Триангуляция (геометрия) - Triangulation (geometry)
В геометрия, а триангуляция является подразделением плоский объект на треугольники, и, как следствие, подразделение геометрического объекта более высокого измерения на симплексы. Триангуляция трехмерного объема потребует его разделения на тетраэдры упакованы вместе.
В большинстве случаев требуется, чтобы треугольники триангуляции пересекались между ребрами и вершинами.
Типы
Могут быть определены различные типы триангуляции, в зависимости как от того, какой геометрический объект должен быть разделен, так и от того, как это подразделение определяется.
- Триангуляция из является подразделением в -мерные симплексы такие, что любые два симплекса из пересекаются по общей грани (симплекс любой более низкой размерности) или не пересекаются вообще, и любой ограниченное множество в пересекает только конечно много симплексов в . То есть это локально конечный симплициальный комплекс покрывающий все пространство.
- А триангуляция набора точек, т.е. триангуляция дискретный набор точек , является подразделением выпуклый корпус точек в симплексы так, что любые два симплекса пересекаются лицо любой размерности или совсем не такой, что множество вершин симплексов содержится в . Часто используемые и изучаемые триангуляции наборов точек включают Триангуляция Делоне (для точек общего положения - множество симплексов, описываемых открытым шаром, не содержащим входных точек) и триангуляция минимального веса (триангуляция набора точек, минимизирующая сумму длин ребер).
- В картография, а триангулированная нерегулярная сеть представляет собой триангуляцию набора двухмерных точек вместе с отметками для каждой точки. Поднятие каждой точки с плоскости на ее повышенную высоту поднимает треугольники триангуляции до трехмерных поверхностей, которые образуют приближение трехмерной формы рельефа.
- А триангуляция многоугольника является подразделением данного многоугольник на треугольники, пересекающиеся от края до края, опять же с тем свойством, что множество вершин треугольника совпадает с множеством вершин многоугольника. Триангуляции многоугольников можно найти в линейное время и составляют основу нескольких важных геометрических алгоритмов, включая простое приближенное решение проблема художественной галереи. В условная триангуляция Делоне представляет собой адаптацию триангуляции Делоне от наборов точек к многоугольникам или, в более общем смысле, к плоские прямолинейные графики.
- А триангуляция поверхности состоит из сети треугольников с точками на данной поверхности, покрывающих поверхность частично или полностью.
- в метод конечных элементов, триангуляции часто используются в качестве сетки, лежащей в основе вычислений. В этом случае треугольники должны образовывать подразделение моделируемой области, но вместо ограничения вершин входными точками разрешается добавлять дополнительные Очки Штайнера как вершины. Чтобы быть пригодной в качестве конечно-элементной сетки, триангуляция должна иметь треугольники правильной формы в соответствии с критериями, которые зависят от деталей моделирования методом конечных элементов; например, некоторые методы требуют, чтобы все треугольники были прямыми или острыми, образуя неплотные сетки. Известно много методов построения сетки, в том числе Уточнение Делоне такие алгоритмы как Второй алгоритм Чу и Алгоритм Рупперта.
- В более общих топологических пространствах триангуляции пространства обычно относятся к симплициальным комплексам, которые гомеоморфный в космос.
Обобщение
Концепция триангуляции также может быть в некоторой степени обобщена на подразделения на формы, связанные с треугольниками. В частности, псевдотриангуляция множества точек - это разбиение выпуклой оболочки точек на псевдотреугольники, многоугольники, которые, как и треугольники, имеют ровно три выпуклые вершины. Как и в случае триангуляции наборов точек, псевдотриангуляции должны иметь свои вершины в заданных входных точках.