Теорема Брука – Райзера – Чоула. - Bruck–Ryser–Chowla theorem

В Bruck –Райзер –Чоула теорема это результат на комбинаторика из блочные конструкции это подразумевает отсутствие определенных видов дизайна. В нем говорится, что если a (v, б, р, k, λ) -конструкция существует с v = b (а симметричная блочная конструкция ), тогда:

  • если v четно, тогда k - λ - квадрат;
  • если v нечетно, то следующие Диофантово уравнение имеет нетривиальное решение:
    Икс2 − (k - λ)у2 − (−1)(v − 1) / 2 λ z2 = 0.

Теорема была доказана в случае проективных плоскостей в (Брук и Райзер 1949 ). Он был расширен до симметричных схем в (Райзер и Чоула 1950 ).

Проективные плоскости

В частном случае симметричной конструкции с λ = 1, т.е. проективная плоскость, теорема (которая в данном случае называется Теорема Брука – Райзера.) можно сформулировать следующим образом: если конечная проективная плоскость порядка q существует и q конгруэнтно 1 или 2 (mod 4), то q должен быть суммой двух квадратов. Обратите внимание, что для проекционной плоскости расчетные параметры v = б = q2 + q + 1, р = k = q + 1, λ = 1. Таким образом, v в этом случае всегда нечетно.

Теорема, например, исключает существование проективных плоскостей порядков 6 и 14, но допускает существование плоскостей порядков 10 и 12. Поскольку проективная плоскость порядка 10 не существует с использованием комбинации теория кодирования и масштабный компьютерный поиск,[1] условия теоремы, очевидно, недостаточно для существования плана. Однако не известен более строгий общий критерий несуществования.

Связь с матрицами инцидентности

Существование симметричной (v, б, р, k, λ) -дизайн эквивалентен существованию v × v матрица инцидентности р с элементами 0 и 1, удовлетворяющими

р рТ = (k - λ)я + λJ

куда я это v × v единичная матрица и J это v × v матрица все-1. По сути, теорема Брука – Райзера – Чоула представляет собой формулировку необходимых условий существования рациональный v × v матрица р удовлетворяющий этому уравнению. Фактически, условия, сформулированные в теореме Брука – Райзера – Чоула, не только необходимы, но и достаточны для существования такой рациональной матрицы р. Их можно вывести из Теорема Хассе – Минковского о рациональной эквивалентности квадратичные формы.

Рекомендации

  1. ^ Браун, Малькольм В. (20 декабря 1988 г.). «Является ли математическое доказательство доказательством, если никто не может его проверить?». Нью-Йорк Таймс.

внешняя ссылка