Дробный факторный план - Fractional factorial design

В статистика, дробные факторные планы находятся экспериментальные образцы состоящий из тщательно подобранного подмножества (фракции) экспериментальных прогонов полного факторный план.^[1] Подмножество выбрано таким образом, чтобы использовать принцип разреженности эффектов раскрыть информацию о наиболее важных особенностях изучаемой проблемы, используя при этом малую долю усилий от полного факторный план с точки зрения экспериментальных запусков и ресурсов. Другими словами, он использует тот факт, что многие эксперименты полностью факторный план часто избыточный, давая мало или совсем не давая новой информации о системе.

Обозначение

Дробные планы выражаются с помощью обозначений л^{k - p}, куда л количество уровней каждого исследуемого фактора, k количество исследованных факторов, и п описывает размер используемой части полного факториала. Формально, п это количество генераторы, назначения относительно того, какие эффекты или взаимодействия находятся сбит с толку, т.е., не могут быть оценены независимо друг от друга (см. ниже). Дизайн с п таких генераторов является 1 / (л^п)=л^-п доля полного факторного плана.

Например, 2^5 − 2 дизайн - это 1/4 двухуровневого пятифакторного факторного плана. Вместо 32 прогонов, которые потребовались бы для полных 2⁵ Факторный эксперимент, для этого эксперимента требуется всего восемь прогонов.

На практике редко можно встретить л > 2 уровня в дробных факторных планах, поскольку методология поверхности отклика это гораздо более экспериментально эффективный способ определения взаимосвязи между экспериментальным ответом и факторами на нескольких уровнях. Кроме того, методология создания таких дизайнов для более чем двух уровней намного более громоздка.

Уровни фактора обычно кодируются как +1 для более высокого уровня и -1 для более низкого уровня. Для трехуровневого фактора промежуточное значение кодируется как 0.

Для экономии места точки в двухуровневом факторном эксперименте часто сокращаются строками знаков плюс и минус. Строки содержат столько же символов, сколько и факторов, и их значения определяют уровень каждого фактора: обычно ${displaystyle -}$ для первого (или нижнего) уровня, и ${displaystyle +}$ для второго (или высокого) уровня. Таким образом, точки в этом эксперименте можно представить как ${displaystyle --}$, ${displaystyle +-}$, ${displaystyle -+}$, и ${displaystyle ++}$.

Факториальные точки также могут быть сокращены до (1), a, b и ab, где наличие буквы указывает, что указанный фактор находится на своем высоком (или втором) уровне, а отсутствие буквы указывает, что указанный коэффициент находится на низком (или первом) уровне (например, «а» указывает, что фактор A находится на высоком уровне, а все другие факторы имеют низкое (или первое) значение). (1) используется, чтобы указать, что все факторы имеют самые низкие (или первые) значения.

Поколение

На практике экспериментаторы обычно полагаются на статистические справочники, чтобы предоставить «стандартные» дробные факторные планы, состоящие из главная фракция. В главная фракция - это набор комбинаций процедур, для которых генераторы оценивают как + по алгебре комбинаций процедур. Однако в некоторых ситуациях экспериментаторы могут взять на себя создание собственного дробного дизайна.

Дробный факторный эксперимент создается из полного факторного эксперимента путем выбора структура псевдонима. Структура псевдонима определяет, какие эффекты смешиваются друг с другом. Например, пятифактор 2^5 − 2 может быть получен с помощью полного трехфакторного факторного эксперимента с участием трех факторов (скажем, А, B, и C), а затем смешав два оставшихся фактора D и E с взаимодействиями, созданными D = А*B и E = А*C. Эти два выражения называются генераторы дизайна. Так, например, когда эксперимент запущен и экспериментатор оценивает эффекты для фактора D, то, что на самом деле оценивается, является комбинацией основного эффекта D и двухфакторное взаимодействие с участием А и B.

Важной характеристикой дробного дизайна является определяющий связь, который дает набор столбцов взаимодействия, равных в матрице плана столбцу со знаком плюс, обозначенному я. В приведенном выше примере, поскольку D = AB и E = AC, тогда ABD и ТУЗ оба столбца со знаком плюс, и, следовательно, так BDCE. В этом случае определяющим соотношением дробного плана является я = ABD = ТУЗ = BCDE. Определяющее отношение позволяет определить шаблон псевдонима проекта.

Комбинации лечения для 2^5 − 2 дизайн

Комбинация лечения	я	А	B	C	D = AB	E = AC
де	+	−	−	−	+	+
а	+	+	−	−	−	−
быть	+	−	+	−	−	+
abd	+	+	+	−	+	−
CD	+	−	−	+	+	−
туз	+	+	−	+	−	+
до н.э	+	−	+	+	−	−
abcde	+	+	+	+	+	+

Разрешение

Важным свойством дробной конструкции является ее разрешающая способность или способность отделять друг от друга основные эффекты и взаимодействия низшего порядка. Формально разрешающая способность конструкции - это минимальная длина слова в определяющем отношении без учета (1). Наиболее важными дробными планами являются планы с разрешением III, IV и V: разрешения ниже III бесполезны, а разрешения выше V бесполезны, поскольку расширенное экспериментирование не приносит практической пользы в большинстве случаев - основная часть дополнительных усилий идет на оценка взаимодействий очень высокого порядка, которые редко встречаются на практике. 2^5 − 2 конструкция выше - это разрешение III, так как его определяющее соотношение - I = ABD = ACE = BCDE.

Разрешение	Способность	Пример
я	Бесполезно: эксперимент с одним запуском проверяет только один уровень фактора и, следовательно, не может даже различить высокий и низкий уровни этого фактора.	2^1 − 1 с определяющим соотношением I = A
II	Бесполезно: основные эффекты смешиваются с другими основными эффектами.	2^2 − 1 с определяющим соотношением I = AB
III	Оцените основные эффекты, но их можно спутать с двухфакторными взаимодействиями.	2^3 − 1 с определяющим соотношением I = ABC
IV	Оцените основные эффекты, не основанные на двухфакторных взаимодействиях. Оцените эффекты двухфакторного взаимодействия, но их можно спутать с другими двухфакторными взаимодействиями.	2^4 − 1 с определяющим соотношением I = ABCD
V	Оценить основные эффекты, не основанные на трех (или менее) взаимодействиях Оценить эффекты двухфакторного взаимодействия, не основанные на двухфакторных взаимодействиях. Оцените эффекты трехфакторного взаимодействия, но их можно спутать с другими двухфакторными взаимодействиями.	2^5 − 1 с определяющим соотношением I = ABCDE
VI	Оценить основные эффекты, не основанные на четырехфакторных (или менее) взаимодействиях Оценить эффекты двухфакторного взаимодействия, не основанные на трехфакторных (или менее) взаимодействиях. Оцените эффекты трехфакторного взаимодействия, но их можно спутать с другими трехфакторными взаимодействиями.	2^6 − 1 с определяющим соотношением I = ABCDEF

Описанное разрешение используется только для обычных дизайнов. Обычные проекты имеют размер пробега, равный степени двойки, и присутствует только полное наложение. Нестандартные конструкции - это конструкции, в которых размер серии кратен 4; в этих схемах присутствует частичное наложение спектров, а в качестве критерия проектирования используется обобщенное разрешение вместо разрешения, описанного ранее.

Пример дробного факторного эксперимента

Монтгомери ^[2] дает следующий пример дробного факторного эксперимента. Инженер провел эксперимент по увеличению скорости фильтрации (производительности) процесса по производству химического вещества и по уменьшению количества формальдегида, используемого в процессе. Полный факторный эксперимент описан на странице Википедии. Факторный эксперимент. Учитывались четыре фактора: температура (A), давление (B), концентрация формальдегида (C) и скорость перемешивания (D). Результаты этого примера заключались в том, что основные эффекты A, C и D, а также взаимодействия AC и AD были значительными. Результаты этого примера могут быть использованы для моделирования дробного факторного эксперимента с использованием половинной доли исходных 2⁴ = 16 прогонная конструкция. В таблице показаны 2^4-1 = 8 прогонов план эксперимента с половинной фракцией и результирующая скорость фильтрации, извлеченная из таблицы для полных 16 прогонов факторный эксперимент.

А	B	C	D	Скорость фильтрации
-1	-1	-1	-1	45
1	-1	-1	1	100
-1	1	-1	1	45
1	1	-1	-1	65
-1	-1	1	1	75
1	-1	1	-1	60
-1	1	1	-1	80
1	1	1	1	96

В этом дробном дизайне каждому главному эффекту соответствует трехфакторное взаимодействие (например, A = BCD), а каждому двухфакторному взаимодействию соответствует другое двухфакторное взаимодействие (например, AB = CD). Отношения псевдонимов показаны в таблице. Это дизайн с разрешением IV, что означает, что основные эффекты накладываются на 3-сторонние взаимодействия, а двусторонние взаимодействия накладываются на 2-сторонние взаимодействия.

Псевдонимы
A = BCD
B = ACD
C = ABD
D = ABC
AB = CD
AC = BD
BC = AD

Анализ дисперсии оценок эффектов показан в таблице ниже. Из таблицы видно, что эффекты A, C и D очень велики. Коэффициент взаимодействия AB довольно мал. Если взаимодействия AB и CD не имеют примерно равных, но противоположных эффектов, этими двумя взаимодействиями можно пренебречь. Если A, C и D имеют большие эффекты, но B мало влияет, то взаимодействия AC и AD, скорее всего, значительны. Эти выводы согласуются с результатами полнофакторного 16-серийного эксперимента.

Коэффициент	Оценивать	Структура псевдонима
А	19.0	A + BCD
B	1.5	B + ACD
C	14.0	C + ABD
D	16.5	D + ABC
А: Б	-1.0	AB + CD
А: С	-18.5	AC + BD
ОБЪЯВЛЕНИЕ	19.0	AD + BC

Поскольку B и его взаимодействия кажутся незначительными, B можно исключить из модели. Отбрасывание B приводит к полному факториалу 2³ дизайн для факторов A, C и D. Выполнение анова с использованием факторов A, C и D и условий взаимодействия A: C и A: D дает результаты, показанные в таблице, которые очень похожи на результаты для полного факторный эксперимент экспериментируйте, но имеют то преимущество, что требуется только половинная дробь 8, а не 16.

Коэффициент	Оценивать	Стд. Ошибка	значение t	P-значение
Перехватить	70.75	0.64	111	8.11E-05
А	9.5	0.64	14.9	0.00447
C	7	0.64	10.98	0.00819
D	8.25	0.64	12.94	0.00592
А: С	-9.25	0.64	-14.51	0.00471
ОБЪЯВЛЕНИЕ	9.5	0.64	14.9	0.00447

внешняя ссылка

• Полно-факторные и дробно-факторные эксперименты: часто задаваемые вопросы (Методический центр, Университет Пенсильвании)
• Дробные факторные планы (Национальный институт стандартов и технологий)

Смотрите также

• Надежный дизайн параметров

Рекомендации

1. Box, G.E .; Хантер, J.S .; Хантер, W.G. (2005). Статистика для экспериментаторов: дизайн, инновации и открытия, 2-е издание. Вайли. ISBN  0-471-71813-0.
2. Монтгомери, Дуглас К. (2013), Планирование и анализ экспериментов (8-е изд.), Wiley