Девятиточечная гипербола - Nine-point hyperbola

Девятиточечная гипербола: одна ветвь делит пополам BА, до н.э, и BP. Другая ветвь делит пополам PA, ПК, и AC, а также проходящие через BA.PC и AP.BC.

В плоская геометрия с треугольник ABC, то 9-точечная гипербола является примером девятиконечная коническая описанный Максим Бохер в 1892 году. круг из девяти точек является отдельным экземпляром коники Бохера:

Учитывая треугольник ABC и точка п в своей плоскости конику можно провести через следующие девять точек:

в средние точки сторон ABC,

середины линий, соединяющихся п к вершинам, и

точки, где эти последние названные линии пересекают стороны треугольника.

Коника - это эллипс если п лежит в интерьере ABC или в одной из областей плоскости, отделенных от внутренней части двумя сторонами треугольника; в противном случае коника является гипербола. Бохер отмечает, что когда п это ортоцентр, получается круг из девяти точек, а когда п на описанный круг из ABC, то коника - равносторонняя гипербола.

Аллен

Подход к девятиточной гиперболе с использованием аналитическая геометрия из разделенные комплексные числа был разработан Э. Ф. Алленом в 1941 году.^[1] Письмо z = а + б j, j² = 1, он использует комплексную арифметику расщепления, чтобы выразить гиперболу как

${displaystyle zz^{*}=a^{2}.}$

Он используется как циркумконический треугольника ${displaystyle t_{1},t_{2},t_{3}.}$ Позволять ${displaystyle s=t_{1}+t_{2}+t_{3}.}$ Тогда девятиточечная коника равна

${displaystyle (z-s/2)(z^{*}-s^{*}/2)={frac {a^{2}}{4}}.}$

Описание девятибалльной гиперболы Алленом последовало за развитием теории круг из девяти точек который Фрэнк Морли и его сын опубликованы в 1933 году. Они реквизировали единичный круг в комплексная плоскость как описанный круг данного треугольника.

В 1953 году Аллен расширил свое исследование до коники из девяти точек треугольника, вписанной в любую центральную конику.^[2]

Яглом

Для Яглома гипербола - это Минковский круг как в Самолет Минковского. Описание этой геометрии Ягломом можно найти в главе «Заключение» книги, которая изначально посвящена геометрии Галилея.^[3] Он рассматривает треугольник, вписанный в «описанную окружность», которая на самом деле является гиперболой. На плоскости Минковского девятиточечная гипербола также описывается как окружность:

... середины сторон треугольника ABC и основания его высот (а также середины отрезков, соединяющих ортоцентр треугольника ABC с его вершинами) лежат на [минковской] окружности S радиус которой равен половине радиуса описанной окружности треугольника. S естественно называть шести- (девятиконечной) окружностью (минковского) треугольника ABC; если в треугольнике ABC вписана окружность s, затем шести (девяти) точками окружности S ABC касается вписанной окружности s (Рис.173).

Другие

В 2005 г. Дж. А. Скотт^[4] использовал гипербола единиц как циркумконический треугольника ABC и нашел условия, при которых он включает шесть центров треугольника: центроид X (2), ортоцентр X (4), Точки Ферма X (13) и X (14), а Наполеон очки X (17) и X (18), как указано в Энциклопедия центров треугольников. Гипербола Скотта - это Гипербола Киперта треугольника.

Кристофер Бат^[5] описывает девятиточную прямоугольную гиперболу, проходящую через эти центры: стимулятор X (1), три превосходители, центроид X (2), de Longchamps Point X (20), а три точки, полученные продолжением треугольника медианы вдвое больше чевиан длина.

Рекомендации

1. Аллен, Э.Ф. (1941) "На треугольнике, вписанном в прямоугольную гиперболу", Американский математический ежемесячный журнал 48, №10 с. 675–681
2. Э. Ф. Аллен (1953) "Расширенная инверсивная геометрия", Американский математический ежемесячный журнал 60(4):233–7
3. Исаак Яглом (1979) Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа, стр. 193
4. Дж. А. Скотт (2005) «Девятиточечная гипербола», Математический вестник 89:93–6 (#514)
5. Кристофер Бат (2010) Девятиточная прямоугольная гипербола

• Максим Бохер (1892) Девятиконечная коническая, Анналы математики, ссылка из Jstor.
• Мод А. Минторн (1912) Девятиконечная коническая, Магистерская диссертация в Калифорнийский университет в Беркли, ссылка из HathiTrust. Мод Эллен Минторн родилась в 1883 году, ЛеМарс, Айова, умерла в 1966 году в Санкт-Петербурге, Флорида. Дау. Пеннингтон Минторн, 1856-1939 (брат Хульды Минторн Гувер, матери президента Герберта Гувера) и Анны Мэри Хилд, 1887-1940 (сестра Франклина Германа Хилда, основателя озера Эльсинор, Калифорния (WRH) Мод Минторн также преподавал в средней школе Фресно, Калифорния, 1935-1940 гг.
• Бьёрн Фельсагер (2004) Геометрия Минковского, Часть 1, Геометрия Минковского, часть 2 ICME-10 Копенгаген.