Состояние счетной цепи - Countable chain condition

В теория порядка, а частично заказанный набор Икс считается, что удовлетворяет условие счетной цепи, или быть ccc, если каждые сильный антицепь в Икс является счетный.

Обзор

На самом деле есть два условия: вверх и вниз условия счетной цепи. Они не эквивалентны. Условие счетной цепи означает условие счетной цепи вниз, другими словами, никакие два элемента не имеют общей нижней границы.

Это называется «условием счетной цепи», а не более логичным термином «условие счетной антицепи» по историческим причинам, связанным с определенными цепями открытых множеств в топологических пространствах и цепями в полных булевых алгебрах, где условия цепочки иногда оказываются эквивалентными антицепям. условия. Например, если κ - кардинал, то в полной булевой алгебре каждая антицепь имеет размер меньше κ тогда и только тогда, когда нет убывающей κ-последовательности элементов, поэтому условия цепи эквивалентны условиям антицепи.

Частичные порядки и пространства, удовлетворяющие ccc, используются в формулировке Аксиома мартина.

В теории принуждение, ccc частичные порядки используются, потому что форсирование с любым общим набором над таким порядком сохраняет кардиналы и конфинальности. Кроме того, свойство ccc сохраняется при конечных итерациях поддержки (см. повторяющееся принуждение ). Для получения дополнительных сведений о ccc в контексте принудительного использования см. Принуждение (теория множеств) § Условие счетной цепи.

В более общем смысле, если κ - кардинал, то говорят, что ЧУМ удовлетворяет условие κ-цепи если размер каждой антицепи меньше κ. Условием счетной цепи является ℵ₁состояние цепи.

Примеры и свойства в топологии

А топологическое пространство говорят, что удовлетворяет условию счетной цепи, или Суслина Условие, если частично упорядоченный набор непустых открытые подмножества из Икс удовлетворяет условию счетной цепи, т.е. каждый попарно непересекающиеся набор непустых открытых подмножеств Икс счетно. Название происходит от Проблема Суслина.

• Каждый разделимое топологическое пространство это ccc. Кроме того, пространство продукта не более ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}}$ разделимые пространства - это разделимое пространство и, следовательно, ccc.
• А метрическое пространство является ccc тогда и только тогда, когда он разделяется.
• В общем случае топологическое пространство ccc не обязательно должно быть разделимым. Например, ${\displaystyle \{0,1\}^{2^{2^{\aleph _{0}}}}}$ с топология продукта это ccc, хотя нет отделяемый.
• Паракомпактные пространства ccc Линделёф.

Рекомендации

• Jech, Thomas (2003), Теория множества: издание "Тысячелетие", Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-44085-7
• Произведения отделимых пространств, К. А. Росс, А. Х. Стоун. The American Mathematical Monthly 71 (4): стр. 398–403 (1964)