в определении 4 Элементы: «прямая линия - это линия, которая равномерно лежит на самой себе с точками».[2]

Примитивные концепции

Единственный примитивные представления в упорядоченной геометрии точки А, B, C, ... и тернарное отношение промежуточности [ABC], который можно читать как "B между А и C".

Определения

В сегмент AB это набор очков п так что [APB].

В интервал AB это сегмент AB и его конечные точки А и B.

В луч А/B (читается как "луч от А далеко от B") - это множество точек п так что [PAB].

В линия AB это интервал AB и два луча А/B и B/А. Очки на линии AB как говорят коллинеарен.

An угол состоит из точки О (в вершина) и два неколлинеарных луча выходят из О (в стороны).

А треугольник задается тремя неколлинеарными точками (называемыми вершины) и их три сегменты AB, до н.э, и CA.

Если три очка А, B, и C неколлинеарны, то a самолет ABC - это множество всех точек, коллинеарных парам точек на одной или двух сторонах треугольника ABC.

Если четыре балла А, B, C, и D не компланарны, то a Космос (3-х местный ) ABCD - это множество всех точек, коллинеарных парам точек, выбранных из любой из четырех лица (плоские области) тетраэдр ABCD.

Аксиомы упорядоченной геометрии

  1. Есть как минимум две точки.
  2. Если А и B различные точки, существует C такой, что [ABC].
  3. Если [ABC], тогда А и C различны (А ≠ C).
  4. Если [ABC], тогда [CBA] но нет [ТАКСИ].
  5. Если C и D отдельные точки на линии AB, тогда А на линии CD.
  6. Если AB это линия, есть точка C не на линии AB.
  7. (Аксиома Паши ) Если ABC является треугольником и [BCD] и [CEA], то существует точка F на линии DE для которого [AFB].
  8. Аксиома размерность:
    1. Для плоской упорядоченной геометрии все точки находятся в одной плоскости. Или же
    2. Если ABC является плоскостью, то существует точка D не в самолете ABC.
  9. Все точки находятся в одной плоскости, пространстве и т. Д. (В зависимости от измерения, в котором выбирается работа).
  10. (Аксиома Дедекинда) Для каждого разбиения всех точек на прямой на два непустых множества, таких, что ни одна из точек не лежит между двумя точками другого, существует точка одного множества, которая лежит между любой другой точкой этого множества и каждым точка другого набора.

Эти аксиомы тесно связаны с Аксиомы порядка Гильберта. Полный обзор аксиоматизаций упорядоченной геометрии см.[3]

Полученные результаты

Проблема Сильвестра о коллинеарных точках

В Теорема Сильвестра – Галлаи может быть доказано в рамках заказанной геометрии.[4][1]:181,2

Параллелизм

Гаусс, Бойяи, и Лобачевский разработал понятие параллелизм что может быть выражено в упорядоченной геометрии.[1]:189,90

Теорема (существование параллелизма): Учитывая точку А и линия рне через А, существует ровно два предельных луча из А в плоскости Ar которые не встречаются р. Итак, есть параллельно Линия, проходящая через А который не соответствует р.

Теорема (передаваемость параллелизма): Параллелизм луча и линии сохраняется за счет добавления или вычитания отрезка от начала луча.

В транзитивность параллелизма нельзя доказать в упорядоченной геометрии.[5] Следовательно, «упорядоченная» концепция параллелизма не формирует отношение эквивалентности на линиях.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c Кокстер, H.S.M. (1969). Введение в геометрию (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-18283-4. Zbl  0181.48101.
  2. ^ Хит, Томас (1956) [1925]. Тринадцать книг стихий Евклида (Том 1). Нью-Йорк: Dover Publications. стр.165. ISBN  0-486-60088-2.
  3. ^ Памбуччиан, Виктор (2011). «Аксиоматика упорядоченной геометрии: I. Упорядоченные пространства инцидентности». Expositiones Mathematicae. 29: 24–66. Дои:10.1016 / j.exmath.2010.09.004.
  4. ^ Памбуччиан, Виктор (2009). «Обратный анализ теоремы Сильвестра – Галлаи». Журнал формальной логики Нотр-Дам. 50: 245–260. Дои:10.1215/00294527-2009-010. Zbl  1202.03023.
  5. ^ Буземанн, Герберт (1955). Геометрия геодезических. Чистая и прикладная математика. 6. Нью-Йорк: Академическая пресса. п. 139. ISBN  0-12-148350-9. Zbl  0112.37002.