Шлефли двойная шестерка - Schläfli double six
В геометрии Шлефли двойная шестерка это конфигурация 30 пунктов и 12 строк, введенных Schläfli (1858, с.115). Строки конфигурации можно разделить на два подмножества по шесть строк: каждая строка не пересекается с (перекос с ) линии в своем собственном подмножестве из шести линий и пересекает все линии, кроме одной, в другом подмножестве из шести линий. Каждая из 12 линий конфигурации содержит пять точек пересечения, и каждая из этих 30 точек пересечения принадлежит ровно двум линиям, по одной из каждого подмножества, поэтому в обозначение конфигураций двойная шестерка Шлефли пишется 125302.
Строительство
Как показал Шлефли, двойная шестерка может быть построена из любых пяти линий. а1, а2, а3, а4, а5, которые все пересекаются общей линией б6, но в остальном находятся в общая позиция (в частности, каждые две строки ая и аj должно быть перекос, и нет четырех строк ая должен лежать на общем линейчатая поверхность ). Для каждой из пяти строк ая, в дополнительном наборе из четырех строк из пяти есть два квадрисканты: б6 и вторая линия бя. Пять строк б1, б2, б3, б4, и б5 образованные таким образом все в свою очередь пересекаются другой линией, а6. Двенадцать строк ая и бя образуют двойную шестерку: каждая линия ая имеет точку пересечения с пятью другими линиями, линии бj для которого я ≠ j, наоборот.
Альтернативная конструкция, показанная на иллюстрации, состоит в том, чтобы провести двенадцать линий через шесть центров граней куб, каждый в плоскости своей грани и все образует одинаковые углы по отношению к ребрам куба.
Связанные объекты
Общий кубическая поверхность содержит 27 строк, среди которых можно найти 36 конфигураций двойной шестерки Schläfli. Набор из 15 линий, дополнительных к двойной шестерке, вместе с 15 касательными плоскостями, проходящими через тройки этих линий, имеет диаграмму падения другой конфигурации, Конфигурация Кремона – Ричмонд.
В граф пересечений из двенадцати строк конфигурации двойной шестерки является двенадцативершинной граф короны, а двудольный граф в котором каждая вершина примыкает к пяти из шести вершин противоположного цвета. В Граф Леви двойной шестерки можно получить заменой каждого ребра графа короны двухреберным путем. Граф пересечений всего набора из 27 прямых на кубической поверхности является дополнением к Граф Шлефли.
Рекомендации
- Гильберт, Дэвид; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-1087-8
- Шлефли, Людвиг (1858 г.), Кэли, Артур (ред.), «Попытка определить двадцать семь линий на поверхности третьего порядка и вывести такие поверхности в виде видов со ссылкой на реальность линий на поверхности», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики, 2: 55–65, 110–120