Девятиконечный круг - Nine-point circle

Девять очков

Даже если ортоцентр и центр описанной окружности выпадают за пределы треугольника, конструкция все равно работает.

В геометрия, то круг из девяти точек это круг который может быть построен для любого заданного треугольник. Он назван так потому, что проходит через девять значительных конциклические точки определяется из треугольника. Эти девять точки находятся:

• В середина каждой стороны треугольника
• В ступня каждого высота
• Середина отрезок от каждого вершина треугольника к ортоцентр (где встречаются три высоты; эти отрезки лежат на своих высотах).^[1][2]

Круг из девяти точек также известен как Круг фейербаха, Круг Эйлера, Terquem's круг, то шеститочечный круг, то круг из двенадцати точек, то п-точный круг, то медиописанный круг, то средний круг или окружность-середина круга. Его центром является центр девяти точек треугольника.^[3][4]

Девять важных моментов

На диаграмме выше показаны девять основных точек девятиконечной окружности. Точки D, E, и F являются серединами трех сторон треугольника. Точки г, ЧАС, и я являются основаниями высот треугольника. Точки J, K, и L являются серединами отрезков линий между каждой высотой вершина пересечение (точки А, B, и C) и ортоцентр треугольника (точка S).

Для острый треугольник, шесть точек (середины и высота футов) лежат на самом треугольнике; для тупой треугольник у двух высот ступни находятся вне треугольника, но эти ступни по-прежнему принадлежат девятиточному кругу.

Открытие

Хотя ему приписывают его открытие, Карл Вильгельм Фейербах не полностью открыл круг с девятью точками, а скорее с шестиконечным кругом, признавая значение середин трех сторон треугольника и оснований высот этого треугольника. (См. Рис. 1, точки D, E, F, G, H, и I.) (Несколько раньше, Шарль Брианшон и Жан-Виктор Понселе сформулировал и доказал ту же теорему.) Но вскоре после Фейербаха математик Олри Теркем сам доказал существование круга. Он был первым, кто осознал дополнительную значимость трех средних точек между вершинами треугольника и ортоцентром. (См. Рис. 1, точки J, K, и L.) Таким образом, Terquem был первым, кто использовал название окружности из девяти точек.

Касательные круги

Окружность с девятью точками касается вписанной и вневписанной окружностей.

В 1822 году Карл Фейербах обнаружил, что окружность из девяти точек треугольника внешне касательная к трем треугольникам вне окружности и внутренне касающийся его окружать; этот результат известен как Теорема Фейербаха. Он доказал, что:

... окружность, проходящая через основание высот треугольника, касается всех четырех окружностей, которые, в свою очередь, касаются трех сторон треугольника ... (Фейербах 1822 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFFeuerbach1822 (Помогите)

В центр треугольника в котором вписанная окружность и окружность из девяти точек касаются, называется Точка Фейербаха.

Другие свойства девятиконечной окружности

• Радиус треугольника описанный круг в два раза больше радиуса девятиконечной окружности этого треугольника.^{[5]:стр.153}

Рисунок 3

• Окружность из девяти точек делит пополам отрезок прямой, идущий от ортоцентра соответствующего треугольника до любой точки на его описанной окружности.

Рисунок 4

• Центр N окружности из девяти точек делит пополам отрезок от ортоцентра ЧАС к центр окружности О (делая ортоцентр центром расширение в оба круга):^{[5]:стр.152}

НА = NH.

• Девятиточечный центр N четверть пути по Линия Эйлера от центроида г к ортоцентру ЧАС:^{[5]:стр.153}

HN = 3NG.

• Позволять ${\displaystyle \omega }$ окружность из девяти точек диагонального треугольника вписанного четырехугольника. Точка пересечения бимедианов вписанного четырехугольника принадлежит девятиточной окружности.^[6][7]

ABCD - вписанный четырехугольник. EFG диагональный треугольник ABCD. Смысл Т пересечения бимедианов ABCD принадлежит девятиточечному кругу EFG.

• Окружность из девяти точек контрольного треугольника - это описанная окружность обоих контрольных треугольников. средний треугольник (С вершинами в серединах сторон опорного треугольника) и его ортический треугольник (С вершинами ног высот эталонного треугольника).^{[5]:стр.153}
• В центре всего прямоугольные гиперболы проходящие через вершины треугольника, лежат на его окружности из девяти точек. Примеры включают хорошо известные прямоугольные гиперболы Кейперта, Jeřábek и Фейербах. Этот факт известен как коническая теорема Фейербаха.

Девятиточечная окружность и 16 касательных окружностей ортоцентрической системы

• Если ортоцентрическая система из четырех точек А, B, C и ЧАС задано, то четыре треугольника, образованные любой комбинацией трех различных точек этой системы, все разделяют один и тот же круг из девяти точек. Это следствие симметрии: стороны одного треугольника, смежного с вершиной, которая является ортоцентром другого треугольника, равны сегменты из этого второго треугольника. Третья середина лежит на их общей стороне. (Те же «средние точки», определяющие отдельные окружности из девяти точек, эти круги должны быть параллельны.)
• Следовательно, эти четыре треугольника имеют описанные окружности с одинаковыми радиусами. Позволять N представляют собой общий центр из девяти точек и п - произвольная точка на плоскости ортоцентрической системы. потом

NA²+NB²+NC²+NH² = 3R²

где р это общий по окружности; и если

PA²+PB²+ПК²+PH² = K²,

где K остается постоянным, то локус п это круг с центром в N с радиусом ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {K^{2}-3R^{2}}}}$. Так как п подходы N место п для соответствующей постоянной K, рушится на N центр девяти точек. Кроме того, круг из девяти точек - это геометрическое место п такой, что

PA²+PB²+ПК²+PH² = 4R².

• Центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника образуют ортоцентрическую систему. Окружность из девяти точек, созданная для этой ортоцентрической системы, является описанной окружностью исходного треугольника. Основания высот в ортоцентрической системе - это вершины исходного треугольника.
• Если четыре произвольных точки А, B, C, D даны, не образующие ортоцентрической системы, то девятиточечные окружности ABC, BCD, CDA и DAB согласны в точке. Каждая из оставшихся шести точек пересечения этих девятиконечных окружностей совпадает с серединами четырех треугольников. Примечательно, что существует уникальная девятиточечная коника с центром в центроиде этих четырех произвольных точек, которая проходит через все семь точек пересечения этих девятиточечных окружностей. Кроме того, в силу упомянутой выше теоремы Фейербаха о кониках существует единственный прямоугольный циркумконический с центром в общей точке пересечения четырех окружностей из девяти точек, которая проходит через четыре исходные произвольные точки, а также через ортоцентры четырех треугольников.
• Если четыре балла А, B, C, D даны, которые образуют циклический четырехугольник, то девятиконечные круги ABC, BCD, CDA и DAB согласиться с антицентр вписанного четырехугольника. Все окружности с девятью точками конгруэнтны с радиусом в два раза меньше радиуса описанной окружности циклического четырехугольника. Круги с девятью точками образуют набор из четырех Джонсон круги. Следовательно, четыре центра с девятью точками являются циклическими и лежат на окружности, конгруэнтной четырем окружностям с девятью точками, центр которых находится в антицентре вписанного четырехугольника. Кроме того, вписанный четырехугольник, образованный четырьмя центрами девяти стержней, является гомотетичный к опорной циклической четырехугольник ABCD в раз -¹/₂ и его гомотетический центр (N) лежит на линии, соединяющей центр описанной окружности (O) в антицентр (М) где

НА = 2 НМ.

• В ортополь прямых, проходящих через центр описанной окружности, лежат на окружности из девяти точек.
• Описанная окружность треугольника, его окружность из девяти точек, его окружность. полярный круг, и описанная окружность его тангенциальный треугольник^[8] находятся коаксиальный.^[9]
• Трилинейные координаты для центра Гипербола Киперта находятся

(б² - с²)²/а : (c² − а²)²/б : (а² − б²)²/c

• Трилинейные координаты центра гиперболы Ержабека равны

потому что А грех²(B − C): cos B грех²(C − А): cos C грех²(А − B)

• Сдача Икс : у : z - переменная точка в трилинейных координатах, уравнение для окружности из девяти точек имеет вид

Икс²грех2А + у²грех 2B + z²грех 2C − 2(уг грехА + zx грехB + ху грехC) = 0.

Обобщение

Основная статья: Девятиконечная коническая

Круг - это пример коническая секция а круг из девяти точек является примером общей коники из девяти точек, которая была построена по отношению к треугольнику ABC и четвертый пункт п, где конкретный экземпляр окружности из девяти точек возникает, когда п ортоцентр ABC. Вершины треугольника и п определить полный четырехугольник и три «диагональных точки», где пересекаются противоположные стороны четырехугольника. В четырехугольнике шесть «боковых сторон»; коника из девяти точек пересекает их середины, а также включает диагональные точки. Коника - это эллипс когда п является внутренним для ABC или в регионе обмена вертикальные углы с треугольником, но 9-точечная гипербола происходит когда п находится в одной из трех смежных областей, и гипербола прямоугольная, когда P лежит на описанной окружности ABC.

Смотрите также

• Теорема Лестера
• Точка Понселе
• Синтетическая геометрия

Заметки

1. Альтшиллер-Суд (1925 г., стр. 103–110).
2. Кей (1969, стр. 18, 245).
3. Кочик, Ежи; Солецкий, Анджей (2009). «Распутывая треугольник». Амер. Математика. Ежемесячно. 116 (3): 228–237. Дои:10.4169 / 193009709x470065. Коцик и Солецки (участники 2010 г. Премия Лестера Р. Форда ) дают доказательство теоремы о девятиточке окружности.
4. Кейси, Джон (1886). Теорема о девяти точках окружности, в Продолжение первых шести книг Евклида (4-е изд.). Лондон: Longmans, Green, & Co., стр. 58.
5. Посаментьер, Альфред С., и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников, Книги Прометея, 2012.
6. Фрайверт, Дэвид (июль 2019 г.). «Новые точки, принадлежащие девятиточной окружности». Математический вестник. 103 (557): 222–232. Дои:10.1017 / mag.2019.53.
7. Fraivert, Дэвид (2018). «Новые приложения метода комплексных чисел в геометрии циклических четырехугольников» (PDF). Международный журнал геометрии. 7 (1): 5–16.
8. Альтшиллер-Суд (1925 г., п. 98)
9. Альтшиллер-Суд (1925 г., п. 241)

использованная литература

• Альтшиллер-Корт, Натан (1925), Геометрия колледжа: введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble, LCCN  52013504
• Фейербах, Карл Вильгельм; Бузенгейгер, Карл Хериберт Игнац (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (Под ред. Монографии), Нюрнберг: Wiessner.
• Кей, Дэвид К. (1969), Колледж Геометрия, Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон, LCCN  69012075
• Fraivert, David (2019), «Новые точки, принадлежащие девятиконечной окружности», Математический вестник, 103 (557): 222–232, Дои:10.1017 / mag.2019.53
• Фрайвер, Дэвид (2018), «Новые приложения метода комплексных чисел в геометрии циклических четырехугольников» (PDF), Международный журнал геометрии, 7 (1): 5–16

внешние ссылки

• "Демонстрация круга из девяти точек в Javascript" на rykap.com
• Энциклопедия центров треугольников Кларк Кимберлинг. Девятиточечный центр обозначен как X (5), точка Фейербаха как X (11), центр гиперболы Киперта как X (115), а центр гиперболы Ержабека как X (125).
• История о девятиконечном круге по произведениям И.С. Статья Маккея 1892 г .: История девятиконечного круга
• Вайсштейн, Эрик В. «Девятиконечный круг». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Ортополис". MathWorld.
• Девять точек круга на Java в завязать узел
• Теорема Фейербаха: доказательство в завязать узел
• Особые линии и круги в треугольнике Вальтер Фендт
• Интерактивный Java-апплет, показывающий несколько центров треугольников, лежащих на девятиконечной окружности..
• Интерактивный апплет из девяти точек круга из демонстрационного проекта Wolfram Demonstrations Project
• Девятиточечная коника и обобщение линии Эйлера в Эскизы динамической геометрии Обобщает окружность с девятью точками до коники с девятью точками с соответствующим обобщением линии Эйлера.