Сильный антицепь - Strong antichain

В теория порядка, а подмножество А из частично заказанный набор п это сильная направленная вниз антицепь если это антицепь в котором никакие два различных элемента не имеют общей нижней границы в п, то есть,

${\displaystyle \forall x,y\in A\;[x\neq y\rightarrow \neg \exists z\in P\;[z\leq x\land z\leq y]].}$

В случае, когда п упорядочен по включению и замкнут относительно подмножеств, но не содержит пустого множества, это просто семейство попарно непересекающихся множеств.

А сильный восходящий антицепь B это подмножество п в котором никакие два различных элемента не имеют общей верхней границы в п. Авторы часто опускают термины «вверх» и «вниз» и просто ссылаются на сильные антицепи. К сожалению, нет единого соглашения о том, какая версия называется сильной антицепью. В контексте принуждение, авторы иногда также опускают термин «сильный» и просто ссылаются на антицепи. Чтобы устранить двусмысленность в этом случае, более слабый тип антицепи называется слабая антицепь.

Если (п, ≤) является частичным порядком и существуют различные Икс, y ∈п так что {Икс, у} - сильная антицепь, то (п, ≤) не может быть решетка (или даже встретить полурешётку ), поскольку по определению каждые два элемента в решетке (или пересекаются с полурешеткой) должны иметь общую нижнюю границу. Таким образом, решетки имеют только тривиальные сильные антицепи (т. Е. Сильные антицепи мощности не более 1).

Рекомендации

• Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: введение в доказательства независимости, Исследования по логике и основам математики, Северная Голландия: Издательская компания Северной Голландии, п.53, ISBN  9780444854018