Точка Фейербаха - Feuerbach point

Теорема Фейербаха: круг из девяти точек является касательная к окружать и вне окружности треугольника. Касание вписанной окружности - это точка Фейербаха.

в геометрия из треугольники, то окружать и круг из девяти точек треугольника внутренне касательная друг к другу на Точка Фейербаха треугольника. Точка Фейербаха - это центр треугольника, что означает, что его определение не зависит от расположения и масштаба треугольника. Он указан как X (11) в Кларк Кимберлинг с Энциклопедия центров треугольников, и назван в честь Карл Вильгельм Фейербах.^[1][2]

Теорема Фейербаха, изданный Фейербахом в 1822 г.,^[3] в более общем смысле утверждает, что окружность из девяти точек касается трех вне окружности треугольника, а также вписанной в него окружности.^[4] Очень краткое доказательство этой теоремы, основанное на Теорема Кейси на битангенты четырех окружностей, касательных к пятой окружности, был опубликован Джон Кейси в 1866 г .;^[5] Теорема Фейербаха также использовалась как тестовый пример для автоматическое доказательство теорем.^[6] Три точки касания вневписанных окружностей образуют Треугольник Фейербаха данного треугольника.

Строительство

В окружать треугольника ABC это круг это касается всех трех сторон треугольника. Его центр, стимулятор треугольника, лежит в точке, где три биссектрисы внутреннего угла треугольника пересекают друг друга.

В круг из девяти точек - это еще один круг, образованный из треугольника. Он назван так потому, что проходит через девять значимых точек треугольника, среди которых простейшими для построения являются точки средние точки сторон треугольника. Круг из девяти точек проходит через эти три средние точки; таким образом, это описанный круг из средний треугольник.

Эти два круга встречаются в одной точке, где они касательная друг другу. Эта точка касания и есть точка Фейербаха треугольника.

С вписанной в треугольник окружностью связаны еще три окружности: вне окружности. Это круги, каждая из которых касается трех прямых, проходящих через стороны треугольника. Каждая вневписанная окружность касается одной из этих линий с противоположной стороны треугольника и находится на той же стороне, что и треугольник для двух других линий. Как и вписанная окружность, все вневписанные окружности касаются девятиконечной окружности. Их точки касания с девятиточечной окружностью образуют треугольник, треугольник Фейербаха.

Характеристики

Точка Фейербаха лежит на прямой, проходящей через центры двух касательных окружностей, которые ее определяют. Эти центры являются стимулятор и центр девяти точек треугольника.^[1][2]

Позволять ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, и ${\displaystyle z}$ - три расстояния от точки Фейербаха до вершин средний треугольник (середины сторон BC = a, CA = b, и AB = c соответственно исходного треугольника). Потом,^[7][8]

${\displaystyle x+y+z=2\max(x,y,z),}$

или, что то же самое, наибольшее из трех расстояний равно сумме двух других. В частности, у нас есть ${\displaystyle x={\frac {R}{2OI}}|b-c|,\,y={\frac {R}{2OI}}|c-a|,z={\frac {R}{2OI}}|a-b|,}$ куда О справочный треугольник центр окружности и я это его стимулятор.^{[8]:Предложения. 3}

Последнее свойство также справедливо для точки касания любой из вневписанных окружностей с окружностью из девяти точек: наибольшее расстояние от этого касания до одной из середин сторон исходного треугольника равно сумме расстояний до середин двух других сторон.^[8]

Если вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA, AB в Икс, Y, и Z соответственно, а середины этих сторон соответственно п, Q, и р, то с точкой Фейербаха F треугольники FPX, FQY, и FRZ похожи на треугольники AOI, BOI, COI соответственно.^{[8]:Предложения. 4}

Координаты

В трилинейные координаты для точки Фейербаха^[2]

${\displaystyle 1-\cos(B-C):1-\cos(C-A):1-\cos(A-B).}$

Его барицентрические координаты находятся^[8]

${\displaystyle (s-a)(b-c)^{2}:(s-b)(c-a)^{2}:(s-c)(a-b)^{2},}$

куда s это треугольник полупериметр (а + б + в) / 2.

Три прямые, идущие от вершин исходного треугольника через соответствующие вершины треугольника Фейербаха, встречаются в центре другого треугольника, обозначенного как X (12) в Энциклопедии центров треугольников. Его трилинейные координаты:^[2]

${\displaystyle 1+\cos(B-C):1+\cos(C-A):1+\cos(A-B).}$

Рекомендации

1. Кимберлинг, Кларк (1994), "Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника", Математический журнал, 67 (3): 163–187, JSTOR  2690608, МИСТЕР  1573021.
2. Энциклопедия центров треугольников В архиве 19 апреля 2012 г. Wayback Machine, дата обращения 24.10.2014.
3. Фейербах, Карл Вильгельм; Buzengeiger, Карл Гериберт Игнац (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (Под ред. Монографии), Нюрнберг: Wiessner.
4. Шеер, Майкл Дж. Г. (2011), «Простое векторное доказательство теоремы Фейербаха» (PDF), Форум Geometricorum, 11: 205–210, МИСТЕР  2877268.
5. Кейси, Дж. (1866), «Об уравнениях и свойствах: (1) системы кругов, касающихся трех кругов на плоскости; (2) системы сфер, касающихся четырех сфер в пространстве; (3) системы кругов, касающихся трех Круги на сфере; (4) системы коник, вписанных в конику, и касающихся трех вписанных коник на плоскости ", Труды Королевской ирландской академии, 9: 396–423, JSTOR  20488927. См., В частности, нижнюю часть стр. 411.
6. Чжоу, Шан-Чинг (1988), "Введение в метод Ву для механического доказательства теорем в геометрии", Журнал автоматизированных рассуждений, 4 (3): 237–267, Дои:10.1007 / BF00244942, МИСТЕР  0975146.
7. Вайсштейн, Эрик В. «Мыс Фейербаха». MathWorld.
8. Сандор Надьдобай Кисс, «Дистанционное свойство точки Фейербаха и ее продолжение», Форум Geometricorum 16, 2016, 283–290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf

дальнейшее чтение

• Тебо, Виктор (1949), «О точках Фейербаха», Американский математический ежемесячный журнал, 56: 546–547, Дои:10.2307/2305531, МИСТЕР  0033039.
• Емельянов, Лев; Емельянова, Татьяна (2001), "Заметка о точке Фейербаха", Форум Geometricorum, 1: 121–124 (электронная), МИСТЕР  1891524.
• Сучава, Богдан; Ю, Поль (2006), "Точка Фейербаха и линии Эйлера", Форум Geometricorum, 6: 191–197, МИСТЕР  2282236.
• Вонк, Ян (2009), "Точка Фейербаха и отражения линии Эйлера", Форум Geometricorum, 9: 47–55, МИСТЕР  2534378.
• Нгуен, Минь Ха; Нгуен, Фам Дат (2012), "Синтетические доказательства двух теорем, связанных с точкой Фейербаха", Форум Geometricorum, 12: 39–46, МИСТЕР  2955643.