Расширение (теория операторов) - Dilation (operator theory)

В теория операторов, а расширение оператора Т на Гильбертово пространство ЧАС является оператором в большем гильбертовом пространстве K, чье ограничение на ЧАС составлено с ортогональной проекцией на ЧАС является Т.

Более формально, пусть Т - ограниченный оператор в некотором гильбертовом пространстве ЧАС, и ЧАС - подпространство большего гильбертова пространства ЧАС' . Ограниченный оператор V на ЧАС' является растяжением T, если

${\displaystyle P_{H}\;V|_{H}=T}$

где ${\displaystyle P_{H}}$ ортогональная проекция на ЧАС.

V считается унитарное расширение (соответственно нормальный, изометрический и т. д.), если V унитарна (соответственно нормальная, изометрическая и т. д.). Т считается сжатие из V. Если оператор Т имеет спектральный набор ${\displaystyle X}$мы говорим, что V это нормальное расширение границы или нормальный ${\displaystyle \partial X}$ расширение если V это нормальное расширение Т и ${\displaystyle \sigma (V)\in \partial X}$.

Некоторые тексты накладывают дополнительное условие. А именно, что расширение удовлетворяет следующему (исчисляемому) свойству:

${\displaystyle P_{H}\;f(V)|_{H}=f(T)}$

где f (Т) какой-то конкретный функциональное исчисление (например, многочлен или ЧАС^∞ исчисление). Полезность расширения состоит в том, что оно позволяет «поднимать» объекты, связанные с Т до уровня V, где поднятые предметы могут иметь лучшие свойства. См., Например, теорема о коммутантном поднятии.

Приложения

Мы можем показать, что каждое сжатие гильбертовых пространств имеет унитарное растяжение. Возможное построение этой дилатации следующее. Для сокращения Т, Оператор

${\displaystyle D_{T}=(I-T^{*}T)^{\frac {1}{2}}}$

положительно, где непрерывное функциональное исчисление используется для определения квадратного корня. Оператор D_Т называется оператор дефекта из Т. Позволять V быть оператором на

${\displaystyle H\oplus H}$

определяется матрицей

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}T&D_{T^{*}}\\\ D_{T}&-T^{*}\end{bmatrix}}.}$

V явно расширение Т. Также, Т(Я - Т * Т) = (Я - ТТ *)Т и предельный аргумент^[1] подразумевать

${\displaystyle TD_{T}=D_{T^{*}}T.}$

Используя это, можно показать прямым вычислением, что V унитарен, поэтому унитарное расширение Т. Этот оператор V иногда называют Юлия оператор из Т.

Обратите внимание, когда Т это настоящий скаляр, скажем ${\displaystyle T=\cos \theta }$, у нас есть

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\ \sin \theta &-\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

которая представляет собой унитарную матрицу, описывающую поворот на θ. По этой причине оператор Julia V (Т) иногда называют элементарное вращение из Т.

Отметим здесь, что в приведенном выше обсуждении мы не требовали свойства исчисления для растяжения. Действительно, прямое вычисление показывает, что оператор Джулии не может быть расширением "степени 2" в целом, т.е. не обязательно верно, что

${\displaystyle T^{2}=P_{H}\;V^{2}|_{H}}$.

Однако можно также показать, что любое сокращение имеет унитарное расширение, которое делает обладают указанным выше свойством исчисления. Это Теорема С.-Надя о растяжении. В более общем смысле, если ${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$ это Алгебра Дирихле, любой оператор Т с ${\displaystyle X}$ как спектральный набор будет иметь нормальный ${\displaystyle \partial X}$ расширение с этим свойством. Это обобщает теорему Ш.-Надя о растяжении, поскольку все стягивания имеют единичный диск в качестве спектрального множества.

Примечания

1. Sz.-Nagy, Фойаш 1970 г., 3.1 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFSz.-Nagy, _Foiaş1970 (Помогите).

Рекомендации

• Константинеску, Т. (1996), Параметры Шура, проблемы дилатации и факторизации, 82, Birkhauser Verlag, ISBN  3-7643-5285-X.
• Паулсен, В. (2002), Вполне ограниченные отображения и операторные алгебры, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-81669-6.
• Sz.-Nagy, B .; Фойаш, К. (1970), Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, Издательская компания Северной Голландии, ISBN  9780720420357.