Абстрактный многогранник - Abstract polytope

Квадратная пирамида и связанный с ней абстрактный многогранник.

В математика, абстрактный многогранник алгебраический частично заказанный набор или позет, который фиксирует комбинаторный свойства традиционного многогранник без указания чисто геометрических свойств, таких как углы или длины кромок. А многогранник является обобщением полигоны и многогранники в любое количество измерений.

Обычный геометрический многогранник называется реализация в некоторых реальных N-мерное пространство обычно Евклидово, соответствующего абстрактного многогранника. Абстрактное определение допускает некоторые более общие комбинаторные структуры, чем традиционные определения многогранника, тем самым позволяя создавать множество новых объектов, не имеющих аналогов в традиционной теории.

Вводные концепции

Традиционные многогранники против абстрактных

Шесть геометрических четырехугольников.

В евклидовой геометрии шесть четырехугольники проиллюстрированы все разные. Тем не менее, у них есть общая структура в чередующейся цепочке из четырех вершин и четырех сторон, которая дает им свое имя. Говорят, что они изоморфный или «сохранение структуры».

Эта общая структура может быть представлена ​​в нижележащем абстрактном многограннике, чисто алгебраическом частично упорядоченном множестве, которое фиксирует образец связей или случаи между различными элементами конструкции. Измеримые свойства традиционных многогранников, такие как углы, длины ребер, асимметрия, прямолинейность и выпуклость, не имеют значения для абстрактного многогранника.

То, что верно для традиционных многогранников (также называемых классическими или геометрическими многогранниками), может быть не так для абстрактных, и наоборот. Например, традиционный многогранник является правильным, если все его грани и фигуры вершин правильные, но это не обязательно так для абстрактного многогранника.^[1]

Реализации

Традиционный геометрический многогранник называется реализация связанного абстрактного многогранника. Реализация - это отображение или внедрение абстрактного объекта в реальное пространство, обычно Евклидово, чтобы построить традиционный многогранник как реальную геометрическую фигуру.

Все показанные шесть четырехугольников являются различными реализациями абстрактного четырехугольника, каждый с различными геометрическими свойствами. Некоторые из них не соответствуют традиционным определениям четырехугольника и называются неверный реализации. Обычный многогранник - точная реализация.

Лица, звания и порядок

В абстрактном многограннике каждый структурный элемент - вершина, ребро, ячейка и т. Д. Связан с соответствующим членом или элементом множества. Период, термин лицо часто относится к любому такому элементу, например вершина (0-грань), ребро (1-грань) или общее k-лицо, а не только многоугольное 2-грань.

Лица в рейтинге в соответствии с их связанной действительной размерностью: вершины имеют ранг = 0, ранг ребер = 1 и т. д.

Инцидентные грани разного ранга, например, вершина F ребра G, упорядочиваются соотношением F подпись группы G, либо G имеет подпространство F.

F, G называются инцидент если либо F = G, либо F Конечная геометрия, хотя она отличается от традиционной геометрии и некоторых других областей математики. Например на площади abcd, края ab и до н.э абстрактно не инцидентны (хотя они оба инцидентны вершине б).^{[нужна цитата ]}

Тогда многогранник определяется как набор граней п с отношением порядка <и удовлетворяет некоторым дополнительным аксиомам. Формально, п (с <) будет (строгим) частично заказанный набор, или же посеть.

Наименьшие и величайшие лица

Как число ноль необходимо в математике, так и каждый набор имеет пустой набор ∅ как подмножество. В абстрактном многограннике условно определяется как наименее или же ноль лицо и является подлицом всех остальных.^{[Почему? ]} Поскольку наименьшая грань находится на один уровень ниже вершин или 0-граней, ее ранг равен -1, и ее можно обозначить как F₋₁. Таким образом, F₋₁ ≡ ∅ и абстрактный многогранник также содержит пустое множество в качестве элемента.^[2] Обычно это не реализуется.

Существует также одна грань, все остальные которой являются субграни. Это называется величайший лицо. В п-мерный многогранник, наибольшая грань имеет ранг = п и может быть обозначен как F_п. Иногда его воплощают в виде интерьера геометрической фигуры.

Эти наименьшие и величайшие лица иногда называют неподходящий лица, а все остальные правильный лица.^{[Почему? ]}

Простой пример

Грани абстрактного четырехугольника или квадрата показаны в таблице ниже:

Тип лица	Классифицировать (k)	Считать	k-лицы
Наименее	−1	1	F−1
Вершина	0	4	а, б, c, d
Край	1	4	W, X, Y, Z
Величайший	2	1	грамм

Отношение <включает набор пар, которые здесь включают

F₋₁<а, ... , F₋₁F₋₁бc

Порядковые отношения переходный, то есть из F преемник другого, т.е. где F

Ребра W, X, Y и Z иногда записываются как ab, объявление, до н.э, и CD соответственно, но такие обозначения не всегда уместны.

Все четыре ребра структурно похожи, то же самое относится и к вершинам. Таким образом, фигура имеет симметрию квадрата и обычно называется квадратом.

Диаграмма Хассе

В график (слева) и Диаграмма Хассе четырехугольника с указанием рядов (справа)

Меньшие позы, и в частности многогранники, часто лучше всего визуализировать в Диаграмма Хассе, как показано. По соглашению лица равного ранга размещаются на одном вертикальном уровне. Каждая «линия» между гранями, скажем, F, G, указывает отношение упорядочения <такое, что F

Диаграмма Хассе определяет уникальный объектный набор и, следовательно, полностью отражает структуру многогранника. Изоморфные многогранники порождают изоморфные диаграммы Хассе, и наоборот. То же самое в целом не верно для график представление многогранников.

Классифицировать

В классифицировать грани F определяется как (м - 2), где м это максимальное количество лиц в любом цепь (F ', F ", ..., F) такое, что F' −1.

В классифицировать абстрактного многогранника п это максимальный ранг п любого лица. Это всегда ранг наибольшей грани F_п.

Ранг грани или многогранника обычно соответствует измерение своего аналога в традиционной теории.

Типы лиц некоторых рангов указаны в следующей таблице.

Классифицировать	-1	0	1	2	3	...	п - 2	п - 1	п
Тип лица	Наименее	Вершина	Край	†	Клетка		Подфацет или гребень[3]	Грань[3]	Величайший

† Традиционно «лицо» означало лицо 2-го ранга или 2-гранное лицо. В абстрактной теории термин «лицо» обозначает лицо любой классифицировать.

Флаги

А флаг это максимальный цепь граней, то есть (полностью) упорядоченное множество Ψ граней, каждая из которых является подпунктом следующей (если есть), и таких, что не является подмножеством какой-либо большей цепи. Для любых двух различных граней F, G во флаге либо F G.

Например, {ø, а, ab, abc} - это флаг в треугольнике abc.

Для данного многогранника все флаги содержат одинаковое количество граней. Другие посеты, как правило, не удовлетворяют этому требованию.

Разделы

График (слева) и диаграмма Хассе треугольной призмы, показывающая 1-секцию (красный) и двухсекционный (зеленый).

Любое подмножество P 'ч.у. P является ч.у. (с тем же отношением <, ограниченным на P').

В абстрактном многограннике с любыми двумя гранями F, ЧАС P с F ≤ ЧАС, набор {грамм | F ≤ грамм ≤ ЧАС} называется раздел из п, и обозначил ЧАС/F. (В теории порядка секция называется закрытый интервал чугуна и обозначается [F, ЧАС].

Например, в призме abcxyz (см. схему) раздел xyz/ø (выделено зеленым) - это треугольник

{ø, Икс, у, z, ху, xz, yz, xyz}.

А k-раздел это раздел ранга k.

Многогранник, являющийся подмножеством другого многогранника, не обязательно является сечением. На схеме квадрат abcd это подмножество тетраэдра abcd, но не раздел этого.^{[требуется разъяснение ]}

Таким образом, P является частью самого себя.

Эта концепция раздела не имеют то же значение, что и в традиционной геометрии.

Грани

В грань для данного j-лицо F это (j−1)-раздел F/ ∅, где F_j это величайшее лицо.

Например, в треугольнике abc, грань на ab является ab/б = {∅, а, б, аб}, который является отрезком линии.

Различие между F и F/ ∅ обычно не имеет значения, и эти два часто рассматриваются как идентичные.

Фигуры вершин

В вершина фигуры в данной вершине V это (п−1) -сечение F_п/V, куда F_п это величайшее лицо.

Например, в треугольнике abcфигура вершины в б является abc/б = {b, ab, bc, abc}, который является отрезком линии. Фигуры вершин куба - треугольники.

Связность

Посеть P является связаны если P имеет ранг ≤ 1, или для любых двух собственных граней F и G существует последовательность собственных граней

ЧАС₁, H₂, ..., H_k

такое, что F = H₁, G = H_k, и каждый H_я, i

Приведенное выше условие гарантирует, что пара непересекающихся треугольников abc и xyz является нет (одиночный) многогранник.

Посеть P является сильно связанный если каждый участок P (включая сам P) связан.

С этим дополнительным требованием также исключаются две пирамиды, имеющие общую вершину. Однако две квадратные пирамиды, например, может, быть «приклеенными» к своим квадратным граням - давая октаэдр. «Общее лицо» - это нет затем грань октаэдра.

Формальное определение

An абстрактный многогранник это частично заказанный набор, элементы которого мы называем лица, удовлетворяющий 4 аксиомам:

1. Оно имеет наименьшее лицо и величайшее лицо.
2. Все флаги содержат одинаковое количество граней.
3. это сильно связанный.
4. Если ряды двух лиц а> б отличаются на 2, то ровно 2 грани лежат строго между а и б.

An п-полигон многогранник ранга п.

Примечания

В случае нулевой многогранник, наименьшее и наибольшее лицо - это тот же единственный элемент.

Аксиома 2 эквивалентна утверждению, что ч.у. градуированный посет.

Учитывая другие аксиомы, аксиома 3 эквивалентна сильная флаг-связность, что неформально означает:

Для любого участка многогранника (включая сам многогранник) любой флаг можно заменить на любой, изменяя только одну грань за раз.

Аксиома 4 известна как «свойство алмаза», поскольку диаграмма Хассе а, б, а грани между ними ромбовидные.

Из аксиом можно показать, что каждое сечение является многогранником и что Rank (грамм/F) = Ранг (грамм) - Ранг (F) − 1.

Абстрактный многогранник, связанный с реальным выпуклый многогранник также называется его лицевая решетка.^[4]

Простейшие многогранники

Ранг <1

Для каждого ранга -1 и 0 существует только одно ч.у.м. Это, соответственно, нулевая грань и точка. Они не всегда считаются допустимыми абстрактными многогранниками.

Ранг 1: сегмент линии

График (слева) и диаграмма Хассе отрезка прямой

Существует только один многогранник ранга 1 - отрезок прямой. У него наименьшее лицо, всего два нулевых лица и наибольшее лицо, например {ø, а, б, аб}. Отсюда следует, что вершины а и б имеют ранг 0, и что наибольшее лицо ab, и, следовательно, оба имеют ранг 1.

Ранг 2: полигоны

Для каждого п, 3 ≤ п < ${\displaystyle \infty }$, у нас есть (абстрактный эквивалент) традиционного многоугольника с п вершины и п края, или п-гон. Для p = 3, 4, 5, ... у нас есть треугольник, квадрат, пятиугольник, ....

За п = 2, имеем Digon, и п = ${\displaystyle \infty }$ мы получаем апейрогон.

Дигон

Граф (слева) и диаграмма Хассе двуугольника

А Digon это многоугольник с двумя ребрами. В отличие от любого другого многоугольника, оба ребра имеют одинаковые две вершины. По этой причине это выродиться в Евклидова плоскость.

Лица иногда описываются с помощью "обозначения вершин" - например, {ø, а, б, c, ab, ac, до н.э, abc} для треугольника abc. Этот метод имеет преимущество подразумевая то < связь.

С двуугольником это обозначение вершины нельзя использовать. Необходимо присвоить граням индивидуальные символы и указать пары субграней F

Таким образом, двуугольник определяется как множество {ø, а, б, E ', E ", G} с соотношением < данный

{ø<а, ø<б, аабб

где E 'и E "- два ребра, а G - наибольшая грань.

Эта необходимость идентифицировать каждый элемент многогранника уникальным символом применима ко многим другим абстрактным многогранникам и поэтому является обычной практикой.

Многогранник может быть полностью описан с использованием обозначения вершин, только если каждая грань инцидентна уникальному набору вершин. Многогранник, обладающий этим свойством, называется атомистический.

Примеры высшего ранга

Набор j-лицы (−1 ≤ j ≤ п) традиционного п-полигональные формы абстрактного п-полигон.

Понятие абстрактного многогранника является более общим и включает в себя:

• Апейотопы или бесконечные многогранники, в которые входят мозаика (плитки)
• Собственные разложения неограниченных многообразий, таких как тор или же реальная проективная плоскость.
• Многие другие объекты, такие как 11-элементный и 57 ячеек, что не может быть точно реализовано в евклидовых пространствах.

Хосоэдры и хосотопы

Шестиугольник осоэдр, реализованный как сферический многогранник.

Дигон обобщается осоэдр и гозотопы более высоких измерений, которые могут быть реализованы как сферические многогранники - они создают мозаику для сферы.

Проективные многогранники

В Hemicube может быть получен из куба путем идентификации противоположных вершин, ребер и граней. У него 4 вершины, 6 ребер и 3 грани.

Четыре примера нетрадиционных абстрактных многогранников: Hemicube (показано), Полуоктаэдр, Полудодекаэдр, а Полуикосаэдр. Это проективные аналоги Платоновы тела, и может быть реализовано как (глобально) проективные многогранники - они мозаичны реальная проективная плоскость.

Гемикуб - еще один пример того, где обозначение вершин нельзя использовать для определения многогранника - все 2-грани и 3-грань имеют один и тот же набор вершин.

Двойственность

Каждый геометрический многогранник имеет двойной близнец. Абстрактно дуальный - это тот же многогранник, но с обратным ранжированием: диаграмма Хассе отличается только аннотациями. В п-полигон, каждый оригинал k-faces отображается на (п − k - 1) -лицо в дуале. Так, например, п-face отображается в (−1) -face. Дуал к дуалу есть (изоморфный к) оригинал.

Многогранник самодвойственный, если он совпадает со своим двойственным, т.е. изоморфен ему. Следовательно, диаграмма Хассе самодвойственного многогранника должна быть симметричной относительно горизонтальной оси на полпути между верхом и низом. Квадратная пирамида в приведенном выше примере самодуальна.

Фигура вершины в вершине V является двойником грани, к которой V отображения в двойственный многогранник.

Абстрактные правильные многогранники

Формально абстрактный многогранник считается "правильным", если его группа автоморфизмов действует транзитивно на множестве его флагов. В частности, любые два k-лицы F, грамм из п-многогранники "одинаковы", т.е. существует автоморфизм, отображающий F к грамм. Когда абстрактный многогранник регулярен, его группа автоморфизмов изоморфна частному Группа Кокстера.

Все многогранники ранга ≤ 2 регулярны. Самые известные правильные многогранники - это пять Платоновых тел. Полурубка (на рисунке) также правильная.

Неформально для каждого ранга k, это означает, что нет возможности различить k-лицо от любого другого - лица должны быть идентичны и иметь одинаковые соседи и т. д. Например, куб является правильным, потому что все грани являются квадратами, вершины каждого квадрата прикреплены к трем квадратам, и каждый из этих квадратов прикреплен к идентичным расположениям других граней, ребер и вершин и так далее.

Одного этого условия достаточно для того, чтобы любой регулярный абстрактный многогранник имел изоморфные регулярные (п−1) -грани и изоморфные правильные вершинные фигуры.

Это более слабое условие, чем регулярность для традиционных многогранников, поскольку оно относится к группе (комбинаторных) автоморфизмов, а не к группе (геометрической) симметрии. Например, любой абстрактный многоугольник является правильным, поскольку для абстрактных многогранников не существует углов, длин ребер, кривизны ребер, перекоса и т.д.

Есть несколько других более слабых концепций, некоторые из которых еще не полностью стандартизированы, например полурегулярный, квазирегулярный, униформа, хиральный, и Архимедов которые применяются к многогранникам, у которых некоторые, но не все грани эквивалентны в каждом ранге.

Необычный пример

Неправильный многогранник, вообще не имеющий автоморфизмов.

Учитывая то количество внимания, которое уделяется правильным многогранникам, можно почти подумать, что все многогранники регулярны. На самом деле правильные многогранники - это просто особые случаи.

Простейший неправильный многогранник - это квадратная пирамида, хотя это все еще имеет много симметрий.

Пример многогранника с нет Показаны нетривиальные симметрии - никакая пара вершин, ребер или 2-граней не «одинаковые», как определено выше. Возможно, это самый простой из таких многогранников.

Реализация

Набор точек V в евклидовом пространстве, снабженном сюръекцией из множества вершин абстрактного апейрогона п такие, что автоморфизмы п побудить изометрический перестановки V называется реализация абстрактного апейрогона.^{[5]:121[6]:225} Две реализации называются конгруэнтными, если естественная биекция между их наборами вершин индуцирована изометрией их объемлющих евклидовых пространств.^{[5]:126[6]:229}

Если аннотация п-полигон реализован в п-мерное пространство, такое, что геометрическое расположение не нарушает никаких правил для традиционных многогранников (таких как изогнутые грани или гребни нулевого размера), тогда реализация называется верный. В общем, только ограниченный набор абстрактных многогранников ранга п может быть точно реализован в любом данном п-Космос. Характеристика этого эффекта - нерешенная проблема.

Для регулярного абстрактного многогранника, если комбинаторные автоморфизмы абстрактного многогранника реализуются геометрическими симметриями, то геометрическая фигура будет правильным многогранником.

Модульное пространство

Группа грамм симметрий реализации V абстрактного апейрогона п порождается двумя отражениями, произведение которых переводит каждую вершину п к следующему.^{[5]:140–141[6]:231} Произведение двух отражений может быть разложено как произведение ненулевого переноса, конечного числа вращений и, возможно, тривиального отражения.^{[5]:141[6]:231}

Как правило, пространство модулей реализаций абстрактного многогранника есть выпуклый конус бесконечного измерения.^{[5]:127[6]:229–230} Конус реализации абстрактного апейрогон имеет бесчисленное множество алгебраическая размерность и не может быть закрыто в Евклидова топология.^{[5]:141[6]:232}

Проблема объединения и универсальные многогранники

Важным вопросом теории абстрактных многогранников является проблема слияния. Это серия вопросов, таких как

Для заданных абстрактных многогранников K и L, есть ли многогранники п чьи грани K и чьи вершинные фигуры L ?

Если да, то все ли они конечны?

Какие есть конечные?

Например, если K это квадрат, а L треугольник, ответы на эти вопросы

Да, есть многогранники п с квадратными гранями, соединенными по три на каждую вершину (то есть есть многогранники типа {4,3}).

Да, все они конечны, в частности,

Здесь куб, с шестью квадратными гранями, двенадцатью ребрами и восемью вершинами, а полукуб, с тремя гранями, шестью ребрами и четырьмя вершинами.

Известно, что если ответ на первый вопрос - «Да» для некоторых обычных K и L, то существует единственный многогранник, грани которого равны K и чьи вершинные фигуры L, называется универсальный многогранник с этими гранями и фигурами вершин, которые охватывает все другие такие многогранники. То есть предположим п универсальный многогранник с гранями K и вершинные фигуры L. Тогда любой другой многогранник Q с этими гранями и вершинами можно записать фигуры Q=п/N, куда

• N является подгруппой группы автоморфизмов п, и
• п/N это собрание орбиты элементов п под действием N, с частичным порядком, индуцированным порядком п.

Q=п/N называется частное из п, и мы говорим п охватывает Q.

Учитывая этот факт, поиск многогранников с определенными гранями и фигурами вершин обычно происходит следующим образом:

1. Попытка найти подходящий универсальный многогранник
2. Попытка классифицировать его частные.

Эти две проблемы, в общем, очень сложны.

Возвращаясь к примеру выше, если K это квадрат, а L - треугольник, универсальный многогранник {K,L} - это куб (также пишется {4,3}). Полукуб - это частное {4,3} /N, куда N - это группа симметрий (автоморфизмов) куба, состоящая всего из двух элементов - тождества и симметрии, которая отображает каждый угол (или ребро, или грань) на противоположный.

Если L есть также квадрат, универсальный многогранник {K,L} (то есть {4,4}) представляет собой мозаику евклидовой плоскости квадратами. Эта мозаика имеет бесконечно много частных с квадратными гранями, по четыре на вершину, некоторые из которых правильные, а некоторые нет. За исключением самого универсального многогранника, все они соответствуют различным способам разбиения на мозаику либо тор или бесконечно долго цилиндр с квадратами.

11-элементный и 57-элементный

В 11-элементный, открытый независимо Х. С. М. Кокстер и Бранко Грюнбаум, является абстрактным 4-многогранником. Его грани представляют собой полуикосаэдры. Поскольку его фасеты топологически являются проективными плоскостями, а не сферами, 11-ячейка не является мозаикой какого-либо многообразия в обычном смысле. Вместо этого 11-элементный локально проективный многогранник. 11-ячейка не только красива в математическом смысле, но и исторически важна как один из первых открытых нетрадиционных абстрактных многогранников. Он самодвойственен и универсален: это Только многогранник с полуикосаэдрическими гранями и полудодекаэдрическими вершинными фигурами.

В 57 ячеек также самодуальна, с полудодекаэдрическими гранями. Он был обнаружен Х. С. М. Коксетером вскоре после открытия 11-элементной клетки. Подобно 11-клеточному, он также универсален, поскольку является единственным многогранником с полудодекаэдрическими гранями и полуикосаэдрическими вершинными фигурами. С другой стороны, существует множество других многогранников с полудодекаэдрическими гранями и типом Шлефли {5,3,5}. Универсальный многогранник с полудодекаэдрическими гранями и икосаэдрическими (не полуикосаэдрическими) вершинами конечен, но очень велик, с 10006920 гранями и вдвое меньшим количеством вершин.

Локальная топология

Исторически проблема слияния решалась согласно локальная топология. То есть, а не ограничение K и L чтобы быть частными многогранниками, им разрешено быть любым многогранником с данным топология, то есть любой многогранник мозаика данный многообразие. Если K и L находятся сферический (т. е. мозаика топологического сфера ), тогда п называется локально сферический и соответствует мозаике некоторого многообразия. Например, если K и L оба являются квадратами (и поэтому топологически идентичны кругам), п будет мозаика самолета, тор или же Бутылка Клейна квадратами. Тесселяция п-мерное многообразие на самом деле является рангом п + 1 многогранник. Это соответствует общей интуиции, что Платоновы тела трехмерны, хотя их можно рассматривать как мозаику двумерной поверхности шара.

В общем случае абстрактный многогранник называется локально X если его грани и вершинные фигуры топологически являются сферами или Икс, но не обе сферы. В 11-элементный и 57 ячеек являются примерами ранга 4 (то есть четырехмерными) локально проективный многогранники, поскольку их грани и фигуры вершин представляют собой мозаику реальные проективные плоскости. Однако в этой терминологии есть слабость. Он не позволяет легко описать многогранник, грани которого тори и чьи вершинные фигуры, например, являются проективными плоскостями. Еще хуже, если разные фасеты имеют разную топологию или вообще не имеют четко определенной топологии. Однако большой прогресс был достигнут в полной классификации локально тороидальных регулярных многогранников (McMullen & Schulte, 2002).

Обмен картами

Позволять Ψ быть флагом абстрактного п-многогранник, и пусть −1 <я < п. Из определения абстрактного многогранника можно доказать, что существует единственный флаг, отличный от Ψ по званию я элемент, и то же самое в остальном. Если мы назовем этот флаг Ψ^(я), то это определяет набор отображений на флагах многогранников, скажем φ_я. Эти карты называются обмен картами, поскольку они меняют местами пары флагов: (Ψφ_я)φ_я = Ψ всегда. Некоторые другие свойства обменных карт:

• φ_я² карта идентичности
• В φ_я генерировать группа. (Действие этой группы на флагах многогранника является примером того, что называется действие флага группы на многограннике)
• Если |я − j| > 1, φ_яφ_j = φ_jφ_я
• Если α является автоморфизмом многогранника, то αφ_я = φ_яα
• Если многогранник правильный, то группа, порожденная φ_я изоморфна группе автоморфизмов, иначе строго больше.

Карты обмена и, в частности, действие флага могут быть использованы для доказательства того, что любой абстрактный многогранник является частным некоторого правильного многогранника.

Матрицы заболеваемости

Многогранник также может быть представлен в виде таблицы его случаи.

Следующая матрица инцидентности представляет собой матрицу треугольника:

	ø	а	б	c	ab	до н.э	ок	abc
ø	1	1	1	1	1	1	1	1
а	1	1	0	0	1	0	1	1
б	1	0	1	0	1	1	0	1
c	1	0	0	1	0	1	1	1
ab	1	1	1	0	1	0	0	1
до н.э	1	0	1	1	0	1	0	1
ок	1	1	0	1	0	0	1	1
abc	1	1	1	1	1	1	1	1

В таблице отображается 1 везде, где одно лицо является частью другого лица, или наоборот (так что таблица симметричный о диагонали) - так что на самом деле в таблице избыточная информация; было бы достаточно показать только 1, когда грань строки ≤ грани столбца.

Поскольку и тело, и пустой набор связаны со всеми другими элементами, первая строка и столбец, а также последняя строка и столбец являются тривиальными и могут быть легко опущены.

Квадратная пирамида

Квадратная пирамида и связанный с ней абстрактный многогранник.

Дополнительная информация получается путем подсчета каждого случая. Это числовое использование позволяет симметрия группировка, как в Диаграмма Хассе из квадратная пирамида: Если вершины B, C, D и E считаются симметрично эквивалентными в абстрактном многограннике, тогда ребра f, g, h и j будут сгруппированы вместе, а также ребра k, l, m и n, и, наконец, также треугольники п, Q, р, и S. Таким образом, соответствующая матрица инцидентности этого абстрактного многогранника может быть представлена ​​как:

	А	B, C, D, E	f, g, h, j	к, л, м, п	п,Q,р,S	Т
А	1	*	4	0	4	0
B, C, D, E	*	4	1	2	2	1
f, g, h, j	1	1	4	*	2	0
к, л, м, п	0	2	*	4	1	1
п,Q,р,S	1	2	2	1	4	*
Т	0	4	0	4	*	1

В этом представлении накопленной матрицы инцидентности диагональные элементы представляют собой общее количество элементов любого типа.

Очевидно, что элементы разных типов одного и того же ранга никогда не встречаются, поэтому значение всегда будет равно 0, однако, чтобы помочь различить такие отношения, вместо 0 используется звездочка (*).

Поддиагональные записи каждой строки представляют собой подсчеты инцидентности соответствующих подэлементов, в то время как наддиагональные записи представляют собой соответствующие подсчеты элементов вершинной, реберной или любой другой фигуры.

Уже это просто квадратная пирамида показывает, что накопленные симметрией матрицы инцидентности больше не симметричны. Но по-прежнему существует простое отношение сущностей (помимо обобщенных формул Эйлера для диагонали, соответственно субдиагональных элементов каждой строки, соответственно, супердиагональных элементов каждой строки - по крайней мере, когда отсутствуют дыры, звезды и т. Д. считается), как и для любой такой матрицы инцидентности ${\displaystyle I=(I_{ij})}$ держит:

${\displaystyle I_{ii}\cdot I_{ij}=I_{ji}\cdot I_{jj}\ \ (i<j).}$

История

В 1960-е годы Бранко Грюнбаум обратился к геометрическому сообществу с призывом рассмотреть обобщения концепции правильные многогранники что он назвал полистроматы. Он разработал теорию полистромат, показав примеры новых объектов, включая 11-элементный.

В 11-элементный это самодвойственный 4-многогранник чей грани не икосаэдры, но "гемиикосаэдры "- то есть это форма, которую можно получить, если рассматривать противоположные грани икосаэдров как фактически одно и тоже лицо (Грюнбаум, 1977). Через несколько лет после открытия Грюнбаумом 11-элементный, H.S.M. Coxeter обнаружил подобный многогранник, 57 ячеек (Coxeter 1982, 1984), а затем независимо заново открыли 11 клеток.

С более ранней работой Бранко Грюнбаум, Х. С. М. Кокстер и Жак Титс заложив основы, основная теория комбинаторных структур, ныне известных как абстрактные многогранники, была впервые описана Эгон Шульте в его докторской диссертации 1980 года. В нем он определил «регулярные комплексы инцидентности» и «правильные многогранники инцидентности». Впоследствии он и Питер МакМаллен развил основы теории в серии исследовательских статей, которые позже были собраны в книгу. С тех пор многие другие исследователи внесли свой вклад, и первые пионеры (включая Грюнбаума) также приняли определение Шульте как «правильное».

С тех пор исследования в области теории абстрактных многогранников были сосредоточены в основном на обычный многогранники, т. е. те, у которых автоморфизм группы действовать переходно на множестве флагов многогранника.

Смотрите также

• Эйлеров позет
• Градуированный посет
• Правильный многогранник

Примечания

1. (МакМаллен и Шульте, 2002 г., п. 31) ошибка harv: несколько целей (2 ×): CITEREFMcMullenSchulte2002 (помощь)
2. (МакМаллен и Шульте, 2002 г. ) ошибка harv: несколько целей (2 ×): CITEREFMcMullenSchulte2002 (помощь)
3. (МакМаллен и Шульте, 2002 г., п. 23) ошибка harv: несколько целей (2 ×): CITEREFMcMullenSchulte2002 (помощь)
4. Кайбель, Фолькер; Шварц, Александр (2003). «О сложности проблем изоморфизма многогранников». Графы и комбинаторика. 19 (2): 215–230. arXiv:математика / 0106093. Дои:10.1007 / s00373-002-0503-y. Архивировано из оригинал на 21.07.2015.
5. Макмаллен, Питер; Шульте, Эгон (декабрь 2002 г.). Абстрактные правильные многогранники (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-81496-0.
6. Макмаллен, Питер (1994), "Реализации регулярных апейотопов", Aequationes Mathematicae, 47 (2–3): 223–239, Дои:10.1007 / BF01832961, МИСТЕР  1268033

Рекомендации

• Макмаллен, Питер; Шульте, Эгон (декабрь 2002 г.), Абстрактные правильные многогранники (1-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-81496-0
• Мир Джарона: формы в других измерениях, Откройте для себя mag., Апрель 2007 г.
• Доктор Ричард Клитцинг, Матрицы заболеваемости
• Schulte, E .; «Симметрия многогранников и многогранников», Справочник по дискретной и вычислительной геометрии, Отредактировано Гудман, Дж. Э. и О'Рурк, Дж., 2-е изд., Chapman & Hall, 2004.