Дельта-сходимость - Delta-convergence

В математике Дельта-сходимость, или же Δ-сходимость, - режим сходимости в метрические пространства, более слабая, чем обычная метрическая сходимость, и аналогична (но отличается от нее) слабая конвергенция в Банаховы пространства. В Гильбертово пространство, Дельта-сходимость и слабая сходимость совпадают. Для общего класса пространств, как и в случае слабой сходимости, каждая ограниченная последовательность имеет дельта-сходящуюся подпоследовательность. Дельта-конвергенция была впервые введена Тек-Чеонг Лим,^[1] и вскоре после этого под именем почти конвергенция, Тадеуша Куцумова.^[2]

Определение

Последовательность ${\displaystyle (x_{k})}$ в метрическом пространстве ${\displaystyle (X,d)}$ называется ∆-сходящейся к ${\displaystyle x\in X}$ если для каждого ${\displaystyle y\in X}$, ${\displaystyle \limsup(d(x_{k},x)-d(x_{k},y))\leq 0}$.

Характеризация в банаховых пространствах

Если ${\displaystyle X}$ это равномерно выпуклый и равномерно гладкий Банахово пространство с отображением двойственности ${\displaystyle x\mapsto x^{*}}$ данный ${\displaystyle \|x\|=\|x^{*}\|}$, ${\displaystyle \langle x^{*},x\rangle =\|x\|^{2}}$, то последовательность ${\displaystyle (x_{k})\subset X}$ Дельта-сходится к ${\displaystyle x}$ если и только если ${\displaystyle (x_{k}-x)^{*}}$ слабо сходится к нулю в сопряженном пространстве ${\displaystyle X^{*}}$ (видеть ^[3]). В частности, дельта-сходимость и слабая сходимость совпадают, если ${\displaystyle X}$ является гильбертовым пространством.

Опиальная собственность

Совпадение слабой сходимости и дельта-сходимости для равномерно выпуклых банаховых пространств эквивалентно хорошо известному Опиальная собственность^[3]

Теорема дельта-компактности

Теорема о дельта-компактности Т. К. Лима^[1] заявляет, что если ${\displaystyle (X,d)}$ является асимптотически полный метрическом пространстве, то каждая ограниченная последовательность в ${\displaystyle X}$ имеет дельта-сходящуюся подпоследовательность.

Теорема о дельта-компактности аналогична теореме Теорема Банаха – Алаоглу для слабой сходимости, но, в отличие от теоремы Банаха-Алаоглу (в неотделимом случае), ее доказательство не зависит от аксиомы выбора.

Асимптотический центр и асимптотическая полнота

An асимптотический центр последовательности ${\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} }}$, если он существует, является пределом Чебышевские центры ${\displaystyle c_{n}}$ для усеченных последовательностей ${\displaystyle (x_{k})_{k\geq n}}$. Метрическое пространство называется асимптотически полный, если любая ограниченная последовательность в нем имеет асимптотический центр.

Равномерная выпуклость как достаточное условие асимптотической полноты

Условию асимптотической полноты в теореме о дельта-компактности удовлетворяют равномерно выпуклые банаховы пространства и, в более общем смысле, равномерно круглые метрические пространства, как это определено Дж. Стейплсом.^[4]

дальнейшее чтение

• Уильям Кирк, Насир Шахзад, Теория неподвижной точки в пространствах расстояний. Springer, Cham, 2014. xii + 173 с.
• Г. Девилланова, С. Солимини, К. Тинтарев, О слабой сходимости в метрических пространствах, Нелинейный анализ и оптимизация (Б. С. Мордухович, С. Райх, А. Ю. Заславский, редакторы), 43-64, Contemporary Mathematics 659, AMS, Providence, RI , 2016.

Рекомендации

1. T.C. Лим, Замечания о некоторых теоремах о неподвижной точке, Proc. Амер. Математика. Soc. 60 (1976), 179–182.
2. Т. Kuczumow, почти конвергенция и ее приложения, Ann. Univ. Мария Кюри-Склодовская, секта. А 32 (1978), 79–88.
3. С. Солимини, К. Тинтарев, Концентрационный анализ в банаховых пространствах, Comm. Contemp. Математика. 2015, DOI 10.1142 / S0219199715500388
4. Дж. Стейплс, Теоремы о неподвижной точке в равномерно круглых метрических пространствах, Бюлл. Austral. Математика. Soc. 14 (1976), 181–192.