Теорема Эберлейна – Шмулиана - Eberlein–Šmulian theorem

в математический поле функциональный анализ, то Теорема Эберлейна – Шмулиана (названный в честь Уильям Фредерик Эберлейн и Витольд Львович Шмулиан ) - результат, который связывает три различных типа слабый компактность в Банахово пространство.

Заявление

Теорема Эберлейна – Шмулиана: ^[1] Если Икс это Банахово пространство и А это подмножество Икс, то следующие утверждения эквивалентны:

1. каждая последовательность элементов А имеет подпоследовательность, которая слабо сходится
2. каждая последовательность элементов А имеет слабый кластерная точка
3. слабое закрытие А слабо компактный

Множество А может быть слабо компактным тремя различными способами:

• Компактность (или же Гейне -Борель компактность): Каждая открытая крышка А допускает конечное подпокрытие.
• Последовательная компактность: Каждая последовательность из А имеет сходящуюся подпоследовательность, предел которой находится в А.
• Предел компактности: Каждое бесконечное подмножество А имеет предельная точка в А.

Теорема Эберлейна – Шмулиана утверждает, что эти три элемента эквивалентны в слабой топологии банахова пространства. Хотя эта эквивалентность в целом верна для метрическое пространство, слабая топология не является метризуемой в бесконечномерных векторных пространствах, поэтому необходима теорема Эберлейна – Шмулиана.

Приложения

Теорема Эберлейна – Шмулиана важна в теории PDEs, и особенно в Соболевские пространства. Многие соболевские пространства рефлексивные банаховы пространства и поэтому ограниченные подмножества слабо предкомпактны Теорема Алаоглу. Таким образом, из теоремы следует, что ограниченные подмножества являются слабо секвенциально предкомпактными, и поэтому из любой ограниченной последовательности элементов этого пространства можно выделить подпоследовательность, которая слабо сходится в пространстве. Поскольку многие УЧП имеют решения только в слабом смысле, эта теорема является важным шагом в решении, какие пространства слабых решений использовать при решении УЧП.

Смотрите также

• Теорема Банаха – Алаоглу
• Теорема Бишопа – Фелпса
• Лемма Мазура
• Теорема Джеймса
• Теорема Голдстайна

Рекомендации

1. Конвей 1990, п. 163.

Библиография

• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа. Тексты для выпускников по математике. 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97245-9. OCLC  21195908.
• Дистель, Джозеф (1984), Последовательности и серии в банаховых пространствах, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90859-5.
• Dunford, N .; Шварц, Дж. (1958), Линейные операторы, часть I, Wiley-Interscience.
• Уитли, Р.Дж. (1967), «Элементарное доказательство теоремы Эберлейна-Смулиана», Mathematische Annalen, 172 (2): 116–118, Дои:10.1007 / BF01350091.