Биномиальный (полином) - Binomial (polynomial)

Для использования в других целях см. Биномиальный.

В алгебра, а биномиальный это многочлен это сумма двух членов, каждое из которых является одночлен.^[1] Это самый простой вид многочленов после одночленов.

Определение

Бином - это многочлен, который представляет собой сумму двух мономы. Бином от единственного неопределенного (также известного как одномерный бинома) можно записать в виде

${\displaystyle ax^{m}-bx^{n}\,,}$

куда а и б находятся числа, и м и п отличны неотрицательные целые числа и Икс это символ, который называется неопределенный или, по историческим причинам, Переменная. В контексте Полиномы Лорана, а Бином Лорана, часто называемый просто биномиальный, определяется аналогично, но показатели м и п может быть отрицательным.

В более общем смысле можно записать бином^[2] в качестве:

${\displaystyle ax_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-bx_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}}$

Вот несколько примеров биномов:

${\displaystyle 3x-2x^{2}}$

${\displaystyle xy+yx^{2}}$

${\displaystyle 0.9x^{3}+\pi y^{2}}$

Операции над простыми двучленами

• Бином Икс² − y² возможно учтенный как произведение двух других биномов:

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y).}$

Это особый случай более общей формулы:

${\displaystyle x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\sum _{k=0}^{n}x^{k}\,y^{n-k}.}$

При работе с комплексными числами это также можно расширить на:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=x^{2}-(iy)^{2}=(x-iy)(x+iy).}$

• Произведение пары линейных двучленов (топор + б) и (сх + d) это трехчленный:

${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}$

• Бином, возведенный в п^th мощность, представленный как (х + у)^п можно расширить с помощью биномиальная теорема или, что то же самое, используя Треугольник Паскаля. Например, квадрат (х + у)² бинома (х + у) равна сумме квадратов двух членов и удвоенному произведению членов, то есть:

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.}$

Числа (1, 2, 1), появляющиеся как множители для членов в этом разложении: биномиальные коэффициенты на два ряда вниз от вершины треугольника Паскаля. Расширение п^th власть использует числа п ряды вниз от вершины треугольника.

• Применение приведенной выше формулы для вычисления квадрата двучлена: "(м, н)-формула »для генерации Пифагорейские тройки:

За т <п, позволять а = п² − м², б = 2мин, и c = п² + м²; тогда а² + б² = c².

• Биномы, представляющие собой суммы или разности кубов, могут быть разложены на полиномы более низкого порядка следующим образом:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}$

${\displaystyle x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})}$

Смотрите также

• Завершение квадрата
• Биномиальное распределение
• Список факториальных и биномиальных тем (который содержит большое количество связанных ссылок)

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик. "Биномиальный". Вольфрам MathWorld. Получено 29 марта 2011.
2. Штурмфельс, Бернд (2002). «Решение систем полиномиальных уравнений». Серия региональных конференций CBMS по математике. Конференц-совет математических наук (97): 62. Получено 21 марта 2014.

Рекомендации

• Босток, Л.; Чендлер, С. (1978). Чистая математика 1. Oxford University Press. п. 36. ISBN  0-85950-092-6.