Сжатие (теория операторов) - Contraction (operator theory)

В теория операторов, а ограниченный оператор Т: Икс → Y между нормированные векторные пространства Икс и Y считается сокращение если это норма оператора ||Т|| ≤ 1. Каждый ограниченный оператор становится сжатием после подходящего масштабирования. Анализ сокращений позволяет понять структуру операторов или семейство операторов. Теория сокращений на Гильбертово пространство во многом из-за Béla Szkefalvi-Nagy и Киприан Фойас.

Сжатия в гильбертовом пространстве

«Оператор угол» перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. Угол камеры.

Если Т сжатие, действующее на Гильбертово пространство ${displaystyle {mathcal {H}}}$, следующие основные объекты, связанные с Т можно определить.

В операторы дефектов из Т операторы D_Т = (1 − Т * Т)^½ и D_{Т *} = (1 − TT *)^½. Квадратный корень - это положительный полуопределенный предоставленный спектральная теорема. В дефектные пространства ${displaystyle {mathcal {D}}_{T}}$ и ${displaystyle {mathcal {D}}_{T*}}$ - диапазоны Ran (D_Т) и Ран (D_{Т *}) соответственно. Положительный оператор D_Т вызывает внутренний продукт на ${displaystyle {mathcal {H}}}$. Внутреннее пространство продукта можно естественным образом идентифицировать с помощью Ran (D_Т). Аналогичное утверждение верно для ${displaystyle {mathcal {D}}_{T*}}$.

В индексы дефектов из Т пара

${displaystyle (dim {mathcal {D}}_{T},dim {mathcal {D}}_{T^{*}}).}$

Операторы дефекта и индексы дефекта являются мерой неунитарности Т.

Сокращение Т на гильбертовом пространстве можно канонически разложить в ортогональную прямую сумму

${displaystyle T=Gamma oplus U}$

где U - унитарный оператор, а Γ - совершенно неунитарный в том смысле, что в нем нет сокращение подпространств на котором его ограничение унитарно. Если U = 0, Т считается полностью неунитарное сжатие. Частным случаем этого разложения является Разложение Вольда для изометрия, где Γ - собственная изометрия.

Сжатия на гильбертовых пространствах могут рассматриваться как операторные аналоги cos θ и называются углы оператора в некоторых контекстах. Явное описание сжатий приводит к (операторной) параметризации положительных и унитарных матриц.

Теорема о расширении для сжатий

Теорема С.-Надя о растяжении, доказанный в 1953 г., утверждает, что для любого сжатия Т в гильбертовом пространстве ЧАС, Существует унитарный оператор U на большом гильбертовом пространстве K ⊇ ЧАС так что если п ортогональная проекция K на ЧАС тогда Т^п = п U^п п для всех п > 0. Оператор U называется расширение из Т и однозначно определяется, если U минимально, т.е. K - наименьшее замкнутое подпространство, инвариантное относительно U и U* содержащий ЧАС.

Фактически определить^[1]

${displaystyle displaystyle {{mathcal {H}}=Hoplus Hoplus Hoplus cdots ,}}$

ортогональная прямая сумма счетного числа копий ЧАС.

Позволять V быть изометрией на ${displaystyle {mathcal {H}}}$ определяется

${displaystyle displaystyle {V(xi _{1},xi _{2},xi _{3},dots )=(Txi _{1},{sqrt {I-T^{*}T}}xi _{1},xi _{2},xi _{3},dots ).}}$

Позволять

${displaystyle displaystyle {{mathcal {K}}={mathcal {H}}oplus {mathcal {H}}.}}$

Определите унитарный W на ${displaystyle {mathcal {K}}}$ от

${displaystyle displaystyle {W(x,y)=(Vx+(I-VV^{*})y,-V^{*}y).}}$

W тогда унитарное расширение Т с участием ЧАС рассматривается как первый компонент ${displaystyle {mathcal {H}}subset {mathcal {K}}}$.

Минимальное расширение U получается, если взять ограничение W в замкнутое подпространство, порожденное степенями W применительно к ЧАС.

Теорема о расширении для полугрупп стягивания

Существует альтернативное доказательство теоремы Ш.-Надя о растяжении, допускающее значительные обобщения.^[2]

Позволять г быть группой, U(г) унитарное представление г в гильбертовом пространстве K и п ортогональная проекция на замкнутое подпространство ЧАС = ПК из K.

Операторнозначная функция

${displaystyle displaystyle {Phi (g)=PU(g)P,}}$

со значениями в операторах на K удовлетворяет условию положительной определенности

${displaystyle sum lambda _{i}{overline {lambda _{j}}}Phi (g_{j}^{-1}g_{i})=PT^{*}TPgeq 0,}$

где

${displaystyle displaystyle {T=sum lambda _{i}U(g_{i}).}}$

Более того,

${displaystyle displaystyle {Phi (1)=P.}}$

Наоборот, так возникает любая операторнозначная положительно определенная функция. Напомним, что каждая (непрерывная) скалярнозначная положительно определенная функция на топологической группе индуцирует скалярное произведение и представление группы φ (г) = 〈U_г v, v> где U_г является (сильно непрерывным) унитарным представлением (см. Теорема Бохнера ). Замена v, проекция ранга 1, по общей проекции дает операторнозначное утверждение. Фактически конструкция идентична; это схематично показано ниже.

Позволять ${displaystyle {mathcal {H}}}$ - пространство функций на г конечной опоры со значениями в ЧАС с внутренним продуктом

${displaystyle displaystyle {(f_{1},f_{2})=sum _{g,h}(Phi (h^{-1}g)f_{1}(g),f_{2}(h)).}}$

г действует унитарно ${displaystyle {mathcal {H}}}$ от

${displaystyle displaystyle {U(g)f(x)=f(g^{-1}x).}}$

Более того, ЧАС можно отождествить с замкнутым подпространством ${displaystyle {mathcal {H}}}$ с помощью изометрического вложения v в ЧАС к ж_v с участием

${displaystyle f_{v}(g)=delta _{g,1}v.,}$

Если п это проекция ${displaystyle {mathcal {H}}}$ на ЧАС, тогда

${displaystyle displaystyle {PU(g)P=Phi (g),}}$

используя указанную выше идентификацию.

Когда г сепарабельная топологическая группа, Φ непрерывна в сильной (или слабой) операторной топологии тогда и только тогда, когда U является.

В этом случае функции с носителем на счетной плотной подгруппе группы г плотно в ${displaystyle {mathcal {H}}}$, так что ${displaystyle {mathcal {H}}}$ отделимо.

Когда г = Z любой оператор сокращения Т определяет такую ​​функцию Φ через

${displaystyle displaystyle Phi (0)=I,,,,Phi (n)=T^{n},,,,Phi (-n)=(T^{*})^{n},}$

для п > 0. Приведенная выше конструкция дает минимальное унитарное растяжение.

Тот же метод может быть применен для доказательства второй теоремы о растяжении группы Sz._Nagy для однопараметрической сильно непрерывной полугруппы сжатий Т(т) (т ≥ 0) в гильбертовом пространстве ЧАС. Купер (1947) ранее доказал результат для однопараметрических полугрупп изометрий,^[3]

Теорема утверждает, что существует большее гильбертово пространство K содержащий ЧАС и унитарное представление U(т) из р такой, что

${displaystyle displaystyle {T(t)=PU(t)P}}$

и переводы U(т)ЧАС генерировать K.

по факту Т(т) определяет непрерывную операторнозначную положительно определенную функцию Φ на р через

${displaystyle displaystyle {Phi (0)=I,,,,Phi (t)=T(t),,,,Phi (-t)=T(t)^{*},}}$

для т > 0. Φ положительно определена на циклических подгруппах в раргументом в пользу Z, а значит, и на р сам по преемственности.

Предыдущая конструкция дает минимальное унитарное представление U(т) и проекция п.

В Теорема Хилле-Йосиды назначает закрытый неограниченный оператор А каждой сжимающей однопараметрической полугруппе Т '(т) через

${displaystyle displaystyle {Axi =lim _{tdownarrow 0}{1 over t}(T(t)-I)xi ,}}$

где домен на А состоит из всех ξ, для которых существует этот предел.

А называется генератор полугруппы и удовлетворяет

${displaystyle displaystyle {-Re (Axi ,xi )geq 0}}$

на своем домене. Когда А является самосопряженным оператором

${displaystyle displaystyle {T(t)=e^{At},}}$

в смысле спектральная теорема и это обозначение используется более широко в теории полугрупп.

В когенератор полугруппы - это сжатие, определяемое

${displaystyle displaystyle {T=(A+I)(A-I)^{-1}.}}$

А можно восстановить из Т используя формулу

${displaystyle displaystyle {A=(T+I)(T-I)^{-1}.}}$

В частности, расширение Т на K ⊃ ЧАС сразу дает расширение полугруппы.^[4]

Функциональное исчисление

Позволять Т быть полностью неунитарным сжатием на ЧАС. Тогда минимальная унитарная дилатация U из Т на K ⊃ ЧАС унитарно эквивалентно прямой сумме копий оператора двустороннего сдвига, т.е. умножению на z на L²(S¹).^[5]

Если п ортогональная проекция на ЧАС тогда для ж в L^∞ = L^∞(S¹) следует, что оператор ж(Т) можно определить как

${displaystyle displaystyle {f(T)xi =Pf(U)xi .}}$

Пусть H^∞ - пространство ограниченных голоморфных функций на единичном круге D. Любая такая функция имеет граничные значения в L^∞ и определяется ими однозначно, так что существует вложение H^∞ ⊂ L^∞.

Для ж в H^∞, ж(Т) можно определить без ссылки на унитарное расширение.

Фактически, если

${displaystyle displaystyle {f(z)=sum _{ngeq 0}a_{n}z^{n}}}$

для |z| <1, то при р < 1

${displaystyle displaystyle {f_{r}(z))=sum _{ngeq 0}r^{n}a_{n}z^{n}}}$

голоморфна на |z| < 1/р.

В этом случае ж_р(Т) определяется голоморфным функциональным исчислением и ж(Т) можно определить как

${displaystyle displaystyle {f(T)xi =lim _{rightarrow 1}f_{r}(T)xi .}}$

Отправка карты ж к ж(Т) определяет гомоморфизм алгебр H^∞ в ограниченные операторы на ЧАС. Более того, если

${displaystyle displaystyle {f^{sim }(z)=sum _{ngeq 0}a_{n}{overline {z}}^{n},}}$

тогда

${displaystyle displaystyle {f^{sim }(T)=f(T^{*})^{*}.}}$

Это отображение обладает следующим свойством непрерывности: если равномерно ограниченная последовательность ж_п стремится почти везде к ж, тогда ж_п(Т) как правило ж(Т) в сильной операторной топологии.

Для т ≥ 0, пусть е_т быть внутренней функцией

${displaystyle displaystyle {e_{t}(z)=exp t{z+1 over z-1}.}}$

Если Т является когенератором однопараметрической полугруппы вполне неунитарных сжатий Т(т), тогда

${displaystyle displaystyle {T(t)=e_{t}(T)}}$

и

${displaystyle displaystyle {T={1 over 2}I-{1 over 2}int _{0}^{infty }e^{-t}T(t),dt.}}$

C₀ схватки

Совершенно неунитарное сокращение Т относится к классу C₀ если и только если ж(Т) = 0 для некоторого ненулевогож в H^∞. В этом случае набор таких ж образует идеал в H^∞. Он имеет вид φ ⋅ H^∞ где г является внутренняя функция, т.е. такие, что | φ | = 1 на S¹: φ определяется однозначно с точностью до умножения на комплексное число по модулю 1 и называется минимальная функция из Т. Обладает свойствами, аналогичными минимальный многочлен матрицы.

Минимальная функция φ допускает каноническую факторизацию

${displaystyle displaystyle {varphi (z)=cB(z)e^{-P(z)},}}$

где |c|=1, B(z) это Продукт Blaschke

${displaystyle displaystyle {B(z)=prod left[{|lambda _{i}| over lambda _{i}}{lambda _{i}-z over 1-{overline {lambda }}_{i}}ight]^{m_{i}},}}$

с участием

${displaystyle displaystyle {sum m_{i}(1-|lambda _{i}|)<infty ,}}$

и п(z) голоморфна с неотрицательной вещественной частью в D. Посредством Теорема Герглотца о представлении,

${displaystyle displaystyle {P(z)=int _{0}^{2pi }{1+e^{-i heta }z over 1-e^{-i heta }z},dmu ( heta )}}$

для некоторой неотрицательной конечной меры μ на окружности: в этом случае, если она не равна нулю, μ должна быть единственное число по мере Лебега. В приведенном выше разложении φ любой из двух факторов может отсутствовать.

Минимальная функция φ определяет спектр из Т. В пределах единичного круга спектральные значения - это нули φ. Таких λ_я, все собственные значения Т, нули B(z). Точка единичной окружности не лежит в спектре Т тогда и только тогда, когда φ имеет голоморфное продолжение в окрестность этой точки.

φ сводится к произведению Бляшке именно тогда, когда ЧАС равно замыканию прямой суммы (не обязательно ортогональной) обобщенных собственных подпространств^[6]

${displaystyle displaystyle {H_{i}={xi :(T-lambda _{i}I)^{m_{i}}xi =0}.}}$

Квази-подобие

Два сокращения Т₁ и Т₂ как говорят квазиподобный когда есть ограниченные операторы А, B с тривиальным ядром и плотным диапазоном, таким что

${displaystyle displaystyle {AT_{1}=T_{2}A,,,,BT_{2}=T_{1}B.}}$

Следующие свойства сокращения Т сохраняются при квазиподобии:

• будучи унитарным
• быть полностью неунитарным
• находясь в классе C₀
• будучи без множественности, т.е. имеющий коммутативный коммутант

Два квазиподобных C₀ сжатия имеют одинаковую минимальную функцию и, следовательно, один и тот же спектр.

В классификационная теорема для C₀ сжатий утверждает, что две свободные от кратности C₀ сжатия квазиподобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую минимальную функцию (с точностью до скалярного кратного).^[7]

Модель для свободного от множественности C₀ сжатий с минимальной функцией φ задается взятием

${displaystyle displaystyle {H=H^{2}ominus varphi H^{2},}}$

где H² это Харди космос круга и позволяя Т быть умножением на z.^[8]

Такие операторы называются Иорданские блоки и обозначен S(φ).

Как обобщение Теорема Берлинга коммутант такого оператора состоит в точности из операторов ψ (Т) с ψ в ЧАС^≈, т.е. операторы умножения на ЧАС² соответствующие функциям в ЧАС^≈.

А С₀ оператор сжатия Т свободна от кратности тогда и только тогда, когда она квазиподобна жордановой клетке (обязательно соответствует той, которая соответствует ее минимальной функции).

Примеры.

• Если сокращение Т если квази-подобный оператору S с участием

${displaystyle displaystyle {Se_{i}=lambda _{i}e_{i}}}$

с λ_яразличны, с модулем меньше 1, так что

${displaystyle displaystyle {sum (1-|lambda _{i}|)<1}}$

и (е_я) является ортонормированным базисом, то S, и, следовательно Т, является C₀ и множественность бесплатно. Следовательно ЧАС является замыканием прямой суммы λ_я-eigenspaces из Т, каждый из которых имеет кратность один. Это также можно увидеть непосредственно, используя определение квазиподобия.

• Приведенные выше результаты могут быть одинаково хорошо применены к однопараметрическим полугруппам, поскольку, исходя из функционального исчисления, две полугруппы квазиподобны тогда и только тогда, когда их когенераторы квазиподобны.^[9]

Классификационная теорема для C₀ схватки: Каждый C₀ сжатие канонически квазиподобно прямой сумме жордановых блоков.

Фактически каждый C₀ сжатие квазиподобно единственному оператору вида

${displaystyle displaystyle {S=S(varphi _{1})oplus S(varphi _{1}varphi _{2})oplus S(varphi _{1}varphi _{2}varphi _{3})oplus cdots }}$

где φ_п - однозначно определенные внутренние функции, причем φ₁ минимальная функция S и, следовательно Т.^[10]

Смотрите также

• Неравенство Каллмана – Рота
• Теорема Стайнспринга о расширении
• Теорема Хилле-Иосиды для полугрупп стягивания

Заметки

1. Sz.-Nagy et al. 2010 г., стр. 10–14
2. Sz.-Nagy et al. 2010 г., стр. 24–28
3. Sz.-Nagy et al. 2010 г., стр. 28–30
4. Sz.-Nagy et al. 2010 г., стр.143, 147
5. Sz.-Nagy et al. 2010 г., стр. 87–88
6. Sz.-Nagy et al. 2010 г., п. 138
7. Sz.-Nagy et al. 2010 г., стр. 395–440
8. Sz.-Nagy et al. 2010 г., п. 126
9. Берковичи 1988, п. 95
10. Берковичи 1988, стр. 35–66

использованная литература

• Берковичи, Х. (1988), Теория операторов и арифметика в H^∞, Математические обзоры и монографии, 26, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-1528-8
• Купер, Дж. Л. Б. (1947), «Однопараметрические полугруппы изометрических операторов в гильбертовом пространстве», Анна. математики., 48: 827–842, Дои:10.2307/1969382
• Гамелин, Т. В. (1969), Равномерные алгебры, Прентис-Холл
• Хоффман, К. (1962), Банаховы пространства аналитических функций, Прентис-Холл
• Sz.-Nagy, B .; Foias, C .; Bercovici, H .; Керши, Л. (2010), Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, Universitext (второе издание), Springer, ISBN  978-1-4419-6093-1
• Riesz, F .; С.-Надь, Б. (1995), Функциональный анализ. Перепечатка оригинала 1955 г., Dover Books on Advanced Mathematics, Dover, pp. 466–472, стр. ISBN  0-486-66289-6