Моделирование полиномиальных и рациональных функций - Polynomial and rational function modeling

В статистическое моделирование (особенно моделирование процессов ), полиномиальные и рациональные функции иногда используются в качестве эмпирических методов для подгонка кривой.

Полиномиальные функциональные модели

Основные статьи: полиномиальная интерполяция и полиномиальная регрессия

А полиномиальная функция тот, который имеет форму

${displaystyle y=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$

куда п неотрицательный целое число что определяет степень полинома. Многочлен степени 0 - это просто постоянная функция; со степенью 1 является линия; со степенью 2 является квадратичный; со степенью 3 является кубический, и так далее.

Исторически полиномиальные модели относятся к числу наиболее часто используемых эмпирических моделей для подгонка кривой.

Преимущества

Эти модели популярны по следующим причинам.

1. Полиномиальные модели имеют простой вид.
2. Полиномиальные модели обладают хорошо известными и понятными свойствами.
3. Полиномиальные модели обладают умеренной гибкостью форм.
4. Полиномиальные модели - замкнутое семейство. Изменения местоположения и шкала в исходных данных приводит к отображению полиномиальной модели на полиномиальную модель. То есть полиномиальные модели не зависят от лежащих в основе метрика.
5. Полиномиальные модели вычислительно просты в использовании.

Недостатки

Однако полиномиальные модели также имеют следующие ограничения.

1. Полиномиальные модели плохо интерполяционный характеристики. Многочлены высокой степени известны колебания между точными значениями.
2. Полиномиальные модели плохо экстраполяционный характеристики. Многочлены могут хорошо соответствовать диапазону данных, но они часто быстро ухудшаются за пределами диапазона данных.
3. Полиномиальные модели плохо асимптотический характеристики. По своей природе полиномы имеют конечный отклик на конечные Икс значения и имеют бесконечный ответ тогда и только тогда, когда Икс значение бесконечно. Таким образом, многочлены могут не очень хорошо моделировать асимптотические явления.
4. Хотя ни одна процедура не застрахована от предвзятость -отклонение компромисс, полиномиальные модели демонстрируют особенно плохой компромисс между формой и степенью. Чтобы моделировать данные со сложной структурой, степень модели должна быть высокой, что указывает на то, что соответствующее количество параметры быть по оценкам также будет высоким. Это может привести к очень нестабильным моделям.

Когда моделирование с помощью полиномиальных функций неадекватно из-за любого из вышеперечисленных ограничений, использование рациональных функций для моделирования может дать лучший результат.

Модели рациональных функций

А рациональная функция это просто отношение двух полиномиальных функций.

${displaystyle y={frac {a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+ldots +b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}}$

с п обозначающее неотрицательное целое число, которое определяет степень числителя и м обозначающее неотрицательное целое число, которое определяет степень знаменателя. Для подбора моделей рациональных функций постоянный член в знаменателе обычно устанавливается равным 1. Рациональные функции обычно идентифицируются степенями числителя и знаменателя. Например, квадратичный для числителя и кубический для знаменателя идентифицируется как квадратичная / кубическая рациональная функция. Модель рациональных функций является обобщением полиномиальной модели: модели рациональных функций содержат полиномиальные модели как подмножество (т.е. случай, когда знаменатель является постоянным).

Преимущества

Модели рациональных функций обладают следующими преимуществами:

1. Модели рациональных функций имеют довольно простую форму.
2. Модели рациональных функций - замкнутое семейство. Как и в случае с полиномиальными моделями, это означает, что модели рациональных функций не зависят от базовой метрики.
3. Модели рациональных функций могут принимать чрезвычайно широкий диапазон форм, вмещая гораздо более широкий диапазон форм, чем семейство полиномов.
4. Модели с рациональными функциями обладают лучшими интерполяционными свойствами, чем полиномиальные модели. Рациональные функции обычно более гладкие и менее колеблющиеся, чем полиномиальные модели.
5. Рациональные функции обладают прекрасной экстраполяционной способностью. Рациональные функции обычно могут быть адаптированы для моделирования функции не только в пределах области данных, но также в соответствии с теоретическим / асимптотическим поведением вне области интереса.
6. Модели рациональных функций обладают превосходными асимптотическими свойствами. Рациональные функции могут быть конечными или бесконечными для конечных значений, либо конечными или бесконечными для бесконечных значений. Икс значения. Таким образом, рациональные функции могут быть легко включены в модель рациональных функций.
7. Модели рациональных функций часто можно использовать для моделирования сложной конструкции с довольно низкой степенью как в числителе, так и в знаменателе. Это, в свою очередь, означает, что потребуется меньше коэффициентов по сравнению с полиномиальной моделью.
8. Модели рациональных функций относительно просты в вычислительной обработке. Хотя они нелинейные модели модели рациональных функций - это особенно простые нелинейные модели.
9. Одна из распространенных трудностей при подборе нелинейных моделей - поиск адекватных начальных значений. Основным преимуществом моделей рациональных функций является возможность вычисления начальных значений с использованием линейный метод наименьших квадратов поместиться. Сделать это, п точки выбираются из набора данных, с п обозначающий количество параметров в рациональной модели. Например, учитывая линейную / квадратичную модель

${displaystyle y={frac {A_{0}+A_{1}x}{1+B_{1}x+B_{2}x^{2}}},}$

необходимо выбрать четыре репрезентативные точки и выполнить линейную аппроксимацию модели.

${displaystyle y=A_{0}+A_{1}x-B_{1}xy-B_{2}x^{2}y,}$

которое получается из предыдущего уравнения путем очистки знаменателя. Здесь Икс и у содержат подмножество точек, а не полный набор данных. Оценочные коэффициенты из этого линейного соответствия используются в качестве начальных значений для согласования нелинейной модели с полным набором данных.

Этот тип соответствия, при котором переменная отклика появляется с обеих сторон функции, следует использовать только для получения начальных значений для нелинейного соответствия. Статистические свойства таких подгонок изучены недостаточно.

Подмножество точек следует выбирать из диапазона данных. Неважно, какие точки выбраны, хотя следует избегать явных выбросов.

Недостатки

У моделей с рациональными функциями есть следующие недостатки:

1. Свойства семейства рациональных функций не так хорошо известны инженерам и ученым, как свойства семейства полиномов. Литература по семейству рациональных функций также более ограничена. Поскольку свойства семейства часто плохо понимаются, может быть трудно ответить на следующий вопрос моделирования: Учитывая, что данные имеют определенную форму, какие значения следует выбрать для степени в числителе и степени в знаменателе?
2. Неограниченная рациональная подгонка функций может иногда приводить к нежелательной вертикальной асимптоты из-за корней в полиноме знаменателя. Диапазон Икс значения, на которые действует функция «раздутие», могут быть довольно узкими, но такие асимптоты, когда они возникают, являются помехой для локальной интерполяции в окрестности точки асимптоты. Эти асимптоты легко обнаружить, построив простой график подобранной функции по диапазону данных. Эти мешающие асимптоты возникают время от времени и непредсказуемо, но специалисты-практики утверждают, что выигрыш в гибкости форм вполне оправдывает возможность того, что они могут произойти, и что такие асимптоты не должны препятствовать выбору моделей рациональных функций для эмпирического моделирования.

Смотрите также

• Методология поверхности отклика

Библиография

• Аткинсон, А. и Донев, А. и Тобиас, Р. Д. (2007). Оптимальные экспериментальные проекты с SAS. Издательство Оксфордского университета. С. 511 + xvi. ISBN  978-0-19-929660-6.
• Бокс, Г. Э. П. и Дрейпер, Норман. 2007 г. Поверхности отклика, смеси и анализ гребней, Второе издание [из Построение эмпирических моделей и поверхности отклика, 1987], Wiley.
• Кифер, Джек Карл (1985). Л. Д. Браун; и другие. (ред.). Сборник статей III Планирование экспериментов. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-96004-3.
• Р. Х. Хардин и Н. Дж. А. Слоан, «Новый подход к построению оптимальных дизайнов», Журнал статистического планирования и вывода, т. 37, 1993, стр. 339-369.
• Р. Х. Хардин и Н. Дж. А. Слоан, "Компьютерные модели поверхности с минимальным (и большим) откликом: (I) Сфера"
• Р. Х. Хардин и Н. Дж. А. Слоан, "Компьютерные модели поверхности с минимальным (и большим) откликом: (II) Куб"
• Ghosh, S .; Рао, К., ред. (1996). Планирование и анализ экспериментов. Справочник по статистике. 13. Северная Голландия. ISBN  978-0-444-82061-7.
  • Дрейпер, Норман и Лин, Деннис К. Дж. "Дизайн поверхности отклика". С. 343–375. Отсутствует или пусто | название = (помощь)
  • Гаффке, Н. и Хейлигерс, Б. "Приблизительные проекты для Полиномиальная регрессия: Инвариантность, Допустимость, и Оптимальность ". С. 1149–1199. Отсутствует или пусто | название = (помощь)
• Мелас, Вячеслав Б. (2006). Функциональный подход к оптимальному экспериментальному дизайну. Конспект лекций по статистике. 184. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-98741-5. (Моделирование с рациональными функциями)

Исторический

• Жергонн, Дж. Д. (1815 г.). "Приложение де ла méthode des moindre qurés a l'interpolation des suites". Анналы чистой математики и аппликации. 6: 242–252.
• Жергонн, Дж. Д. (1974) [1815]. «Применение метода наименьших квадратов к интерполяции последовательностей». Historia Mathematica (Перевод Ральфа Сент-Джона и С. М. Стиглер из французского изд. 1815 г.). 1 (4): 439–447. Дои:10.1016/0315-0860(74)90034-2.
• Стиглер, Стивен М. (1974). «Статья Жергонна 1815 года о разработке и анализе экспериментов с полиномиальной регрессией». Historia Mathematica. 1 (4): 431–439. Дои:10.1016/0315-0860(74)90033-0.
• Смит, Кирстин (1918). «О стандартных отклонениях скорректированных и интерполированных значений наблюдаемой полиномиальной функции и ее констант и их указаниях по правильному выбору распределения наблюдений». Биометрика. 12 (1/2): 1–85. Дои:10.1093 / biomet / 12.1-2.1. JSTOR  2331929.

внешняя ссылка

• Модели рациональных функций

Эта статья включаетматериалы общественного достояния от Национальный институт стандартов и технологий интернет сайт https://www.nist.gov.