Блочный дизайн - Block design

Эта статья про блочные конструкции с фиксированным размером блока (равномерным). Для блочных конструкций с переменными размерами блоков см. Комбинаторный дизайн. За экспериментальные образцы в статистика, видеть рандомизированный блочный дизайн.

В комбинаторный математика, а блочная конструкция является структура заболеваемости состоящий из набора вместе с семейство подмножеств известный как блоки, выбранный таким образом, чтобы частота элементов удовлетворяла определенным условиям, заставляющим набор блоков демонстрировать симметрия (баланс). У них есть приложения во многих областях, в том числе экспериментальная конструкция, конечная геометрия, физическая химия, тестирование программного обеспечения, криптография, и алгебраическая геометрия.

Без дополнительных уточнений термин блочная конструкция обычно относится к сбалансированная неполная блочная конструкция (BIBD), а именно (а также синонимы) a 2-дизайн, который исторически был наиболее изученным типом из-за его применения в дизайн экспериментов.^[1][2] Его обобщение известно как т-дизайн.

Обзор

Говорят, что дизайн сбалансированный (вплоть до т) я упал т-подмножества исходного набора встречаются в одинаковом количестве (т. е. λ) блоки. Когда т не указано, обычно предполагается, что оно равно 2, что означает, что каждый пара элементов находится в том же количестве блоков, и конструкция попарно сбалансированный. За т= 1, каждый элемент встречается в одинаковом количестве блоков ( номер репродукции, обозначенный р) и дизайн называется обычный. Любой дизайн, сбалансированный до т также сбалансирован во всех более низких значениях т (правда, с разными λ-значения), так, например, попарно сбалансированное (т= 2) дизайн тоже обычный (т= 1). Когда требование балансировки не выполняется, дизайн все еще может быть частично сбалансированный если т-подмножества можно разделить на п классы, каждый со своими (разными) λ-ценить. За т= 2 они известны как PBIBD (п) конструкции, классы которых образуют схема ассоциации.

Дизайн обычно считается (или предполагается) неполный, что означает, что ни один блок не содержит всех элементов набора, что исключает тривиальный дизайн.

Блочная конструкция, в которой все блоки имеют одинаковый размер (обычно обозначается k) называется униформа или же правильный. Все дизайны, обсуждаемые в этой статье, одинаковы. Также были изучены блочные конструкции, которые не обязательно являются однородными; за т= 2 они известны в литературе под общим названием попарно сбалансированные конструкции (PBD).

Блочные конструкции могут иметь повторяющиеся блоки, а могут и не иметь. Конструкции без повторяющихся блоков называются просто,^[3] в этом случае "семейство" блоков - это набор а не мультимножество.

В статистика, концепция блочной конструкции может быть расширена до небинарный блочные конструкции, в которых блоки могут содержать несколько копий элемента (см. блокировка (статистика) ). Там дизайн, в котором каждый элемент встречается одинаковое количество раз, называется равновеликий, что означает обычный дизайн только тогда, когда дизайн также является двоичным. В матрице инцидентности недвоичного плана указано, сколько раз каждый элемент повторяется в каждом блоке.

Регулярные унифицированные конструкции (конфигурации)

Самый простой вид «сбалансированной» конструкции (т= 1) называется тактическая конфигурация или же 1-дизайн. Соответствующие структура заболеваемости в геометрия известен просто как конфигурация, видеть Конфигурация (геометрия). Такой дизайн единообразен и регулярен: каждый блок содержит k элементов, и каждый элемент содержится в р блоки. Количество элементов набора v и количество блоков б связаны ${\displaystyle bk=vr}$, которое представляет собой общее количество вхождений элемента.

Каждый двоичная матрица с постоянными суммами по строкам и столбцам - матрица инцидентности регулярной однородной блочной конструкции. Кроме того, каждой конфигурации соответствует двурегулярный двудольный график известный как его заболеваемость или Граф Леви.

Попарно сбалансированные однородные конструкции (2-конструкции или BIBD)

Учитывая конечное множество Икс (элементов, называемых точки) и целые числа k, р, λ ≥ 1, определим 2-дизайн (или же BIBD, что означает сбалансированную неполную блочную конструкцию) B быть семьей k-элементные подмножества Икс, называется блоки, так что любой Икс в Икс содержится в р блоки, и любая пара различных точек Икс и у в Икс содержится в λ блоки.

Здесь v (количество элементов Икс, называемые точками), б (количество блоков), k, р, λ - параметры дизайна. (Чтобы избежать вырожденных примеров, также предполагается, что v > k, так что ни один блок не содержит всех элементов набора. Это значение слова «неполный» в названии этих дизайнов.) В таблице:

v	баллов, количество элементов Икс
б	количество блоков
р	количество блоков, содержащих данную точку
k	количество очков в блоке
λ	количество блоков, содержащих любые 2 (или более широко т) различные точки

Дизайн называется (v, k, λ) -дизайн или (v, б, р, k, λ)-дизайн. Не все параметры независимы; v, k, а λ определяют б и р, и не все комбинации v, k, и λ возможны. Два основных уравнения, связывающих эти параметры:

${\displaystyle bk=vr,}$

получается путем подсчета количества пар (B, п) куда B это блок и п точка в этом блоке, и

${\displaystyle \lambda (v-1)=r(k-1),}$

получается из подсчета троек (п, q, B) куда п и q разные точки и B блок, который содержит их обоих, и деление этого количества на v.

Этих условий недостаточно, например, не существует (43,7,1) -конструкции.^[4]

В порядок 2-дизайна определяется как п = р − λ. В дополнять 2-схемы получается заменой каждого блока его дополнением в точечном наборе Икс. Он также двухкомпонентный и имеет параметры v′ = v, б′ = б, р′ = б − р, k′ = v − k, λ′ = λ + б − 2р. 2-конструкция и ее дополнение имеют одинаковый порядок.

Основная теорема, Неравенство Фишера, названный в честь статистика Рональд Фишер, в том, что б ≥ v в любом 2-х исполнении.

Примеры

Уникальная (6,3,2) -конструкция (v = 6, k = 3, λ = 2) имеет 10 блоков (б = 10) и каждый элемент повторяется 5 раз (р = 5).^[5] Используя символы 0-5, блоки представляют собой следующие тройки:

012    013    024    035    045    125    134    145    234    235.

и соответствующие матрица инцидентности (а v×б двоичная матрица с постоянной суммой строк р и постоянная сумма столбца k) является:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&1&0&0&1&1\\0&1&0&1&0&0&1&0&1&1\\0&0&1&0&1&0&1&1&1&0\\0&0&0&1&1&1&0&1&0&1\\\end{pmatrix}}}$

Одна из четырех неизоморфных (8,4,3) -конструкций состоит из 14 блоков, каждый элемент которых повторяется 7 раз. Используя символы 0-7, блоки представляют собой следующие 4-кортежи:^[5]

0123    0124    0156    0257    0345    0367    0467    1267    1346    1357    1457    2347    2356    2456.

Уникальная (7,3,1) -конструкция симметрична и состоит из 7 блоков, каждый элемент которых повторяется 3 раза. Используя символы 0-6, блоки представляют собой следующие тройки:^[5]

013    026    045    124    156    235    346.

Этот дизайн ассоциируется с Самолет Фано, с элементами и блоками дизайна соответствующий к точкам и линиям плоскости. Соответствующая ему матрица инцидентности также может быть симметричной, если метки или блоки отсортированы правильно:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&1&1&0&0\\1&0&0&0&0&1&1\\0&1&0&1&0&1&0\\0&1&0&0&1&0&1\\0&0&1&1&0&0&1\\0&0&1&0&1&1&0\end{matrix}}\right)}$

Симметричные 2-схемы (SBIBD)

Случай равенства в неравенстве Фишера, то есть 2-план с равным количеством точек и блоков, называется симметричный дизайн.^[6] Симметричные планы имеют наименьшее количество блоков среди всех 2-дизайнов с одинаковым количеством точек.

В симметричном дизайне р = k держит, а также б = v, и, хотя это обычно неверно в произвольных 2-схемах, в симметричных схемах каждые два отдельных блока встречаются в λ точки.^[7] Теорема Райзер обеспечивает обратное. Если Икс это v-элементный набор, и B это v-элементный набор k-элементные подмножества («блоки»), такие, что любые два различных блока имеют ровно λ общих точек, то (X, B) представляет собой симметричную блочную конструкцию.^[8]

Параметры симметричной конструкции удовлетворяют

${\displaystyle \lambda (v-1)=k(k-1).}$

Это накладывает строгие ограничения на v, поэтому количество точек далеко не произвольное. В Теорема Брука – Райзера – Чоула. дает необходимые, но не достаточные условия для существования симметричной конструкции по этим параметрам.

Ниже приведены важные примеры симметричных 2-схем:

Проективные плоскости

Основная статья: Проективная плоскость

Конечные проективные плоскости симметричные 2-конструкции с λ = 1 и заказать п > 1. Для этих конструкций уравнение симметричного расчета выглядит следующим образом:

${\displaystyle v-1=k(k-1).}$

С k = р мы можем написать порядок проективной плоскости в качестве п = k - 1 и из приведенного выше уравнения получаем v = (п + 1)п  +  1 = п²  +  п +1 балл в проективной плоскости порядка п.

Поскольку проективная плоскость является симметричной конструкцией, мы имеем б = v, означающий, что б = п²  +  п +1 тоже. Номер б это количество линии проективной плоскости. Не может быть повторяющихся линий, так как λ = 1, поэтому проективная плоскость - это простой 2-дизайн, в котором количество линий и количество точек всегда одинаковы. Для проективной плоскости k - количество точек на каждой строке, равное п + 1. Аналогично, р = п + 1 - количество линий, с которыми инцидентна данная точка.

За п = 2, мы получаем проективную плоскость порядка 2, также называемую Самолет Фано, с v = 4 + 2 + 1 = 7 очков и 7 линий. В плоскости Фано каждая линия имеет п + 1 = 3 балла, и каждая точка принадлежит п + 1 = 3 строки.

Известно, что проективные плоскости существуют для всех порядков, которые являются простыми числами или степенями простых чисел. Они образуют единственное известное бесконечное семейство (относительно постоянного значения λ) симметричных блочных конструкций.^[9]

Бипланы

А биплан или же геометрия биплана симметричная 2-конструкция с λ = 2; то есть каждый набор из двух точек содержится в двух блоках («линиях»), а любые две прямые пересекаются в двух точках.^[9] Они похожи на конечные проективные плоскости, за исключением того, что вместо двух точек, определяющих одну линию (и двух прямых, определяющих одну точку), две точки определяют две прямые (соответственно, точки). Биплан порядка п тот, чьи блоки имеют k = п + 2 балла; она имеет v = 1 + (п + 2)(п + 1) / 2 балла (так как р = k).

18 известных примеров^[10] перечислены ниже.

• (Тривиально) Биплан порядка 0 имеет 2 точки (и линии размера 2; конструкция 2- (2,2,2)); это две точки с двумя блоками, каждый из которых состоит из обеих точек. Геометрически это Digon.
• Биплан 1-го порядка имеет 4 точки (и линии размера 3; конструкция 2- (4,3,2)); это полный дизайн с v = 4 и k = 3. Геометрически точки - это вершины, а блоки - грани тетраэдра.
• Биплан второго порядка является дополнением к Самолет Фано: он имеет 7 точек (и линии размера 4; a 2- (7,4,2)), где линии даны как дополняет (3-точечных) прямых на плоскости Фано.^[11]
• Биплан третьего порядка имеет 11 точек (и линии размера 5; a 2- (11,5,2)) и также известен как Биплан Пэли после Раймонд Пейли; это связано с Пэли диграф порядка 11, которое строится с помощью поля из 11 элементов, и является Адамар 2-дизайн связана с матрицей Адамара размером 12; видеть Конструкция Пэли I.

Алгебраически это соответствует исключительному вложению проективная специальная линейная группа PSL(2,5) дюйм PSL(2,11) - см. проективная линейная группа: действие на п точки для подробностей.^[12]

• Есть три биплана 4-го порядка (и 16 точек, линии 6-го размера; 2- (16,6,2)). Один из них Конфигурация Куммера. Эти три дизайна также Менон дизайн.
• Есть четыре биплана 7-го порядка (и 37 точек, линии размера 9; 2- (37,9,2)).^[13]
• Всего имеется пять бипланов 9-го порядка (и 56 точек, линии размера 11; 2- (56,11,2)).^[14]
• Известны два биплана порядка 11 (и 79 точек, линии размера 13; a 2- (79,13,2)).^[15]

Бипланов порядков 5, 6, 8 и 10 не существует, о чем свидетельствует Теорема Брука-Райзера-Чоула.

2-конструкции Адамара

An Матрица Адамара размера м является м × м матрица ЧАС элементы которого равны ± 1, что HH^⊤ = мя_м, куда ЧАС^⊤ это транспонирование ЧАС и я_м это м × м единичная матрица. Матрицу Адамара можно поместить в стандартизированная форма (то есть преобразованы в эквивалентную матрицу Адамара), где все элементы первой строки и первого столбца равны +1. Если размер м > 2 тогда м должно быть кратно 4.

Учитывая матрицу Адамара размера 4а в стандартизированной форме удалите первую строку и первый столбец и преобразуйте каждый −1 в 0. Полученная матрица 0–1 M это матрица инцидентности симметричного 2- (4а − 1, 2а − 1, а - 1) дизайн называется Адамар 2-дизайн.^[16] Это содержит ${\displaystyle 4a-1}$ блоки / точки; каждый содержит / содержится в ${\displaystyle 2a-1}$ точки / блоки. Каждая пара точек содержится ровно в ${\displaystyle a-1}$ блоки.

Эта конструкция обратима, и матрица инцидентности симметричной 2-схемы с этими параметрами может быть использована для формирования матрицы Адамара размера 4а.

Разрешаемые 2-конструкции

А разрешимая 2-конструкция представляет собой BIBD, блоки которого можно разделить на множества (называемые параллельные классы), каждая из которых образует разбиение точечного множества BIBD. Набор параллельных классов называется разрешающая способность дизайна.

Если 2- (v,k, λ) разрешимый план имеет c параллельные классы, то б  ≥ v + c − 1.^[17]

Следовательно, симметричный дизайн не может иметь нетривиального (более одного параллельного класса) разрешения.^[18]

Типичные разрешимые 2-планы - это конечные аффинные плоскости. Решение известного 15 проблема школьницы является разрешением схемы 2- (15,3,1).^[19]

Общие сбалансированные конструкции (т-конструкции)

Для любого положительного целого числа т, а т-дизайн B это класс k-элементные подмножества Икс, называется блоки, так что каждая точка Икс в Икс появляется точно в р блоков, и каждый т-элементное подмножество Т входит ровно в λ блоков. Цифры v (количество элементов Икс), б (количество блоков), k, р, λ и т являются параметры дизайна. Дизайн можно назвать т-(v,k, λ) -конструкция. Опять же, эти четыре числа определяют б и р и сами четыре числа не могут быть выбраны произвольно. Уравнения

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \left.{\binom {v-i}{t-i}}\right/{\binom {k-i}{t-i}}{\text{ for }}i=0,1,\ldots ,t,}$

куда λ_я - количество блоков, содержащих любые я-элементный набор точек и λ_т = λ.

Обратите внимание, что ${\displaystyle b=\lambda _{0}=\lambda {v \choose t}/{k \choose t}}$ и ${\displaystyle r=\lambda _{1}=\lambda {v-1 \choose t-1}/{k-1 \choose t-1}}$.

Теорема:^[20] Любой т-(v,k, λ) -конструкция также является s-(v,k, λ_s) -дизайн для любого s с 1 ≤s ≤ т. (Обратите внимание, что "лямбда-значение" изменяется, как указано выше, и зависит от s.)

Следствием этой теоремы является то, что каждое т-дизайн с т ≥ 2 также является 2-дизайном.

А т-(v,k, 1) -конструкция называется Система Штейнера.

Период, термин блочная конструкция само по себе обычно означает 2-х дизайн.

Производные и расширяемые t-конструкции

Позволять D = (Икс, B) бить-(v,k,λ) дизайн и п точка Икс. В производный дизайн D_п имеет набор точек Икс − {п} и как блок установить все блоки D которые содержат p с удаленным p. Это (т − 1)-(v − 1, k − 1, λ) дизайн. Обратите внимание, что производные планы относительно разных точек могут быть не изоморфными. Дизайн E называется расширение из D если E имеет точку p такую, что E_п изоморфен D; мы называем D расширяемый если у него есть расширение.

Теорема:^[21] Если т-(v,k,λ) дизайн имеет расширение, то k + 1 делит б(v + 1).

Единственный расширяемый проективные плоскости (симметричный 2- (п² + п + 1, п + 1, 1) рисунки) 2-го и 4-го порядков.^[22]

Каждый дизайн Адамара 2 может быть расширен (до 3-конструкция Адамара).^[23]

Теорема:.^[24]Если D, симметричный 2- (v,k, λ) конструкция, расширяема, то выполняется одно из следующих условий:

1. D это конструкция Адамара 2,
2. v = (λ + 2) (λ² + 4λ + 2), k = λ² + 3λ + 1,
3. v = 495, k = 39, λ = 3.

Обратите внимание, что проективная плоскость второго порядка - это 2-план Адамара; проективная плоскость четвертого порядка имеет параметры, которые попадают в случай 2; единственными известными симметричными 2-конструкциями с параметрами в случае 2 являются бипланы порядка 9, но ни одна из них не является расширяемой; Симметричная 2-конструкция с параметрами case 3 не известна.^[25]

Инверсивные самолеты

Конструкция с параметрами пристройки аффинная плоскость, т.е. a 3- (п² + 1, п + 1, 1) конструкция, называется конечной инверсионный самолет, или же Самолет Мебиуса, порядкап.

Можно дать геометрическое описание некоторых инверсионных плоскостей, да и всех известных инверсионных плоскостей. An яйцевидный в PG (3,q) представляет собой набор q² +1 балл, нет трех коллинеарных. Можно показать, что каждая плоскость (которая является гиперплоскостью, поскольку геометрическая размерность равна 3) PG (3,q) встречает яйцевидную О в 1 или q +1 балл. Плоские участки размером q + 1 из О блоки инверсивной плоскости порядкаq. Возникающий таким образом инверсионный план называется яичный. Все известные инверсионные плоскости похожи на яйца.

Примером овоида является эллиптическая квадрика, множество нулей квадратичной формы

Икс₁Икс₂ + ж(Икс₃, Икс₄),

где f неприводимая квадратичная форма от двух переменных над GF (q). [ж(Икс,у) = Икс² + ху + у² Например].

Если q является нечетной степенью двойки, известен другой тип овоида - Сузуки – синицы яйцевидной формы.

Теорема. Позволять q - натуральное число, не менее 2. (а) Если q нечетно, то любой овоид проективно эквивалентен эллиптической квадрике в проективной геометрии PG (3,q); так q - простая сила, и существует уникальный инверсивный план порядка, похожий на яйцо. q. (Но неизвестно, существуют ли яйца, не похожие на яйца.) (Б) если q четно, тогда q степень двойки и любой инверсной плоскости порядка q яйцеобразный (но могут быть и неизвестные овоиды).

Частично сбалансированные конструкции (PBIBD)

An п-учебный класс схема ассоциации состоит из набор Икс размера v вместе с раздел S из Икс × Икс в п + 1 бинарные отношения, Р₀, Р₁, ..., Р_п. Пара элементов в отношении R_я как говорят яth–соратники. Каждый элемент Икс имеет п_я  яго соратники. Более того:

• ${\displaystyle R_{0}=\{(x,x):x\in X\}}$ и называется Отношение идентичности.
• Определение ${\displaystyle R^{*}:=\{(x,y)|(y,x)\in R\}}$, если р в S, тогда Р* в S
• Если ${\displaystyle (x,y)\in R_{k}}$, количество ${\displaystyle z\in X}$ такой, что ${\displaystyle (x,z)\in R_{i}}$ и ${\displaystyle (z,y)\in R_{j}}$ это постоянная ${\displaystyle p_{ij}^{k}}$ в зависимости от я, j, k но не на конкретном выборе Икс и у.

Схема ассоциации коммутативный если ${\displaystyle p_{ij}^{k}=p_{ji}^{k}}$ для всех я, j и k. Большинство авторов предполагают это свойство.

А частично сбалансированная неполная блочная конструкция с п ассоциированные классы (PBIBD (п)) представляет собой блочную конструкцию на основе v-множество X с б блоки каждого размера k и каждый элемент появляется в р блоки, так что существует схема ассоциации с п классы, определенные на Икс где, если элементы Икс и у находятся яго соратников, 1 ≤ я ≤ п, то они вместе точно в λ_я блоки.

PBIBD (п) определяет схему ассоциации, но обратное неверно.^[26]

Пример

Позволять А(3) следующая схема ассоциации с тремя ассоциированными классами на множестве Икс = {1,2,3,4,5,6}. (я,j) запись s если элементы я и j находятся в отношении R_s.

	1	2	3	4	5	6
1	0	1	1	2	3	3
2	1	0	1	3	2	3
3	1	1	0	3	3	2
4	2	3	3	0	1	1
5	3	2	3	1	0	1
6	3	3	2	1	1	0

Блоки ПБИБД (3) на основе А(3) являются:

124	134	235	456
125	136	236	456

Параметры этого PBIBD (3): v  =  6, б  =  8, k  =  3, р = 4 и λ₁ = λ₂ = 2 и λ₃ = 1. Также для схемы ассоциации имеем п₀  =  п₂ = 1 и п₁  =  п₃  =  2.^[27] Матрица инцидентности M равна

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0&0\\1&1&0&0&1&1&0&0\\0&0&1&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&0&1&1\\0&1&0&0&1&0&1&1\\0&0&0&1&0&1&1&1\\\end{pmatrix}}}$

и матрица совпадений MM^Т является

${\displaystyle {\begin{pmatrix}4&2&2&2&1&1\\2&4&2&1&2&1\\2&2&4&1&1&2\\2&1&1&4&2&2\\1&2&1&2&4&2\\1&1&2&2&2&4\\\end{pmatrix}}}$

из которого мы можем восстановить λ и р значения.

Характеристики

Параметры PBIBD (м) удовлетворяют:^[28]

1. ${\displaystyle vr=bk}$
2. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}n_{i}=v-1}$
3. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}n_{i}\lambda _{i}=r(k-1)}$
4. ${\displaystyle \sum _{u=0}^{m}p_{ju}^{h}=n_{j}}$
5. ${\displaystyle n_{i}p_{jh}^{i}=n_{j}p_{ih}^{j}}$

PBIBD (1) - это BIBD и PBIBD (2), в которых λ₁ = λ₂ является BIBD.^[29]

Два ассоциированных класса PBIBD

PBIBD (2) изучены больше всего, поскольку они являются простейшими и наиболее полезными из PBIBD.^[30] Они делятся на шесть типов^[31] на основе классификации тогда известно PBIBD (2) s пользователя Бозе и Симамото (1952):^[32]

1. группа делимая;
2. треугольная;
3. Латинский квадрат;
4. циклический;
5. частичный тип геометрии;
6. Разное.

Приложения

Математическая тема блок-схем возникла в статистических рамках дизайн экспериментов. Эти конструкции были особенно полезны при применении техники дисперсионный анализ (ANOVA). Это остается важной областью использования блочных конструкций.

Хотя истоки этого предмета основаны на биологических приложениях (как и в некоторой существующей терминологии), конструкции используются во многих приложениях, где проводятся систематические сравнения, например, в тестирование программного обеспечения.

В матрица инцидентности блочных конструкций - естественный источник интересных блочные коды которые используются как коды исправления ошибок. Строки их матриц инцидентности также используются как символы в виде импульсно-позиционная модуляция.^[33]

Статистическое приложение

Предположим, что исследователи рака кожи хотят протестировать три разных солнцезащитных крема. Они наносят два разных солнцезащитных крема на верхнюю часть рук испытуемого. После УФ-излучения регистрируют раздражение кожи в виде солнечных ожогов. Количество процедур - 3 (солнцезащитные кремы), размер блока - 2 (руки на человека).

Соответствующий BIBD может быть сгенерирован р -функция design.bib из R-пакет Agricolae и указан в следующей таблице:

Сюжеты	Блокировать	Уход
101	1	3
102	1	2
201	2	1
202	2	3
301	3	2
302	3	1

Исследователь выбирает параметры v = 3, k = 2 и λ = 1 для блочного дизайна, которые затем вставляются в R-функцию. Впоследствии остальные параметры б и р определяются автоматически.

Используя основные соотношения, вычисляем, что нам нужно б = 3 блоков, то есть 3 тестовых человека, чтобы получить сбалансированный неполный блок-дизайн. Маркировка блоков А, B и C, чтобы не было путаницы, у нас есть блочная конструкция,

А = {2, 3},    B = {1, 3} и C = {1, 2}.

Соответствующий матрица инцидентности указано в следующей таблице:

Уход	Блок А	Блок Б	Блок C
1	0	1	1
2	1	0	1
3	1	1	0

Каждое лечение происходит в 2 блока, поэтому р = 2.

Всего один блок (C) содержит обработки 1 и 2 одновременно, и то же самое относится к парам обработок (1,3) и (2,3). Следовательно, λ = 1.

В этом примере невозможно использовать полный дизайн (все процедуры в каждом блоке), потому что нужно протестировать 3 солнцезащитных крема, но только 2 руки на каждого человека.

Смотрите также

• Геометрия падения
• Система Штейнера

Примечания

1. Колборн и Диниц 2007, стр.17-19
2. Стинсон 2003, стр.1
3. П. Добчаньи, Д.А. Прис. Л. Х. Сойчер (01.10.2007). «О сбалансированных неполно-блочных конструкциях с повторяющимися блоками». Европейский журнал комбинаторики. 28 (7): 1955–1970. Дои:10.1016 / j.ejc.2006.08.007. ISSN  0195-6698.
4. Доказано Тарри в 1900 году, который показал, что не существует пары ортогональных Латинские квадраты порядка шесть. 2-конструкция с указанными параметрами эквивалентна существованию пяти взаимно ортогональных латинских квадратов шестого порядка.
5. Colburn & Dinitz, п. 27 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFColburnDinitz (помощь)
6. Их также называют проекционные конструкции или же квадратные конструкции. Эти альтернативы использовались в попытке заменить термин «симметричный», поскольку в этих конструкциях нет ничего симметричного (в обычном значении этого термина). Использование проективный принадлежит П.Дембовскому (Конечная геометрия, Springer, 1968), по аналогии с наиболее распространенным примером проективных плоскостей, а квадрат принадлежит П. Кэмерону (Конструкции, графики, коды и их ссылки, Cambridge, 1991) и учитывает влияние v = b на матрицу инцидентности. Ни один из терминов не стал заменой, и эти конструкции до сих пор повсеместно называют симметричный.
7. Стинсон 2003, стр.23, теорема 2.2
8. Райзер 1963, стр. 102–104
9. Хьюз и Пайпер 1985, стр.109
10. Холл 1986, стр.320-335 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHall1986 (помощь)
11. Ассмус и Ки 1992, стр.55
12. Мартин, Пабло; Зингерман, Дэвид (17 апреля 2008 г.), От бипланов к квартике Клейна и бакиболлу (PDF), п. 4
13. Сальвах и Меззароба 1978
14. Каски и Эстергард, 2008 г. ошибка harvnb: нет цели: CITEREFKaskiÖstergård2008 (помощь)
15. Ашбахер 1971, стр. 279–281 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFAschbacher1971 (помощь)
16. Стинсон 2003, стр. 74, теорема 4.5
17. Хьюз и Пайпер 1985, стр. 156, теорема 5.4
18. Хьюз и Пайпер 1985, стр. 158, следствие 5.5
19. Бет, Юнгникель и Ленц 1986, стр. 40 Пример 5.8
20. Стинсон 2003, стр.203, следствие 9.6
21. Хьюз и Пайпер 1985, стр.29
22. Кэмерон и ван Линт 1991, стр. 11, предложение 1.34
23. Хьюз и Пайпер 1985, стр. 132, теорема 4.5
24. Кэмерон и ван Линт 1991, стр. 11, теорема 1.35
25. Колборн и Диниц 2007, стр. 114, Примечания 6.35
26. Улица и улица 1987, стр. 237
27. Улица и улица 1987, стр. 238
28. Улица и улица 1987, стр. 240, лемма 4
29. Колберн и Диниц 2007, стр. 562, замечание 42.3 (4) Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFColburnDinitz2007 (помощь)
30. Улица и улица 1987, стр. 242
31. Не математическая классификация, так как один из типов - это все "и все остальное".
32. Рагхаварао 1988, стр. 127 Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFRaghavarao1988 (помощь)
33. Ношад, Мохаммад; Брандт-Пирс, Майт (июль 2012 г.). «Расширенный PPM с использованием симметричных сбалансированных неполных блочных конструкций». Письма по коммуникациям IEEE. 16 (7): 968–971. arXiv:1203.5378. Bibcode:2012arXiv1203.5378N. Дои:10.1109 / LCOMM.2012.042512.120457.

Рекомендации

• Ашбахер, Майкл (1971). «О группах коллинеации симметричных блочных конструкций». Журнал комбинаторной теории, серия А. 11 (3): 272–281. Дои:10.1016/0097-3165(71)90054-9.

• Assmus, E.F .; Ки, J.D. (1992), Конструкции и их коды, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-41361-3
• Бет, Томас; Юнгникель, Дитер; Ленц, Ханфрид (1986), Теория дизайна, Кембридж: Издательство Кембриджского университета. 2-е изд. (1999) ISBN  978-0-521-44432-3.
• Р. К. Бозе, «Заметка о неравенстве Фишера для сбалансированных неполных блочных конструкций», Анналы математической статистики, 1949, страницы 619–620.
• Бозе, Р.; Симамото Т. (1952), "Классификация и анализ частично сбалансированных неполных блочных конструкций с двумя ассоциированными классами", Журнал Американской статистической ассоциации, 47 (258): 151–184, Дои:10.1080/01621459.1952.10501161
• Cameron, P.J .; ван Линт, Дж. Х. (1991), Конструкции, графики, коды и их ссылки, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-42385-6
• Колборн, Чарльз Дж .; Диниц, Джеффри Х. (2007), Справочник комбинаторных схем (2-е изд.), Бока-Ратон: Chapman & Hall / CRC, ISBN  978-1-58488-506-1
• Р. А. Фишер, "Исследование различных возможных решений проблемы в неполных блоках", Анналы евгеники, том 10, 1940, страницы 52–75.
• Холл-младший, Маршалл (1986), Комбинаторная теория (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley-Interscience, ISBN  0-471-09138-3
• Hughes, D.R .; Пайпер, E.C. (1985), Теория дизайна, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-25754-9
• Каски, Петтери и Эстергард, Патрик (2008). «Есть ровно пять бипланов с k = 11". Журнал комбинаторных дизайнов. 16 (2): 117–127. Дои:10.1002 / jcd.20145. МИСТЕР  2384014.

• Ландер, Э. С. (1983), Симметричные конструкции: алгебраический подход, Кембридж: Издательство Кембриджского университета
• Lindner, C.C .; Роджер, К.А. (1997), Теория дизайна, Бока-Ратон: CRC Press, ISBN  0-8493-3986-3
• Рагхаварао, Дамараджу (1988). Конструкции и комбинаторные задачи при планировании экспериментов. (исправленное переиздание изд. Wiley 1971 г.). Нью-Йорк: Дувр.

• Рагхаварао, Дамараджу И Пэджетт, Л. (2005). Блочные конструкции: анализ, комбинаторика и приложения. World Scientific.

• Райзер, Герберт Джон (1963), "Глава 8: Комбинаторные конструкции", Комбинаторная математика (Монография Каруса № 14), Математическая ассоциация Америки
• Salwach, Chester J .; Меззароба, Джозеф А. (1978). "Четыре биплана с k = 9". Журнал комбинаторной теории, серия А. 24 (2): 141–145. Дои:10.1016 / 0097-3165 (78) 90002-Х.

• С. С. Шриханде, и Васанти Н. Бхат-Наяк, Неизоморфные решения некоторых сбалансированных неполных блочных схем I - Журнал комбинаторной теории, 1970
• Стинсон, Дуглас Р. (2003), Комбинаторные конструкции: конструкции и анализ, Нью-Йорк: Springer, ISBN  0-387-95487-2
• Улица, Энн Пенфолд & Улица, Дебора Дж. (1987). Комбинаторика экспериментального дизайна. Оксфорд У. П. [Кларендон]. ISBN  0-19-853256-3.

• van Lint, J.H .; Уилсон, Р. (1992). Курс комбинаторики. Кембридж: Издательство Кембриджского университета.

внешняя ссылка

• DesignTheory.Org: Базы данных комбинаторных, статистических и экспериментальных блочных схем. Программное обеспечение и другие ресурсы, предоставляемые Школой математических наук колледжа Королевы Марии Лондонского университета.
• Ресурсы по теории дизайна: Питер Кэмерон страница ресурсов по теории веб-дизайна.
• Вайсштейн, Эрик В. «Блочные конструкции». MathWorld.